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    淺談數(shù)列求和

    2017-03-02 22:49:19袁惠
    儷人·教師版 2016年20期
    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)方法

    袁惠

    【摘要】求數(shù)列的前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)之一,也是高考??疾斓闹R(shí)點(diǎn)之一,有些數(shù)列比較有特點(diǎn),我們可以總結(jié)一些方法來(lái)求和,本文介紹公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法、倒序相加法、分組求和法等方法。

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)列求和 方法

    數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,也是高考??嫉膬?nèi)容,其主要常見(jiàn)的方法有公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法、倒序相加法、分組求和等等。

    1、公式法:

    適用題型:直接是等差數(shù)列或是等比數(shù)列形式的可以直接利用公式求和

    等差數(shù)列求和公式: = = n +

    等比數(shù)列求和公式: =n (q=1) Sn= (q 1)

    例1. (2014·全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2、a4、a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.

    答案:n(n+1)

    解析:∵ 等差數(shù)列{an}的公差為2,且a2、a4、a8成等比數(shù)列,∴ a4(2)=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2,則an=2n,∴ Sn=n(n+1).

    例2. (2014·福建卷)在等比數(shù)列{an}中,a2=3,a5=81. 若bn=log3an,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=________.

    答案:2(n2-n)

    解析:設(shè){an}的公比為q,依題意得a1q4=81,(a1q=3,)解得q=3.(a1=1,)因?yàn)閎n=log3an=n-1,所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=2(n(b1+bn))=2(n2-n).

    注意:使用公式的前提,需明確基本量。

    2、錯(cuò)位相減法

    適用題型: 用于等比數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列求和

    例3 (2014·全國(guó)卷Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2、a4是方程x2-5x+6=0的根,則數(shù)列2n(an)的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______.

    答案:Sn=2-2n+1(n+4)

    解析:方程x2-5x+6=0的兩根為2、3.

    由題意得a2=2,a4=3.

    設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a4-a2=2d,

    故d=2(1),從而得a1=2(3).

    所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2(1)n+1.

    設(shè)2n(an)的前n項(xiàng)和為Sn,由(1)知2n(an)=2n+1(n+2),

    則Sn=22(3)+23(4)+…+2n(n+1)+2n+1(n+2),

    2(1)Sn=23(3)+24(4)+…+2n+1(n+1)+2n+2(n+2),

    兩式相減得

    2(1)Sn=4(3)+2n+1(1)-2n+2(n+2)=4(3)+4(1)2n-1(1)-2n+2(n+2),所以Sn=2-2n+1(n+4).

    注意:在錯(cuò)位相減后要數(shù)準(zhǔn)形成的等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

    3.裂項(xiàng)法

    適用于通項(xiàng)公式是分式形式的,可以把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式,然后進(jìn)行累加抵消中間的許多項(xiàng)。

    例4: 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.

    解: = (裂項(xiàng))

    則 Sn = =1- =

    注意:1、找規(guī)律消去重疊的項(xiàng)。即把所有正項(xiàng)放在一起,所有負(fù)項(xiàng)放在一起消去重疊的項(xiàng)。

    2、數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng),首尾相消或隔項(xiàng)相消,無(wú)限項(xiàng)化為有限項(xiàng),余下的項(xiàng)首尾前后呼應(yīng),即前面剩正項(xiàng)則后面剩負(fù)項(xiàng),,前面剩負(fù)項(xiàng)則后面剩正項(xiàng),前后剩項(xiàng)個(gè)數(shù)一致。

    常用公式:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    4.倒序相加法

    適用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列求和

    例5(2003年上海春季高考題)設(shè) ,求 的值 。

    解析:本題要求利用課本中等差數(shù)列的求和方法,如果平時(shí)只記憶公式,而缺乏對(duì)課本公式來(lái)源過(guò)程的閱讀,就不知道要用“倒序相加法”。

    令 ①

    則 ②

    為化簡(jiǎn),應(yīng)將①、②式相加,類似于等差數(shù)列的情形,猜想: 。而

    所以:

    所以:

    5.分組求和法

    適用數(shù)列表面看既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但將這類數(shù)列適當(dāng)分組,可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.

    例6:求 的前 項(xiàng)和.

    解:

    .

    注意:準(zhǔn)確把握通項(xiàng)時(shí)的項(xiàng)數(shù)及分組求和時(shí)的項(xiàng)數(shù)。

    點(diǎn)評(píng):拆項(xiàng)的目的是把非等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題通過(guò)拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差、 數(shù)列的求和問(wèn)題.本題中若將數(shù)列改為“ , , , ,…”,則需要用錯(cuò)位相減法求其前 項(xiàng)和.

    以上是數(shù)列求和的常見(jiàn)的幾種方法,做題時(shí)觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律選擇適當(dāng)?shù)姆椒ň蜁?huì)輕而易舉的進(jìn)行求解。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]賈鵬云; 高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐探討[J];新課程學(xué)習(xí),2010(11)

    [2]成晚順;高中數(shù)學(xué)“數(shù)列教學(xué)”的實(shí)踐與探討[J];現(xiàn)代閱讀,2012(8)

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