運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)

陳文淵

[摘 要]“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究對(duì)象，“以形助數(shù)”可以溝通幾何直觀與數(shù)學(xué)抽象之間的聯(lián)系，可以將抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以活躍學(xué)生思維，拓寬解題思路，提高解題能力。在教學(xué)中，教師可以通過(guò)以形表數(shù)、以形助數(shù)、以形想數(shù)、以形解數(shù)向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；教學(xué)研究；數(shù)學(xué)知識(shí)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）02-037

“數(shù)”和“形”是貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，“數(shù)”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的抽象化符號(hào)語(yǔ)言，“形”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的直觀化圖形語(yǔ)言，在研究抽象“數(shù)”的時(shí)候，往往要借助直觀的“形”，即將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問(wèn)題，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)。

一、以形表數(shù)——連接“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“紐帶”

概念的特點(diǎn)是抽象概括，是事物本質(zhì)屬性的反映。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生以形象思維為主，理解抽象的概念知識(shí)有很大的難度，所以教師可以借助幾何形體，以形表數(shù)，以形引數(shù)，把抽象的概念形象化，幫助學(xué)生在直觀中理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如，“乘法分配律”歷來(lái)都是學(xué)生難學(xué)，教師難教的一節(jié)課。許多教師只關(guān)注演示分配律的兩種不同表達(dá)方式，而忽略了對(duì)分配律意義的教學(xué)，學(xué)生對(duì)分配律的理解往往只停留在識(shí)記與模仿的層面，沒(méi)有真正理解概念的本質(zhì)。在教學(xué)這節(jié)課時(shí)，教師應(yīng)以形表數(shù)，以形引數(shù)，讓學(xué)生深刻理解乘法分配率的本質(zhì)。

教師出示一個(gè)長(zhǎng)為5厘米、寬為3厘米的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生用兩種方法求出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

生1：5×2+3×2。

生2：（5+3）×2。

師：誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)算式中每一步所表示的意思？（讓學(xué)生數(shù)形結(jié)合，說(shuō)出算式的意思，為理解乘法分配律做好準(zhǔn)備）

（教師隱去圖中的具體數(shù)據(jù)。出示長(zhǎng)方形 ，請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的方法）

生3：（長(zhǎng)+寬）×2。

生4：長(zhǎng)×2+寬×2。

生5：長(zhǎng)+寬×2。

師：為什么生1的式子只乘以一個(gè)2，而生2的式子要乘以兩個(gè)2呢？生3的式子對(duì)不對(duì)？為什么？（學(xué)生作圖辨析，如圖1）

在這個(gè)以形表數(shù)的過(guò)程中，教師通過(guò)提問(wèn)和引導(dǎo)作圖，有效減少（5+3）×2=5+3×2這類錯(cuò)誤的出現(xiàn)。學(xué)生對(duì)乘法分配律的直觀模型有了更深刻的理解。

最后，教師以形引數(shù)，提取乘法分配律的符號(hào)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過(guò)程。

師：將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬變成a和b，周長(zhǎng)怎樣算？a和b可以是幾？（教師出示圖2 ，讓學(xué)生猜測(cè)并證明）

教師將周長(zhǎng)的計(jì)算變成了線段a、b的延伸，形的延伸帶動(dòng)數(shù)的擴(kuò)張，使教學(xué)一下子從平鋪?zhàn)呦蚣な帲破葘W(xué)生逐步從借助直觀的畫(huà)圖，到看圖想象，再到改造算式的活動(dòng)中，理解和內(nèi)化了“分配”的實(shí)際含義，建立了意義與形式的完整聯(lián)系，成功抽取出乘法分配律的符號(hào)模型。

二、以形助數(shù)——尋找“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“支撐”

探索規(guī)律需要較強(qiáng)的邏輯思維能力，而所需要的思維能力與學(xué)生的思維水平存在一定的差距，為縮短兩者之間的差距，就需要在它們之間尋找一個(gè)支撐點(diǎn)，而這個(gè)支撐點(diǎn)就是“數(shù)形結(jié)合”。

例如，用簡(jiǎn)便方法計(jì)算 + + + +…+ ?？吹筋}目后，學(xué)生的第一反應(yīng)是用異分母加減的方法計(jì)算，雖然，這樣計(jì)算比較煩瑣，但幾乎沒(méi)有學(xué)生想到用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。針對(duì)此現(xiàn)象，教師先引入另一道題：一塊正方形菜地，用它的 種茄子，用它的 種辣椒，用它的 種土豆，用它的 種韭菜，種這四種菜的總面積占這塊菜地的幾分之幾？當(dāng)學(xué)生列出算式后，教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖理解（如圖3）。通過(guò)觀察圖形，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：要求 + + + 的和，只要用大正方形的面積減去陰影部分的面積即可，而陰影部分的面積剛好是這塊正方形菜地的 ，從而得到簡(jiǎn)便算法 + + + =1- = 。同時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生思考，依此類推再分下去，當(dāng)分到 、 時(shí)，剩下的面積對(duì)應(yīng)的是 、 ，再通過(guò)簡(jiǎn)便計(jì)算就能得出相應(yīng)的面積。

這一過(guò)程絕不是簡(jiǎn)單的模仿和記憶，而是從正方形的面積入手，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的平臺(tái)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生理解的表象，從而將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，降低學(xué)生的解題難度，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象能力、推理能力和發(fā)散思維能力。

三、以形想數(shù)——架設(shè)“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“橋梁”

計(jì)算教學(xué)應(yīng)以清晰的理論引導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，使學(xué)生“知其然”，也“知其所以然”。借助直觀的圖形可以將抽象的算理形象化、簡(jiǎn)單化，使抽象的計(jì)算過(guò)程有了形象的替代橋梁，數(shù)學(xué)不再是抽象艱澀，而變得有趣生動(dòng)。

例如，“精打細(xì)算”這節(jié)課，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。結(jié)果學(xué)生在解題時(shí)不是丟了商中的小數(shù)點(diǎn)，就是在豎式中點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？究其原因，就是沒(méi)有真正理解算理。教師可以調(diào)整教學(xué)方法，借助圖形，從小數(shù)的意義上讓學(xué)生深刻理解算理。

師：這有兩道除法豎式（如圖4），你覺(jué)得哪種寫(xiě)法更合理？

生1：我認(rèn)為兩種寫(xiě)法都合理，因?yàn)?5角也就是1.5元。

生2：假設(shè)這個(gè)算式中的11.5不表示錢(qián)，而是表示一些圖形（如圖5），這樣一來(lái)第二種方法就不合理。

生3：如圖6，可以把10個(gè)正方形平均分成5份，每份分到2個(gè)正方形，剩下的一個(gè)正方形就應(yīng)分成10份，變成10個(gè)0.1，和剩下的5個(gè)0.1合在一起變成15個(gè)0.1后再繼續(xù)分。把15個(gè)0.1平均分成5份，每份應(yīng)分得3個(gè)0.1，3要寫(xiě)在商的十分位上，豎式中的15實(shí)際上是表示15個(gè)0.1，不應(yīng)寫(xiě)或1.5。因此第一種寫(xiě)法更合理。

多么巧妙的回答呀，一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形清楚地詮釋了計(jì)算的道理，令學(xué)生的印象深刻。

四、以形解數(shù)——開(kāi)辟“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“通道”

《九章算術(shù)》指出：析理以辭，解體用圖。小學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題不僅抽象，而且有的數(shù)量關(guān)系還比較隱蔽，不易被覺(jué)察或直接應(yīng)用。畫(huà)圖可以幫助學(xué)生將題中隱蔽的數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)看圖、想圖，正確分析數(shù)量關(guān)系，尋找解決問(wèn)題的策略，把學(xué)生的思維引向更深處。

教師出示例題：有一塊長(zhǎng)方形的試驗(yàn)田，如果試驗(yàn)田的寬增加4米，或者長(zhǎng)增加6米，面積都比原來(lái)增加48平方米，你知道原來(lái)試驗(yàn)田的面積是多少平方米嗎？學(xué)生分析該題的數(shù)量關(guān)系有一定的難度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖（如圖7），讓學(xué)生看到圖形的變化過(guò)程。

通過(guò)觀察畫(huà)圖的過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)用48÷4就能求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，用48÷6就能求出長(zhǎng)方形的寬，用（48÷6）×（48÷4）就能求出長(zhǎng)方形的面積。接著，教師給出變式練習(xí)：有一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，長(zhǎng)50米，寬40米。（1）如果長(zhǎng)增加8米，面積增加多少平方米？（2）如果寬增加8米，面積增加多少平方米？（3）如果長(zhǎng)和寬都增加8米，面積增加多少平方米？（4）如果將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各減少8米，面積減少多少平方米？無(wú)論怎樣改變題目的條件，學(xué)生都能快速地解決問(wèn)題。

由此看來(lái)，在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，用恰當(dāng)?shù)膱D形表示其數(shù)量關(guān)系，讓隱含條件顯現(xiàn)，能使學(xué)生解決問(wèn)題的方法更具有簡(jiǎn)約化與創(chuàng)造性。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”數(shù)形結(jié)合的思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域，這就要求教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)該努力鉆研教材，把握數(shù)形結(jié)合思想方法滲透的固著點(diǎn)，落實(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的著力點(diǎn)，從而為學(xué)生尋找一支合適的“長(zhǎng)篙”，引領(lǐng)學(xué)生的思維向更深處漫溯。

（責(zé)編 李琪琦）