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    畫(huà)板構(gòu)建表象 直觀巧解深意

    2017-03-01 20:18:45吳云飛
    關(guān)鍵詞:幾何直觀圖形與幾何幾何畫(huà)板

    吳云飛

    [摘 要]“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的十個(gè)核心概念之一,它能幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí),構(gòu)建深刻的數(shù)學(xué)表象,使學(xué)生的形象感知提升到抽象思維;能解決兒童思維特點(diǎn)與數(shù)學(xué)抽象性之間的矛盾,使學(xué)生學(xué)得更容易、更輕松,為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中有很多知識(shí)點(diǎn)是很難為學(xué)生提供良好的幾何直觀的,所以也使得這部分知識(shí)的表象無(wú)法深刻構(gòu)建。幾何畫(huà)板的出現(xiàn)和不斷發(fā)展,為這一問(wèn)題的解決提供了一個(gè)很好的工具。

    [關(guān)鍵詞]幾何畫(huà)板;幾何直觀;圖形與幾何;表象

    [中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068(2017)02-014

    小學(xué)數(shù)學(xué)雖然不需要向?qū)W生呈現(xiàn)類似高等數(shù)學(xué)紛繁復(fù)雜的知識(shí),但是在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中,有很多知識(shí)點(diǎn)很難為學(xué)生提供良好的幾何直觀,使得這部分知識(shí)的表象無(wú)法深刻構(gòu)建。而教師也有著難以言語(yǔ)的尷尬,如用心制作的教具難以解決實(shí)質(zhì)性問(wèn)題;現(xiàn)代媒體軟件PPT機(jī)械式的動(dòng)畫(huà)浮于表面。幾何畫(huà)板的出現(xiàn)和不斷發(fā)展,為這一問(wèn)題的解決提供了一個(gè)很好的工具。幾何畫(huà)板被稱為“21世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”,它能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、變化規(guī)律,可以有效解決兒童思維特點(diǎn)與數(shù)學(xué)抽象性之間的矛盾,尤其對(duì)幾何直觀的構(gòu)建作用更是無(wú)可比擬??梢哉f(shuō),它是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的一把“利劍” 。

    一、追蹤軌跡,“動(dòng)”“靜”心隨我愿

    在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,對(duì)于包含動(dòng)態(tài)變化的問(wèn)題,只能通過(guò)教師的語(yǔ)言進(jìn)行描述,而學(xué)生則根據(jù)一些靜態(tài)圖形對(duì)其進(jìn)行抽象思維。而若利用課件也最多能為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)動(dòng)畫(huà)的過(guò)程,并不能對(duì)圖形的最本質(zhì)的軌跡進(jìn)行追蹤和保留。因此,對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō),他們是很難對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象有深層次的認(rèn)識(shí)的。 而幾何畫(huà)板的追蹤軌跡功能,能形象直觀地把圖形運(yùn)動(dòng)的每一個(gè)時(shí)刻展現(xiàn)給學(xué)生,使學(xué)生更清楚地觀察運(yùn)動(dòng)、變化中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象,使隱形的、簡(jiǎn)縮的思維過(guò)程展現(xiàn)出來(lái),為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)提供有力的表象支撐。

    1.追蹤軌跡,動(dòng)靜結(jié)合直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)

    眾所周知,學(xué)習(xí)舞蹈時(shí)總是先分開(kāi)學(xué)習(xí)每一個(gè)動(dòng)作,而后再把它們連貫起來(lái)進(jìn)行練習(xí)。其實(shí),無(wú)論是兒童還是成人,如果想要分析一種動(dòng)態(tài)變化現(xiàn)象的本質(zhì),就要和學(xué)習(xí)舞蹈一樣——先看清每個(gè)動(dòng)作的特點(diǎn),掌握好每個(gè)動(dòng)作,然后再把它們連起來(lái)進(jìn)行細(xì)致觀察,從而發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)規(guī)律。而分解每個(gè)動(dòng)作并保留每個(gè)動(dòng)作的軌跡正是幾何畫(huà)板不同于其他軟件的最大特點(diǎn)之一。

    例如,學(xué)生僅利用圓的本質(zhì)特征對(duì)“車輪為什么要做成圓的”這一問(wèn)題進(jìn)行解釋是非常難的,這時(shí)教師可以利用幾何畫(huà)板制作“橢圓”和“圓”在直線上滾動(dòng)的動(dòng)畫(huà),并追蹤“橢圓”的中心點(diǎn)和圓的圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡(如圖1),同時(shí)與學(xué)生一起進(jìn)行分步分析。

    這樣利用幾何畫(huà)板進(jìn)行分步分析,能使學(xué)生直觀感受橢圓與圓兩者的本質(zhì)差別,為他們解釋“車輪為什么要做成圓的”提供有力的表象支撐。

    與其他課件制作軟件(如PPT)相比,幾何畫(huà)板能使“動(dòng)畫(huà)的軌跡”得以保留,不僅為學(xué)生呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程,而且能把這個(gè)過(guò)程中最本質(zhì)的東西保留下來(lái),為學(xué)生的進(jìn)一步思考留下有形的痕跡。

    2.追蹤軌跡,由局部到整體完善知識(shí)表象

    在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于受教學(xué)時(shí)間和教具形式等因素的影響,導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法建立起完善的數(shù)學(xué)知識(shí)表象,進(jìn)而無(wú)法真正理解數(shù)學(xué)思想。

    極限思想是圓的教學(xué)的核心,是有關(guān)圓面積及圓柱體積計(jì)算等后續(xù)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。因此,如何利用極限思想來(lái)感悟圓的本質(zhì)特征——“一中同長(zhǎng)”,是圓初始課中需要濃墨重彩刻畫(huà)的重要環(huán)節(jié)。而利用幾何畫(huà)板就能很好地幫助我們實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。首先利用幾何畫(huà)板的“旋轉(zhuǎn)”功能逐步展現(xiàn)圓上的一些動(dòng)態(tài)點(diǎn)(如圖2),然后讓學(xué)生想象更多點(diǎn)的情況,再通過(guò)“追蹤點(diǎn)的軌跡”驗(yàn)證學(xué)生的想象,最后為他們建立完整的知識(shí)表象。

    3.追蹤軌跡,由面到體現(xiàn)場(chǎng)印證想象

    對(duì)于立體圖形與平面圖形轉(zhuǎn)化的問(wèn)題,如果只靠教師運(yùn)用語(yǔ)言來(lái)描述,學(xué)生很難構(gòu)建出正確的圖形表象;如果運(yùn)用傳統(tǒng)的教學(xué)工具,如粉筆、黑板、模型等,又很難直觀演示;而利用傳統(tǒng)的課件又不能體現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程。因此,當(dāng)遇到這樣的情況時(shí),很多教師會(huì)說(shuō)“空間想象力的差距太大”。誠(chéng)然,這個(gè)是不可忽視的問(wèn)題,但是如果利用幾何畫(huà)板直觀形象地演示這一過(guò)程,就能較好地幫助空間想象力較弱的學(xué)生構(gòu)建起空間轉(zhuǎn)化的表象,而對(duì)于空間想象力較強(qiáng)的學(xué)生,也有助于加深他們對(duì)問(wèn)題的理解。

    筆者曾聽(tīng)過(guò)“圓柱的認(rèn)識(shí)”的一堂課,整個(gè)課堂非常精彩,但有一點(diǎn)卻讓筆者“耿耿于懷”——當(dāng)教師提出“用一張紙,你能創(chuàng)造出一個(gè)圓柱嗎”這一問(wèn)題時(shí),有一個(gè)學(xué)生提到:“如果這張紙是圓形的話,就能通過(guò)上下平移得到圓柱(確切地說(shuō)應(yīng)該是平移過(guò)程中通過(guò)的空間大?。!倍嗝淳实幕卮鸢。∪欢?,面對(duì)如此獨(dú)到的見(jiàn)解,這位教師卻犯難了,因?yàn)槿螒{他如何用語(yǔ)言來(lái)解釋,大部分學(xué)生都無(wú)法深刻理解;而實(shí)物操作不僅缺乏連貫性,而且也無(wú)法呈現(xiàn)出所創(chuàng)造的“圓柱”。其實(shí),只要利用幾何畫(huà)板就能很好地解決這個(gè)問(wèn)題(如圖3)。

    對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),這樣的表象一看就能明白,并能輕易理解其中的關(guān)系。這樣動(dòng)態(tài)教學(xué),為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)柱體的體積公式(底面積乘高)積累了有益的經(jīng)驗(yàn)。同樣的,在教材提到的關(guān)于“長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)得到圓柱的操作”的問(wèn)題上,如果也能利用幾何畫(huà)板(如圖4),亦可以收到事半功倍的教學(xué)效果。

    通過(guò)幾何畫(huà)板直觀演示,立體圖形清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前,這不僅使學(xué)生掌握了平面圖形與立體圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系,還幫助學(xué)生構(gòu)建了深刻的表象。在學(xué)生有了這樣的表象依托后,我們可以進(jìn)一步讓他們對(duì)比不同旋轉(zhuǎn)后所得圓柱的特點(diǎn),從而深刻理解圓柱的粗細(xì)、高矮與什么有關(guān)等知識(shí)(課件上的三張長(zhǎng)方形紙是完全一樣的,因此學(xué)生可以非常直觀地感受到這一點(diǎn)),為后續(xù)的圓的表面積和體積的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

    二、即時(shí)演示,“多”“少”變?cè)谖沂?/p>

    現(xiàn)在的課堂瞬息萬(wàn)變,而以往課件的交互性與即時(shí)性相對(duì)較弱,很多時(shí)候只能按照教師預(yù)先設(shè)計(jì)好的順序進(jìn)行反饋,一旦教師的預(yù)設(shè)不全面,就會(huì)留下很多遺憾。幾何畫(huà)板不但具有良好的交互性,而且有很強(qiáng)大的即時(shí)性。在教學(xué)過(guò)程中,利用幾何畫(huà)板,教師可以隨時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況或即時(shí)變化課件預(yù)設(shè),或邊授課邊制作,或由學(xué)生小組親自動(dòng)手。這樣,學(xué)生不但可以獨(dú)立制作一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)課件,而且還可以從中學(xué)會(huì)計(jì)算機(jī)軟件的使用方法,體會(huì)到信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)。這也正是幾何畫(huà)板的另一大優(yōu)點(diǎn)。

    1. 即時(shí)演示,親眼見(jiàn)證奇妙變化

    在一些數(shù)學(xué)知識(shí)的研究中,我們往往需多次操作才能得出正確的結(jié)論,而這個(gè)“多次操作”有時(shí)候既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。如果利用一般的課件,又會(huì)出現(xiàn)和學(xué)生的提問(wèn)無(wú)法一致的現(xiàn)象,從而缺失交互性。利用幾何畫(huà)板能很好地解決這一難題,利用它強(qiáng)大的參數(shù)功能可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生要什么數(shù)據(jù)就有什么數(shù)據(jù)。

    例如,在“圓的面積”一課中,我們?cè)谕茖?dǎo)圓面積公式時(shí),如果單純的用剪拼的操作來(lái)推導(dǎo)的話太過(guò)麻煩,而且效果也不一定好,若用一般課件其預(yù)設(shè)又太單一(只能預(yù)先做好固定的等份,不能根據(jù)課堂生成隨意改動(dòng))。而如果在適當(dāng)剪拼的基礎(chǔ)上利用幾何畫(huà)板,就可以生成任意等份的圓,而且圓的大小等都可以隨意改變(如圖5所示)。

    [其中n是半圓的等份次數(shù)(可以隨時(shí)填入),R代表圓的半徑大?。梢噪S意改變),虛線表示整個(gè)剪拼過(guò)程(可以隨意拉動(dòng)并保持在任何位置,也可以動(dòng)畫(huà)演示)。]

    幾何畫(huà)板利用一個(gè)預(yù)設(shè)課件就可以“以一圖應(yīng)萬(wàn)變”,這是其他教學(xué)軟件所無(wú)法比擬的,“幾何畫(huà)板”的優(yōu)越性顯而易見(jiàn)。

    2.即時(shí)演示,實(shí)時(shí)感受“變中不變”

    在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們總希望學(xué)生掌握“分析現(xiàn)象,抓住本質(zhì),得出結(jié)論”的學(xué)習(xí)方法,但有時(shí)候又愛(ài)莫能助——沒(méi)有足夠的時(shí)間或沒(méi)有辦法提供給學(xué)生更多、更全的現(xiàn)象,從而不能使他們建立全面、深刻的表象,構(gòu)建幾何直觀,所以很多時(shí)候只能是教師“代勞”分析與總結(jié)。幾何畫(huà)板的作圖是利用“幾何關(guān)系不變”這規(guī)律來(lái)進(jìn)行的,所以利用它完全可以幫助我們解決這一問(wèn)題。

    例如,“垂直與平行”這一課中,學(xué)生在研究了這兩個(gè)現(xiàn)象后,對(duì)于兩條直線在正常位置(水平、豎直等)的判斷大都沒(méi)有問(wèn)題,但是有部分學(xué)生對(duì)非正常位置的判斷卻存在問(wèn)題。究其原因是,他們這方面的表象建立得不夠。倘若在其中花1分鐘利用幾何畫(huà)板展現(xiàn)平行和垂直(如圖6所示),然后隨意拖動(dòng),不僅可在數(shù)秒鐘之內(nèi)讓學(xué)生觀察到足夠多的現(xiàn)象,建立比較全面的平行和垂直的表象,而且能讓學(xué)生更好地體會(huì)“變中不變”的思想。

    3.即時(shí)演示,直觀分析知識(shí)聯(lián)系

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,有些內(nèi)容之間有著緊密的聯(lián)系,因此需要通過(guò)大量的觀察和對(duì)比,以發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。但是只憑“空對(duì)空”的講解、對(duì)話,是無(wú)法使那些原本就弄不清楚的學(xué)生,特別是潛能生走出“云里霧里”的模糊狀態(tài),即使用幾個(gè)靜態(tài)圖來(lái)說(shuō)明,也會(huì)讓人感覺(jué)“缺乏聯(lián)系”,從而不能使課堂教學(xué)效果最大化,浪費(fèi)大量的課堂教學(xué)時(shí)間。這時(shí),如果我們利用幾何畫(huà)板來(lái)進(jìn)行即時(shí)動(dòng)態(tài)操作演示,在演示的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、討論,那么其效果是不言而喻的。

    例如,在學(xué)生學(xué)完平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算之后,我們往往會(huì)讓學(xué)生進(jìn)一步理解三個(gè)面積計(jì)算公式,這就需要和學(xué)生探討這三個(gè)面積計(jì)算公式之間的關(guān)系,得到平行四邊形和三角形其實(shí)是梯形的兩種“特殊情況”(平行四邊形是上底和下底相等的“特殊”梯形,三角形是上底為0的“特殊”梯形)。此時(shí),如果利用幾何畫(huà)板強(qiáng)大的交互性和即時(shí)性制作一個(gè)平行四邊形、三角形和梯形相互轉(zhuǎn)化的動(dòng)態(tài)課件(如圖7),可收到事半功倍的教學(xué)效果。

    (在圖7中,拖動(dòng)右上的點(diǎn)即可在平行四邊形、三角形和梯形之間隨意轉(zhuǎn)化,也可制作成連續(xù)的動(dòng)畫(huà)。而且在“高”方面也能幫助學(xué)生深刻理解“點(diǎn)到直線的距離”的本質(zhì)。)

    4.即時(shí)演示,現(xiàn)場(chǎng)彌補(bǔ)操作不足

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,有部分知識(shí)是需要學(xué)生在實(shí)踐操作中慢慢發(fā)現(xiàn)的,但是這些實(shí)踐操作往往如同“雞肋”一般“食之無(wú)味,棄之可惜”——學(xué)生操作時(shí)的“量”不夠多,“質(zhì)”不夠高。

    例如,在“圓的周長(zhǎng)”一課中,學(xué)生用線操作后發(fā)現(xiàn)要找出圓的周長(zhǎng)與直徑的聯(lián)系比較困難,甚至有一部分學(xué)生根本不知道“為什么而做”。因此,我們可以在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上再通過(guò)幾何畫(huà)板演示(如圖8),以彌補(bǔ)他們操作時(shí)的不足。

    (如圖8,我們可以用圓心隨意調(diào)節(jié)圓的大小,拖動(dòng)下面的點(diǎn)可以反復(fù)拉直與還原圓的周長(zhǎng),并且在比較的過(guò)程中,3條直徑也會(huì)隨圓大小的變化而變化,能讓學(xué)生清楚地感受到3倍多一點(diǎn)的關(guān)系,最后顯示圓的周長(zhǎng)與直徑的數(shù)據(jù),讓學(xué)生總結(jié)得出π,效果相當(dāng)好。)

    綜上可知,如何利用幾何畫(huà)板來(lái)幫助學(xué)生深刻構(gòu)建數(shù)學(xué)表象是非常值得研究的課題。筆者通過(guò)上述的舉例說(shuō)明,提出了一些具有實(shí)際可行性的操作點(diǎn),希望能引起大家的更多思考。

    (責(zé)編 黃春香)

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