江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校 秦詠梅
高中數(shù)學(xué)概率題的解答方法分析
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校 秦詠梅
高中生大多面臨著高考的實際問題,為了考入自己滿意的學(xué)校、完成自身的理想,作為高中生應(yīng)當(dāng)分毫必爭。數(shù)學(xué)無論對于文科還是理科都是非常重要的科目,而在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,概率相關(guān)的知識是重難點(diǎn)。對于高中生來說,概率題的解答綜合性很強(qiáng),常常會出現(xiàn)理不清題目中的各種關(guān)系等問題,并且概率的知識中融入了很多不同的數(shù)學(xué)思想和方法,為了能夠快速地做好做對概率題,作為高中生,應(yīng)當(dāng)能夠結(jié)合所學(xué)習(xí)和掌握的數(shù)學(xué)思想和方法,從多個角度分析并解決問題。
高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程之中,函數(shù)思想是非常重要的。函數(shù)作為貫穿整個高中學(xué)習(xí)過程的重要知識點(diǎn),=函數(shù)思想抽象于基本的函數(shù)內(nèi)容,并對函數(shù)的基本內(nèi)容進(jìn)行了更高程度的概括和提煉,故而在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容時,函數(shù)思想通常都能起重要作用,同時,函數(shù)思想也能夠很好的和概率題相結(jié)合,幫助高中生更好地理清題目之中的各個數(shù)據(jù)、概念之間的關(guān)系,更加直觀地進(jìn)行計算,而不需要通過太過絞盡腦汁的分析,利用函數(shù)思想,概率題的解答將會獲得更多便利。
例如如下的例題:
獵人在相距100m處射擊一野兔,命中的概率為1/2,如果第一次未擊中,則獵人進(jìn)行第二次射擊,但距離已是150m,如果又未擊中,則獵人進(jìn)行第三次射擊,但距離已是200m,已知此獵人命中的概率與距離的平方成反比,求射擊不超過三次擊中野兔的概率。
解:因為概率P=K/r×r,由已知r=100時,P=1/2得K=5000,從而可以求得:
當(dāng)r=150時,P=2/9;當(dāng)r=200時,P=1/8。
記A1:第一次命中,A2:第一次沒有命中;
B1:第二次命中,B2:第二次沒有命中;
C1:第三次命中,C2:第三次沒有命中。
則:P(A1)=1/2,P(A2)=1/2,P(B1)=2/9,P(B2)=7/9,P(C1)=1/8,P(C2)=7/8。
命中可以表示為:A1∪A2B1∪A2B2C1,由于各次射擊是否命中相互獨(dú)立,且這三個事件互斥,所以命中的概率為:P(A1∪A2B1∪A2B2C1)=P(A1)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2)P(C1)=1/2+1/2×2/9+1/2×7/9×1/8=95/144。由這樣一道題目我們可以看出,將函數(shù)的知識應(yīng)用到概率題的解答之中,我們將能夠更為直觀地分析整個題目的解題流程,并能夠更為容易地計算出正確的答案。
數(shù)形結(jié)合思想是解決各類計算問題的基本思想之一,是高中生應(yīng)當(dāng)掌握能力的基礎(chǔ),與函數(shù)思想相似,數(shù)形結(jié)合思想也是大多高中生在一直學(xué)習(xí)中就能夠構(gòu)建起來的。但很多同學(xué)往往不重視對數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng),在面對一些可以結(jié)合圖形完成的概率題時,他們往往會一時無法想到數(shù)形結(jié)合的方法而手足無措。掌握數(shù)形結(jié)合思想,不但對解決其他類型的題目有很大的幫助,在概率的學(xué)習(xí)上也會有很大的好處。
例如如下的例題:
兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時離去。則兩人會面的概率為?
解:因為兩人誰也沒有講好確切的時間,故樣本點(diǎn)由兩個數(shù)(甲乙兩人各自到達(dá)的時刻)組成。以7點(diǎn)鐘作為計算時間的起點(diǎn),設(shè)甲乙各在第x分鐘和第y分鐘到達(dá),則樣本空間為
Ω:{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},畫成圖為一正方形。會面的充要條件是|x-y| ≤20,即事件A={可以會面}所對應(yīng)的區(qū)域是圖1中的陰影部分。故P=1-2×1/2×40×40/(60×60)=1-1600/3600=5/9。
這樣一道直接推理起來較為困難的題目,通過數(shù)形結(jié)合的方式,其實簡單地畫一個圖就能得到很好的解決,故而高中生應(yīng)當(dāng)更為重視對數(shù)形結(jié)合思想的練習(xí),在遇到能夠根據(jù)數(shù)據(jù)畫圖求解的題目時,要能夠在很短時間內(nèi)反應(yīng)過來畫圖解答,高考中每一道題的時間都不多,利用數(shù)形結(jié)合的思想,能夠快速正確地解答當(dāng)前的題目,省下更多的時間來處理別的難題。
圖1
遞推思想是解決概率問題的一個主流思想,它推理過程直接,易于理解,很多學(xué)生在解答概率題時都會運(yùn)用到遞推思想,然而遞推思想的一個致命缺點(diǎn)就是它往往耗時更多,當(dāng)題目的難度不太大、推理過程難度也不過高的時候,運(yùn)用遞推思想可快速而直接地得出答案,是最優(yōu)的選擇。除此之外,我們學(xué)習(xí)過的遞推公式在數(shù)列中的運(yùn)用很多,當(dāng)然也可以運(yùn)用在概率題的解答之中。
例如如下例題:
A,B二人各拿兩顆骰子做拋擲游戲,規(guī)則如下:若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù),該擲骰子的人再繼續(xù)擲;若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù),就由對方接著擲,第一次由A擲。若第n次由A擲的概率為P,求P。
解:因為第一次由A來拋,擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù),擲骰子的人再繼續(xù)擲,則第二次由A拋的概率是12/36,即1/3。第三次由A拋的概率是12/36×12/36,即1/3的平方。第四次由A拋的概率是12/36×12/36×12/36,即1/3的三次方。依此類推,第n次由A擲的概率為1/3的n-1次方。故而
由這樣的題我們可以看出,利用遞推思想能夠很直觀而易于理解的解決問題。遞推思想不僅僅是盲目地一步步推出結(jié)果,它的要點(diǎn)在于找到每一步之間的聯(lián)系,并根據(jù)聯(lián)系按照規(guī)律寫出接下來會發(fā)生的結(jié)果。這種手段常??梢杂迷诖箢}的計算中,往往會有很好的效果。
當(dāng)然,高中概率題的解答思想不僅僅只有以上三種,例如方程思想、補(bǔ)集思想等都可以運(yùn)用在題目的實際解答中。重要的是要如何將我們在平時的大量練習(xí)中主動或習(xí)慣形成的不同解題思想運(yùn)用到實際的解題過程中去,并且利用不同的運(yùn)用的對比找到解答一類題的統(tǒng)一技巧,做到觸類旁通,會一題會一類題,這樣才能在考試的過程中節(jié)省更多的時間,提高解題效率,獲得更好的成績。