在操作中建構數(shù)學模型

郭祥

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）明確地將“模型思想”列為核心概念之一，這是當今社會對義務教育階段的數(shù)學教學提出的新課題和新要求。在廣義模型觀下，數(shù)學就是關于模型的科學，學生的數(shù)學學習本質(zhì)上就是對數(shù)學模型的認知以及建模過程的經(jīng)歷與經(jīng)驗的積累。數(shù)學模型的抽象性與小學生以形象思維為主的認知特征，是數(shù)學建模教學中一對突出的矛盾，化解矛盾的方法是多元的。其中，通過學生實踐操作化解矛盾，效果顯著。

一、在操作中誘發(fā)模型意識

著名教育學家蘇霍姆林斯基曾說過：“兒童的智慧就在他的手指尖上?！蹦敲?，由“指尖”抵達“智慧”的通道是什么呢？讓學生面對現(xiàn)實的數(shù)學問題，在內(nèi)心產(chǎn)生疑惑與探究的欲望，積聚操作的內(nèi)驅(qū)和勢能，讓操作成為學生內(nèi)心深處的一種需求，而不是外在的指令要求，是一則良策。

如《三角形三邊關系》的教學，三角形是由三條線段圍成的圖形，反過來，提供三條線段是不是就一定能圍成一個三角形呢？對此，學生或肯定，或否定，或心存疑惑，此時用小棒替代線段來圍一圍的操作自然成為學生驗證自己內(nèi)心想法的一種強烈需要。在選擇長短不同的小棒圍三角形的嘗試中，學生會主動發(fā)現(xiàn)：同樣是三條線段，有時能圍成三角形，有時則不行。這是為什么呢？操作結果勢必誘發(fā)新的探索：“怎樣的三條線段才能圍成三角形呢？怎樣的則圍不成？”學生的探索自然會匯聚到一點——三角形三邊關系的數(shù)學模型上。從4厘米、5厘米、6厘米和10厘米的四種小棒中，選擇三根小棒動手操作、觀察記錄和比較交流。發(fā)現(xiàn)三角形任意兩邊長度的和大于第三邊，

顯然，真正建立在學生內(nèi)在需求基礎上的數(shù)學活動，能夠有效誘發(fā)學生對數(shù)學模型的思考與探索：翔實的操作體驗和深層的認知需求協(xié)同作用下的數(shù)學活動，是學生主動建構數(shù)學模型的一條重要途徑。

二、在操作中豐富模型體驗

概念作為一種數(shù)學模型，尤為抽象。學生不易理解，難以掌握，也容易混淆。教學時，教師應盡量將抽象的概念做具體的、形象化的演繹，將靜態(tài)的描述轉(zhuǎn)化為動態(tài)的操作過程，讓學生的思維發(fā)源、依托并超越操作活動。通過操作獲得直接的感性體驗與認識；在有層次、多維度的操作體驗中逐步豐富表象、感悟?qū)傩裕簯{借“操作-思維，思維-操作”的不斷往返交替與螺旋上升，助推學生對數(shù)學模型的本質(zhì)領悟與理解。

如《認識周長》的教學，是要引導學生在二維平面圖形中研究一維長度的概念，對學生而言具有認知上的挑戰(zhàn)，其關注點和思維都難以聚焦，認識也難以清晰、到位和深刻。需要引導學生利用并順應先前認識圖形的經(jīng)驗與順序——由體到面，做進一步的遞推，再由面到線逐步建立起一周邊線長度——周長的概念。教學中應引導學生經(jīng)歷一些必要的操作活動，借助學生熟悉的素材體驗“做中學”。首先，讓學生把自己喜歡的卡通貼畫的邊緣描一描，并從卡片上剪下來，剪好后同桌互相指一指、說一說：“你沿著什么剪的？從哪里剪到哪里？卡通貼畫的邊緣，也就是邊線在哪里？”在描、剪、指、說的過程中體會“邊線”“一周”的含義。接著，讓學生在小組里指一指、說一說書本、課桌、樹葉、硬幣等物體表面的“一周邊線”，并且比較它們的長短：再讓學生獨立描一描平面圖形（長方形、三角形、半圓形、不規(guī)則圖形）的邊線，幫助學生從實物到平面圖形，完整地建立對“一周邊線長度”——周長的理解。最后，再設法讓學生量一量樹葉的周長、樹干的周長，在化曲為直，從平面到立體的變式、拓展的操作體驗中，豐富和完善對周長概念的本質(zhì)理解。

概念教學的兩個關鍵點，一是要讓學生準確把握其內(nèi)涵，二要讓學生厘清、界定其外延。由于二者往往會交織于概念模型形成的過程之中，常常需要通過分層操作、專項操作讓學生在豐富模型體驗的基礎上完善、深化對模型的認知。

三、在操作中生成模型表征

現(xiàn)代心理學認為，思維的發(fā)展一般要經(jīng)歷“直觀動作思維一具體形象（表象）思維一抽象邏輯思維”這樣三個階段。

學生的操作過程是一種思維的外化過程，常常能夠助推其直覺思維和具體形象（表象）思維；學生在操作過程的體驗，對操作經(jīng)驗的積累，以及基于操作結果的分析與感悟，常常會內(nèi)化為他們頭腦中的表象或圖式。隨著表象的不斷豐富和逐步精致化，則會進一步深化為理性經(jīng)驗和認識，實現(xiàn)圖式表征到意義表征的飛躍。

如《搭配的規(guī)律》的教學，出示圖片信息：2件上衣和3條褲子：呈現(xiàn)問題：一件上衣與一條褲子搭配，一共可以有多少種不同的穿法？先讓學生借助實物圖片擺一擺，通過實踐操作獲得直觀經(jīng)驗：再把自己的想法設法在本子上表達出來：然后合作交流，展示不同的數(shù)學思考：有的用文字一一列舉，有的用符號（字母、數(shù)字、圖形等）來表達，還有的用連線方式呈現(xiàn)……最后，通過比較、概括達成共識——用連線的方式表達（如圖1）。這種幾何直觀的圖式兼具形象性和過程性，在后續(xù)解決類似于“4個素菜與2個葷菜，1個葷菜搭配1個素菜，有幾種不同的搭配方法”之類的問題時，學生便能運用。

搭配圖式是一種直觀化的操作模型，它還有待于進一步地抽象概括，成為更為上位的具有一般性、概括性的符號化的數(shù)學模型。如將上述搭配圖式提升為乘法原理的數(shù)學模型：這類圖式還可以用來解決什么問題？如果上例變成20件上衣和30條褲子，運用搭配圖式還方便嗎？能改用一個數(shù)學式子來表示嗎？（20x30）此類問題的解決能有一個通用的模式嗎？（a×b）在搭配圖式的運用與拓展中，乘法原理的數(shù)學模型水到渠成。

操作活動常常起始于某個特定的情境和特定的實物，但不能僅僅止于操作過程的經(jīng)歷和結果的獲得，也不能只停留在直觀感性和直覺思維層面。實施操作活動以后，要有意識地引導學生就自己操作的所獲所感進行個性化的表達交流，通過比較、分析，強化對表象的認知，并利用表象架設橋梁，通過對表象的符號化、數(shù)學化，實現(xiàn)操作活動的思維內(nèi)化，逐步建構學生頭腦中關于操作過程和結果的數(shù)學模型。

四、在操作中完善模型建構

學生在操作活動中需要獲得的不僅僅是數(shù)學知識和技能，更重要的是經(jīng)歷探索的過程，學習和掌握研究數(shù)學的思維模式與思想方法，體驗知識“再創(chuàng)造”的過程。其間，常常要以操作的階段性結果為基礎，做進一步的分析思考、猜想驗證、交流切磋，實現(xiàn)數(shù)學模型的逐步修正、拓展與完善。

如《釘子板上的多邊形》的教學，首先明確研究方向：邊上的釘子數(shù)與圖形的面積的關系（如圖2）。然后，通過觀察填表、分析數(shù)據(jù)，形成階段性研究成果（多邊形的面積是邊上釘子數(shù)的一半，即S=n÷2）。接著，學生在釘子板上自由構圖，驗證所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并引發(fā)沖突（如圖3）：“為什么先前發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在這里不適用了呢？”通過操作、比較發(fā)現(xiàn)：當圖內(nèi)只有1枚釘子時，即當a=l時，S=n÷2。

“當a=2時，多邊形的面積又是多少呢？”小組合作在釘子板上邊圍邊研究。學生運用前期研究成果，遷移先前操作活動經(jīng)驗，得出當a=2時，S=n÷2+1。據(jù)此發(fā)散：當a=3、4……時呢，有規(guī)律嗎？能一一驗證嗎？需要一一驗證嗎？有什么規(guī)律？探索活動從動手操作的有限層面躍升到類比推理的無限境地，學生親身經(jīng)歷類似數(shù)學家研究問題的過程，通過操作、思辨、猜想、驗證、推理活動，自主探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學，逐步修正、拓展與完善數(shù)學模型，獲得“操作一發(fā)現(xiàn)一推理”的數(shù)學學習與探索的方法啟迪和歷練。

五、在操作中助推模型升級

操作活動不只是單純的“動手”實踐，其核心價值在于對學生數(shù)學思維的啟迪與促進，實現(xiàn)外顯動作與內(nèi)隱思維的雙向互動，促使“操作的思維”和“思維的操作”螺旋上升，以問題解決為行為驅(qū)動，以操作過程和階段性結果為思維載體，通過觀察、比較、交流、反思等活動，不斷實現(xiàn)對已有數(shù)學模型的創(chuàng)造性改造，逐步創(chuàng)生出新的數(shù)學模型。

如《復式統(tǒng)計表》的教學，根據(jù)單式統(tǒng)計表（如圖4）進行數(shù)據(jù)的收集與整理。然后分析數(shù)據(jù)，回答“哪個興趣小組男生最多？四個興趣小組是男生多還是女生多”等問題時，發(fā)現(xiàn)往復觀察、比較的不便，產(chǎn)生組合、重構新的統(tǒng)計表的需求。學習小組在思考中操作，在操作中思考，有的把4張單式統(tǒng)計表縱向排列（如圖5），以解決數(shù)據(jù)對比不便的問題：有的在將四表第一橫欄合并（如圖6）后，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)對比十分方便，但同時產(chǎn)生了數(shù)據(jù)與組別無法對應、標題如何合而為一等矛盾：有的則更進一步，提出交代男生總數(shù)、女生總數(shù)以及總人數(shù)的設想……學生操作、反思、重構，最終形成復式統(tǒng)計表，從而實現(xiàn)了對數(shù)學模型的改造升級。

學生的操作活動應發(fā)端于內(nèi)心深處的實際需要，教師要以適切的問題情境誘發(fā)學生產(chǎn)生操作內(nèi)驅(qū)，同時要為學生提供必要的時、空、物等操作平臺，更要設法將教學目標——數(shù)學模型的建構，內(nèi)化為學生解決問題的操作（行為的、心理的）指向。