善于舉例
——架起具體與抽象之橋——《乘法分配律》教學(xué)例談

江蘇省啟東市南苑小學(xué) 楊桂花

善于舉例
——架起具體與抽象之橋——《乘法分配律》教學(xué)例談

江蘇省啟東市南苑小學(xué) 楊桂花

【課前思考】

乘法分配律是蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了加法交換律、結(jié)合律和乘法交換律、結(jié)合律的基礎(chǔ)上教學(xué)的。在所有的運(yùn)算定律中，乘法分配律是學(xué)生較難理解和敘述的。如果學(xué)生沒有充分經(jīng)歷從具體到抽象的過程，學(xué)生對(duì)概念的理解就是表面的、膚淺的、模糊的，也就無法觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象雖然具有抽象性，但對(duì)于某一個(gè)抽象層面的數(shù)學(xué)而言，總能找到與之相對(duì)應(yīng)的具體表征，也就是“例子”來加以闡釋。學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)往往是從具體逐步走向抽象，舉例恰好能把抽象的問題具體化，使復(fù)雜的問題變簡單，使陌生的情境變熟悉。史寧中教授曾說過：講課講不明白的時(shí)候，最好的方法就是舉例說明。對(duì)一個(gè)知識(shí)是不是理解了，最好的辦法就是舉例說明。舉例是一種教學(xué)策略，更是一種教學(xué)藝術(shù)，體現(xiàn)的是教學(xué)智慧。鄭毓信教授把善于舉例作為數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功之一，在教學(xué)中教師不僅自己應(yīng)善于舉例，還要重視并鼓勵(lì)學(xué)生舉例。

【課堂踐行】

【片斷一】

出示問題情境一：學(xué)校四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩，四、五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩？

師：這道題你能用幾種方法解答？請(qǐng)同學(xué)們列綜合算式解答。（教師巡視，展示收集到的兩種不同方法，請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)）生1：我列的算式是6×24＋4×24，結(jié)果是240根。我是先算四、五年級(jí)各領(lǐng)多少根跳繩，然后再合起來。生2：我列的算式是：（6＋4）×24，結(jié)果也是240根。我是先求四、五年級(jí)共有10個(gè)班，再算10個(gè)班一共領(lǐng)了多少根跳繩。師：從這兩種方法中，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：雖然兩種方法不同，但得出的結(jié)果卻相同。師：既然這兩個(gè)算式結(jié)果一樣，那么就可以用等號(hào)連起來。師板書：（6＋4）×24=6×24＋4×24。

出示問題情境二：王大伯打算給一塊長方形菜地一圈圍柵欄，菜地的長是78米，寬是22米，圍成這塊菜地的柵欄的總長是多少？

方法同情境一，得出兩式結(jié)果相等，板書：（78＋22）×2=78×2＋22×2。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察剛才得到的兩個(gè)等式，你有怎樣的感覺？是不是看上去很相似啊？生：嗯！可能有規(guī)律。師：真有規(guī)律嗎？把你的想法在小組內(nèi)交流一下。師：對(duì)于可能存在的規(guī)律，僅憑這兩個(gè)等式就能說明這個(gè)規(guī)律肯定成立嗎？生：不能。師：那該怎么辦？生：再找更多這樣的等式。師：你能照樣子寫兩個(gè)像這樣有聯(lián)系的算式嗎？算一算，驗(yàn)證結(jié)果是否相等。（生舉例驗(yàn)證，各自匯報(bào)……教師隨機(jī)板書）師：我們每人都舉了兩個(gè)例子，全班合起來就有很多例子，發(fā)現(xiàn)兩邊的結(jié)果都是相等的，看來同學(xué)們心中的那個(gè)規(guī)律可能真的存在。現(xiàn)在我們能不能換個(gè)角度去看，不用計(jì)算，就能判斷兩個(gè)式子的結(jié)果是否相同？（生沉默思考）生：老師，我能。師：你說說看。生：比如（78＋22）×2=78×2＋22×2，左邊括號(hào)里算出是100，就表示100個(gè)2，右邊是78個(gè)2加上22個(gè)2，也是100個(gè)2，所以兩邊的結(jié)果一定是相等的。師：同學(xué)們，你聽明白了嗎？生：明白了。師：那你能用這個(gè)思路再說說情境一中的算式嗎？生：左邊括號(hào)里算出是10，就表示10個(gè)24，右邊是6個(gè)24加上4個(gè)24，也是10個(gè)24，所以兩邊的結(jié)果一定是相等的。師：再和同桌互相說說你們自己寫的算式。（同桌交流）師：現(xiàn)在我們?cè)賮硭伎?，有沒有可能像這樣的式子兩邊不相等？（生思考，嘗試舉出反例……）生：不可能，找不到。師：這么看來，同學(xué)們猜測(cè)的那個(gè)規(guī)律是真的存在，你能用自己喜歡的方式表示出你認(rèn)為的規(guī)律嗎？生1：（a＋b）×c=a×b＋a×c。生2：（○＋□）×△=○×△＋□×△。師：同學(xué)們真了不起，通過努力驗(yàn)證了這個(gè)規(guī)律，你覺得用哪一種表示這個(gè)規(guī)律更好一些？生：用字母的那一個(gè)。師：為什么呢？好在哪里呢？生：前面我們學(xué)習(xí)的一些定律也是用字母的，簡單好記。師：我也同意你的觀點(diǎn)，這就是咱們數(shù)學(xué)的簡潔美。這個(gè)規(guī)律就是乘法分配律。（師板書）

【思考】——模仿舉例，經(jīng)歷抽象過程，建立模型。

數(shù)學(xué)建模很多來自于現(xiàn)實(shí)生活情境，學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)有利于建模。課始創(chuàng)設(shè)了學(xué)校領(lǐng)跳繩和求長方形菜地柵欄的長兩個(gè)熟悉的情境，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，提出“你能用幾種方法解答？”學(xué)生很快按要求用兩種不同的方法列式解答，并能夠很容易地得出兩式相等。在以上兩個(gè)問題的解決過程中，學(xué)生經(jīng)歷了兩種不同思考方法的計(jì)算后，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)規(guī)律，產(chǎn)生乘法分配律的知識(shí)就存在于實(shí)際問題解決中的一種數(shù)學(xué)體驗(yàn)。

學(xué)生在初步得出規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師并沒有急于讓學(xué)生說出規(guī)律，而是繼續(xù)為學(xué)生提供具有挑戰(zhàn)性的探索機(jī)會(huì)：“請(qǐng)你再舉出一些符合自己心中規(guī)律的等式。”學(xué)生通過自主探索去發(fā)現(xiàn)、猜想、質(zhì)疑、感悟、調(diào)整、驗(yàn)證、完善，感悟到算式的特點(diǎn)，驗(yàn)證其內(nèi)在的規(guī)律，從而概括出乘法分配律。

對(duì)于乘法分配律的教學(xué)，教師不是把重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)語言的表達(dá)上，而是放在讓學(xué)生在不斷舉例中去完整地感知，經(jīng)歷“引發(fā)猜想——舉例驗(yàn)證——尋找反例”的探究過程，通過觀察、比較和歸納，大膽用自己喜歡的方式表示出來。學(xué)生經(jīng)過這樣的探究活動(dòng)，建構(gòu)起有意義的知識(shí)，對(duì)乘法分配律的理解也就水到渠成。

【片斷二】

師：現(xiàn)在我也來舉一些例子，你們先算一算，然后把結(jié)果相同的兩個(gè)式子連起來。學(xué)生分小組算。

第一組題：①（41＋26＋33）×28；②46×17－36×17；③39×66＋39×34；④48×99＋48×1；⑤（4＋20）×25。

第二組題：①4×25＋20×25；②(66＋34)×39；③41×28＋26×28＋33×28；④（46－36）×17；⑤48×（99＋1）。

（算第二組題的同學(xué)算完時(shí)，算第一組題的同學(xué)還在算。）

師：把結(jié)果相等的算式用線連一連。相等的式子我們都找到了，剛才左右兩邊的同學(xué)計(jì)算速度相差很多，我們來看看算式的特點(diǎn)。生1：我發(fā)現(xiàn)第二組題算起來簡便。師：看來乘法分配律還可以用來簡便計(jì)算，提高我們的計(jì)算速度。師：大家來觀察這個(gè)式子：48×99＋48×1=48×（99＋1），這是我們發(fā)現(xiàn)的那個(gè)乘法分配律嗎？生1：不是。生2：是，就是把它給倒過來用的，實(shí)際意義是一樣的。師：到底怎么想呢？再仔細(xì)觀察觀察，聯(lián)系我們剛才的很多例子比一比，發(fā)現(xiàn)了什么？生3：其實(shí)我們只要把每個(gè)乘法算式的乘號(hào)前后的數(shù)交換位置，就是剛才說的樣子?。ㄆ炔患按厣虾诎逯噶耍┳筮吙梢岳斫鉃?9個(gè)48加1個(gè)18，合起來也是100個(gè)48，和右邊是一樣的。師：你們有沒有理解了他的想法？是的，這是乘法分配律的逆應(yīng)用，也可以用來簡化計(jì)算。師：再看這組：46×17－36×17=（46－36）×17，你有什么想說的？生：我們剛才做的都是帶“＋”的，可是這個(gè)是“－”。師：看來我們的乘法分配律還有新的內(nèi)涵呢。補(bǔ)充板書：（a－b）×c=a×c－b×c。師：再來觀察（41＋26＋33）×28=41×28＋26×28＋33×28這個(gè)等式，你有沒有想說的？生：剛才我們做的都是兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，這道題是三個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘。師：如果是4個(gè)、5個(gè)數(shù)或更多數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，還能用乘法分配律嗎？生：能。師：舉一些例子來說明一下，并且驗(yàn)證一下你的想法是否正確？生舉例……

【思考】——變式舉例，拓展概念內(nèi)涵，彰顯本質(zhì)。

教學(xué)中經(jīng)?？吹揭恍╁e(cuò)誤觀念，例如角必定有一條水平射線；圖形的高必須處于與水平方向垂直的位置，并且一定與底邊相交等。學(xué)生之所以會(huì)形成這些錯(cuò)誤觀念，與我們?cè)诮虒W(xué)中經(jīng)常使用的“標(biāo)準(zhǔn)變式”有著直接聯(lián)系。從這個(gè)角度分析，教學(xué)中引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，對(duì)于防止或糾正學(xué)生的錯(cuò)誤觀念特別重要。

案例中，當(dāng)有學(xué)生認(rèn)為48×99＋48×1=48×（99＋1）不是乘法分配律時(shí)，教師有意放慢節(jié)奏，引發(fā)學(xué)生爭論，碰撞出思維火花，在教師的引導(dǎo)下，最后達(dá)成共識(shí)：這是乘法分配律的逆運(yùn)用，也可以用于計(jì)算簡便。這樣的補(bǔ)充舉例，幫助學(xué)生打破了思維定式，掌握了乘法分配律的本質(zhì)特征。

在所舉的題例中，涉及了兩個(gè)數(shù)相減與一個(gè)數(shù)相乘；兩個(gè)以上的數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘等形式，綜合性強(qiáng)，思維含量高，既鞏固了乘法分配律的基本形式，又讓學(xué)生感知了乘法分配律可以使計(jì)算簡便以及乘法分配律的拓展形式，把學(xué)生引入了更廣闊的探索空間。正如美國著名數(shù)學(xué)家舍費(fèi)爾德說：“求取解答并繼續(xù)前進(jìn)?！苯處煵⒉恢共接诔朔ǚ峙渎傻幕拘问?，而是通過變式舉例，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)“懂”、學(xué)“深”、學(xué)“活”，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)的無窮魅力，培養(yǎng)了學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生探究新知的內(nèi)在動(dòng)力。

【課后感悟】

在教學(xué)片斷中，有學(xué)生的模仿舉例，通過觀察比較，逐步形成清晰的表象；也有教師的變式舉例，通過思考辨析，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。通過豐富多樣、具體深刻的蘊(yùn)含“乘法分配律”的很多實(shí)例，讓學(xué)生親歷觀察、比較、歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證、辨析等探究的全過程，實(shí)現(xiàn)了由具體實(shí)例向抽象數(shù)學(xué)概念的重要過渡。學(xué)生不僅主動(dòng)獲取了乘法分配律的知識(shí)，而且學(xué)習(xí)到了科學(xué)探究的方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。