感悟數(shù)學思想積累活動經(jīng)驗

劉延革　王雅薇

教學內(nèi)容：人教版數(shù)學六年級上冊第107～108頁。

教學目標：

（1）在探究圖形和數(shù)的問題中，使學生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系，體會數(shù)形互助解決問題的方法。

（2）在觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理等數(shù)學活動中，幫助學生積累數(shù)形結(jié)合思考問題的經(jīng)驗，滲透歸納推理和極限思想。

（3）體會數(shù)形結(jié)合思想在學習和生活中的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)形結(jié)合的價值，初步形成數(shù)形結(jié)合的意識。

教學過程：

一、談話導入

師：同學們，一提到數(shù)學你們就會想到什么？

生1：我會想到數(shù)，如0、1、2、3等自然數(shù)，0.1、2.5等小數(shù)。

生2：我會想到“加、減、乘、除”等運算符號。

生3：我會想到如何進行運算、有趣的數(shù)學問題等。

生4：我會想到三角形、長方形、正方形、平行四邊形等幾何圖形。

師：如果把同學們說的這些知識進行分類，可以分成兩類。一類是由數(shù)、運算符號、運算方法組成的“數(shù)”；另一類是由點、線、面、體組成的“形”?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學研究的兩大類對象?！皵?shù)”和“形”有沒有關(guān)系呢？

生1：有關(guān)系，如圓這個圖形和π有關(guān)系。

生2：我沒有想過這個事情。

師：大多數(shù)同學沒有想過“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，今天我們就來研究。（板書：數(shù)與形）

評析：從學生學習過的數(shù)學知識入手，引導學生回憶數(shù)學研究的兩個重要領(lǐng)域——數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域和空間與圖形領(lǐng)域，以“‘數(shù)和‘形之間有沒有關(guān)系”這一問題為突破口，引發(fā)學生思考，有效地調(diào)動了學生思維的積極性，激發(fā)了他們學習本節(jié)課的興趣。

二、體會形中有數(shù)，數(shù)中有形

1.例1教學

課件出示：

師：你發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律了嗎？（學生觀察）按照規(guī)律第四個圖形應(yīng)該是什么樣子的？

評析：教師沒有直接把四幅圖一并出示，而是逐次出現(xiàn)。目的是給學生時間，讓學生感受變化，在體會變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律想象出圖形，既培養(yǎng)了學生的空間想象能力，又為將圖形與算式建立聯(lián)系做好準備。

生：如果把每個小正方形的邊長看作是“1”，第四個圖形應(yīng)該是邊長為4的大正方形。

課件出現(xiàn)：

師：你能用數(shù)或式子表達你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

（學生思考、表達、匯報）

作品一：1、4、9、16

師：你能明白每個數(shù)表示的意思嗎？

生：第一個有1個正方形，第二個有4個正方形，第三個有9個正方形，第四個有16個正方形。

作品二：1×1、2×2、3×3、4×4

問：這些算式是什么意思？

生：1是邊長，1x1是第一個圖形的面積；2×2、3×3、4×4分別表示圖形的面積。

作品三：1、1+3、1+3+5、1+3+5+7

問：什么意思？

學生解釋算式中每個數(shù)字在圖形中的位置。如下圖：

師：同一個圖形，觀察出的規(guī)律不一樣，每個規(guī)律是從什么角度觀察的？

生：作品一觀察的是圖形中小正方形的總個數(shù)，作品二觀察的是圖形的邊長與面積的關(guān)系，作品三反映的是圍繞左下角的正方形，外圈的正方形數(shù)逐漸增加。

師：雖然觀察角度不同，但是我們都能從圖形中找到算式中的數(shù)。

評析：教師為學生提供了充分的時間和空間，放手讓學生自主觀察、探究，多次安排從圖形中找數(shù)，旨在讓學生深刻感受到形中蘊含著數(shù)，為學生理解數(shù)形結(jié)合奠定了堅實的基礎(chǔ)。教師及時獲取學生的信息，并對學生的信息進行了分類、分層處理，處處緊扣“數(shù)”與“形”的結(jié)合。

2.算式1+3+5+7+9+11+13對應(yīng)的圖形

師：如果沿著“1+3+5+7”這個規(guī)律繼續(xù)往下想，1+3+5+7+9+11+13這個式子對應(yīng)的圖形是什么樣子7

生：我是用數(shù)的方法。一共7個數(shù)相加，所以邊長是7。

師：誰理解他的意思了，到圖形上給大家數(shù)一數(shù)，7指的是哪？（學生到黑板上指圖形說明）

師：那么，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19這個算式對應(yīng)的圖形又是什么樣子？

課件驗證：

1+3+5+7+9+11+13

師：如果1+3+5+7+9+11+13+15+17+19對應(yīng)的圖形是什么？

生：對應(yīng)的圖形是邊長為10的正方形。

師：為什么？

生：10個數(shù)相加。

3.小結(jié)

師：回顧我們研究的過程，我們從圖中找到數(shù)，又在數(shù)中想到了形，數(shù)與形有著緊密的關(guān)系。

評析：給算式想圖形的樣子，旨在讓學生感受數(shù)的規(guī)律也能用圖形表示出來，隨著數(shù)的個數(shù)逐漸增加，培養(yǎng)了學生的推理能力和空間想象能力。小結(jié)前一段的學習時，教師沒有把著力點放在“規(guī)律”的總結(jié)上，而是重點讓學生感受數(shù)與形的關(guān)系，進一步加強學生對“數(shù)中有形，形中有數(shù)”的理解與體會。

三、體會以形助數(shù)、以數(shù)解形，數(shù)形互助

1.體會以形助數(shù)

出示：

師：省略號是什么意思？

生：省略號表示一直加下去，有無數(shù)個。

師：猜測一下和是多少？（學生有些迷茫，不知道和是多少）的微妙之處。

3.出示以前學習中數(shù)形互助的例子

課件出示：

評析：借助學生已有的知識經(jīng)驗和學習素材，進一步感受圖形的直觀特點和數(shù)精確、精準的特點，提升對以往學習的認識高度，進一步理解、體會數(shù)形結(jié)合的好處。

師：數(shù)和形的關(guān)系非常密切，它們各有各的優(yōu)勢，數(shù)和形有機結(jié)合才能更好地幫助我們解決問題。

四、深入體會“數(shù)無形時少直觀，形無數(shù)時難入微”

（出示：超市2014年銷售某種餅干的數(shù)量）

1.以形助數(shù)，解決生活中的銷售問題

課件出示：

月份：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二

銷量：72 62 79 68 77 69 82 71 89 89 99 105

師：這是某種餅干2014年的銷售量，超市下一年是否還繼續(xù)進貨這種餅干？

生：進吧（個別）。

師：如果把這些數(shù)據(jù)制成折線統(tǒng)計圖，你們再來感受一下。

課件出示：

生：進?。R聲，堅定）因為銷售量越來越多，是上升的趨勢！

師：在解決這個問題的時候，是誰幫助了誰呢？生：圖在幫助數(shù)?。R答）

2.以數(shù)解形，解決生活中的運輸問題

課件出示：

師：如果這樣一輛卡車，想把這個沙坑里的沙子拉走，能不能一次性把沙子全部拉完呢？我們把車廂的形狀和沙坑里的形狀提取出來，同學們判斷一下。

生：（集體沉默2、3秒鐘）不知道！老師能給我們具體數(shù)據(jù)嗎？

課件出示：車廂長2.5，寬4，高1.5；沙坑長3，寬7，深0.7。

生：能拉走！車廂的容積是15，沙坑的容積是14.7。

師：解決這個問題時，誰幫了誰？

生：數(shù)幫了形。

師：同學們思考一下，在數(shù)與形互助的過程中，數(shù)的優(yōu)勢是什么？形的優(yōu)勢是什么？

生：數(shù)是準確的，形一目了然。

師：“數(shù)”能更精準地表達，“形”能更直觀地表達事物。其實，華羅庚老爺爺很早就說過這樣一句話：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”你能理解其中的含義嗎？

生：只有數(shù)沒有形，看不出來；只有形沒有數(shù)，難算出來。

師：難算出來就是不具體，不能精確地表達！所以后面還有一句話，同學們讀一讀。

生：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。

師：對！如果把數(shù)、形分家什么事都做不來。

評析：借助生活中的兩個典型素材，再一次讓學生體會數(shù)和形各自的特點，形能直觀呈現(xiàn)數(shù)的抽象。數(shù)能精確描述形的模糊，深刻理解華羅庚先生關(guān)于數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典之詞。

總評：

本節(jié)課圍繞數(shù)形結(jié)合，選擇適當?shù)慕虒W內(nèi)容，設(shè)計了一系列的數(shù)學活動，幫助學生親歷活動過程，在活動中滲透數(shù)學思想方法，積累基本活動經(jīng)驗。具體如下：

1.利用學生的好奇心，激發(fā)學習興趣

本節(jié)課開始部分，教師引導學生回顧數(shù)學學習的重要內(nèi)容“數(shù)與代數(shù)”和“幾何圖形”，進而抽象出“數(shù)”與“形”。因為學生學習這兩個領(lǐng)域時是分別進行的，很少有學生能夠把兩者聯(lián)系起來，這與學生的思維習慣形成了強烈的矛盾反差，于是引發(fā)了學生的好奇心，激發(fā)了學生思考的興趣。

2.整體把握教學內(nèi)容，凸顯數(shù)形結(jié)合的思想

本節(jié)課安排了兩個例題，例1引導學生從圖形中發(fā)現(xiàn)“數(shù)”，通過數(shù)想象圖形，凸顯“形中有數(shù)”“數(shù)中有形”的關(guān)系。例2引導學生利用圖形解決計算問題，以及“以數(shù)解形”的妙處，進一步體會“數(shù)形互助”的關(guān)系。教學中教師還補充了大量數(shù)形結(jié)合的實例，如統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)描述沙坑、車廂的大小等。這些素材很好地詮釋了華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！?/p>

3.核心活動設(shè)計為學生積累了數(shù)學思考經(jīng)驗

本節(jié)課通過兩個核心活動，一是讓學生看圖寫數(shù)，看數(shù)想形；二是讓學生借助圖形和數(shù)的推理來完成計算。在這兩個活動中，每個學生有自己獨立思考的空間和時間，不斷經(jīng)歷觀察、猜測、抽象、概括的過程，還經(jīng)歷了想象、推理、解釋的過程。在組織學生匯報交流中，教師也給予每個學生展示思維過程的權(quán)利，促進了學生活動經(jīng)驗的不斷提升。

4.教師尊重學生，促進了辯證唯物主義世界觀的形成

教學中教師尊重學生的思維習慣和現(xiàn)狀，允許學生對極限思想的暫時不理解，引導學生從“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個側(cè)面體會“數(shù)形結(jié)合”的思想，并把這種觀點延伸到自然界中事物之間的聯(lián)系，有效地促進了學生用辯證唯物主義觀點看待事物的思想方法的形成。