基于非解析正交矩的圖像分析

趙遠(yuǎn)陽, 付 波, 趙熙臨, 范秀香, 郭 浩

(湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

基于非解析正交矩的圖像分析

趙遠(yuǎn)陽, 付 波, 趙熙臨, 范秀香, 郭 浩

(湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

為進(jìn)一步提高正交矩的圖像特征表達(dá)能力，根據(jù)零點采樣原理，認(rèn)為權(quán)函數(shù)是影響正交多項式零點分布的關(guān)鍵因素，采用正交化準(zhǔn)則與數(shù)值方法相結(jié)合的手段求取非解析正交多項式，從而構(gòu)造高性能的非解析正交矩，實驗驗證表明該方法是有效的。

正交化原則；數(shù)值方法；非解析正交多項式；非解析正交矩

20世紀(jì)80年代以來，以Zernike矩和Legendre矩為代表的正交矩逐步成為圖像處理與模式識別領(lǐng)域的一類重要特征表達(dá)手段[1]，探索圖像理解與分析的新理論、新方法成為近30年圖像矩理論的研究熱點。隨后，Y.L.Sheng[2]、平子良[3- 5]、阿木古愣[6, 7]、M. Pawlak和S.X. Liao[8, 9]、R. Mukundan[10-12]、舒華忠[13-15]、付波[16]、P.T. Yap[17]等提出了正交Fourier-Mellin矩、Fourier-Jacobi(p=4,q=3)矩、Hahn矩、Chebichef矩、改進(jìn)Legendre矩、Krawtchouk矩等多種高性能矩，并研究了正交矩的多畸不變性、抽樣性能、誤差抑制以及算法效率等不同因素對其特征表達(dá)能力的影響。

已有研究成果表明，正交多項式的抽樣性能，即正交多項式的零點分布及其分布密度對正交矩的圖像特征表達(dá)能力有重要影響[2]。正交矩基函數(shù)的零點數(shù)目和密度與其描述圖像高空間頻率成分的能力密切相關(guān)[3-7,15,16]，即n階多項式的零點數(shù)目和位置代表著該階圖像矩對圖像的抽樣頻率和抽樣位置，對應(yīng)的低階矩主要抽取總輪廓特征，而高階矩捕獲高頻細(xì)節(jié)信息。研究者可以通過改進(jìn)或研究零點分布更好的正交基函數(shù)來改善正交矩的性能，正交矩的零點越多，矩的特征表達(dá)能力越強，而且較均勻零點分布的正交矩在表現(xiàn)圖像的全局特征上效果更好，正交Fourier-Mellin矩[2]、Fourier-Chebyshev矩[3]、Fourier-Jacobi(p=4,q=3)矩[6]、Fourier-Jacobi矩[4]以及改進(jìn)Legendre矩[17]等高性能正交矩就是基于此原理提出的。然而阿木古楞[6]等人的研究也表明，由于固定零點會造成該零點附近重構(gòu)效果退化，該類零點只能設(shè)置在定義域的兩端；其次，經(jīng)典解析正交多項式的種類有限，限制了零點分布的可選擇性。因此，如果想進(jìn)一步提高正交矩的特征表達(dá)能力，必須另辟蹊徑，尋找新的方法求解具有更優(yōu)零點分布的正交多項式。

正交矩的核是正交多項式，按照Askey的研究[18-20]，經(jīng)典正交多項式分為wilson連續(xù)正交多項式與Racah離散正交多項式兩大類。Jacobi多項式歸于Wilson多項式，而Hahn多項式、Krawtchouk多項式等屬于Racah多項式的特例。20多年來，圍繞這些具有解析表達(dá)的經(jīng)典正交多項式提出了多種正交矩如Legendre矩、Zernike矩、徑向Chebyshev矩、徑向Jacobi矩、Tchebichef矩、Krawtchouk矩、Hahn矩、Racah矩等。受數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的限制，具有解析表達(dá)的正交多項式不僅種類有限而且極難構(gòu)造，這一情況極大限制了正交矩的研究。自Q.Y. Zhu等提出離散Racah矩后，鮮見新的高性能正交矩的報道，一個重要原因就是正交多項式解析表達(dá)的限制。由于正交多項式的零點分布局有漸進(jìn)特性[19]，僅從有限的經(jīng)典解析正交多項式尋找優(yōu)化零點分布的手段顯得力不從心，需要探索生成新正交多項式的方法。

因此，本文從這些研究成果與思路出發(fā)，突破解析正交多項式的局限，采用數(shù)值方法求解正交多項式，將更靈活地配置正交多項式的零點分布，以構(gòu)造具有更好圖像特征表達(dá)能力的正交矩。

1 圖像正交矩

其中,展開系數(shù)正交函數(shù)系ηnm由

式中ηpq稱為f(x,y)的正交矩。

2 非解析正交矩

2.1 正交化準(zhǔn)則結(jié)合數(shù)值方法構(gòu)造帶權(quán)非解析正交多項式

定義區(qū)間[-1,1]內(nèi)的連續(xù)權(quán)函數(shù)w(x)及其與xn的內(nèi)積

權(quán)函數(shù)w(x)對應(yīng)的正交多項式

(1)

由多項式正交化準(zhǔn)則，Pn(x)應(yīng)滿足

(2)

也即Pn(x)應(yīng)滿足

(3)

式(3)可寫為：

An+lbn+An+l-1bn-1+…+Al+1b1+Alb0=0

(4)

其中l(wèi)

(5)

通過松弛疊代法，求取式(5)在可以求取已知bn條件下的數(shù)值解，這樣求得滿足式(2)的多項式Pn(x)。由求模公式得

(6)

2.2 非解析正交矩

式(1)和式(6)可構(gòu)造正交矩

其反變換公式為

(7)

該方案雖然是以區(qū)間[-1,1]為例得出，它也適合于其他定義域形式如[0,1]。

2.3 通過權(quán)函數(shù)調(diào)整正交多項式零點分布

正交多項式的零點分布具有漸進(jìn)特性，即零點分布密度總是沿變量的某一方向增加。根據(jù)對相關(guān)研究成果的分析，權(quán)函數(shù)是影響正交多項式零點分布的關(guān)鍵因素。同時考慮權(quán)函數(shù)零點對重構(gòu)效果的影響，本文對權(quán)函數(shù)的設(shè)計定義以下原則：

1)權(quán)函數(shù)不設(shè)零點或?qū)⒘泓c設(shè)置在定義域的端點；

2)設(shè)計權(quán)函數(shù)形態(tài)，使正交多項式零點分布更平均。

3 實驗驗證

根據(jù)以上對正交多項式從零點數(shù)量和零點分布密度兩個方面的分析可知，通過設(shè)計不同特性的權(quán)函數(shù)，可以按照實際應(yīng)用需求合理安排正交多項式的零點分布，使低階正交矩包含更多的圖像細(xì)節(jié)，從而增強正交矩的特征表達(dá)能力。

本文分析一類較特殊的正交多項式，令權(quán)函數(shù)w(x)>0關(guān)于y軸對稱，按照式(2)到式(5)求解P2(x)得b1=0，同時由式(5)可得：

b2A2+b0A0=0

即

代入式(5)可得二階零點：

(8)

從式(8)項目組推斷，權(quán)函數(shù)w(x)的內(nèi)積A0越小，零點就越靠近原點；反之，則遠(yuǎn)離原點。根據(jù)該結(jié)果，項目組構(gòu)造四個權(quán)函數(shù)(圖1)：

圖 1 四個權(quán)函數(shù)的示意圖

從圖1以及實際計算可知，四個權(quán)函數(shù)的0階內(nèi)積的大小順序為

(a)帶權(quán)w1(x)正交多項式

(b)帶權(quán)w2(x)正交多項式

(c)帶權(quán)w3(x)正交多項式

(d)帶權(quán)w4(x)正交多項式圖 2 四類正交多項式示意圖

圖 3 四類正交矩重構(gòu)效果圖

圖 4 四類正交矩歸一化均方誤差

根據(jù)式(8)，對應(yīng)0階內(nèi)積越小的權(quán)函數(shù)，對應(yīng)正交多項式的二階零點也越靠近原點。因此，高階正交多項式的零點也相應(yīng)向原點移動。由數(shù)值方法求解方程(5)可以得到四個權(quán)函數(shù)對應(yīng)的非解析正交多項式，如圖2分別畫出四個正交多項式的1-6階示意。從圖中可以清晰看到，0階內(nèi)積越小的權(quán)函數(shù)，對應(yīng)的正交多項式零點分布越均勻。按照零點分布密度與重構(gòu)性能的關(guān)系，應(yīng)有w4(x)對應(yīng)的正交多項式具有較均勻的零點分布，其對應(yīng)的正交矩在四類情況中應(yīng)具有最好的重構(gòu)效果。圖3和圖4記錄了四類正交矩對一20×20圖像“我”的重構(gòu)效果與歸一化均方誤差

圖5和圖6結(jié)果顯示：帶權(quán)w4(x)正交矩在四類矩中具有最好的重構(gòu)效果。試驗結(jié)果驗證了本項目研究思路的可行性與正確性，即正交化與松弛迭代法結(jié)合的非解析帶權(quán)正交多項式算法是可行的，權(quán)函數(shù)可以改變零點分布，具有較均勻零點分布的正交矩具有更好的整體重構(gòu)性能。

4 結(jié)論

根據(jù)零點采樣原理，認(rèn)為權(quán)函數(shù)是影響正交多項式零點分布的關(guān)鍵因素，采用正交化準(zhǔn)則與數(shù)值方法相結(jié)合的手段求取非解析正交多項式，從而構(gòu)造高性能的非解析正交矩。雖然該方法不能完全完成任意權(quán)正交多項式的求解，但對于目前使用較多的多項式類權(quán)具有較好的求解效果，實驗驗證表明該方法是有效的。但是對于式(5)的數(shù)值求解存在計算效率的問題，大型矩陣方程的求解效率仍是本方法需要考慮的問題。

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[責(zé)任編校： 張巖芳]

Image Analysis Based on Non-Analytic Orthogonal Moments

ZHAO Yuanyang, FU Bo, ZHAO Xilin, FAN Xiuxiang, GUO Hao

(SchoolofElectrical&ElectronicEngin.,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

In order to enhance the feature extraction capabilities of orthogonal moments, based on the theory of zero sampling, we think that the power is the key factor in influencing the zero distribution of orthogonal polynomials. And the orthogonality criterion and numerical algorithm are used to resolve non-analytic orthogonal polynomials and construct the non-analytic orthogonal moments. The experimental results show that the proposed moments have superior performance.

Orthogonality criterion, Numerical method, non-analytic orthogonal polynomials, non-analytic orthogonal moments

2016-01-06

國家自然科學(xué)基金項目(61072130)，武漢市科技攻關(guān)計劃項目(2013012401010845)，湖北工業(yè)大學(xué)基金項目(BSQD12107

趙遠(yuǎn)陽(1990-)， 男， 湖北武漢人，湖北工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向為圖像數(shù)數(shù)值穩(wěn)定性分析

1003-4684(2017)01-0056-04

TP75

A