模型建構：打開“問題解決”的密鑰

胡寶軍

【摘 要】《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）曾經(jīng)將“解決問題”的說法改成了“問題解決”，雖然只是詞語順序的調(diào)換，但卻蘊含著豐富的理論認知基礎。本文就試圖從這一名稱的改變?nèi)胧?，闡述了其背后教學理念的演變，并提出了把握共性，明確認知構建模型；經(jīng)驗轉(zhuǎn)換，從聯(lián)系生活中完善模型；聚焦本質(zhì)，從實踐操作中運用模型，從而讓模型構建成為學生問題解決的密鑰。

【關鍵詞】模型構建；概念置換；聚焦本質(zhì)；經(jīng)驗轉(zhuǎn)換；把握共性

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）01-0015-02

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）曾經(jīng)將“解決問題”的說法改成了“問題解決”，雖然只是詞語順序的調(diào)換，但卻蘊含著豐富的理論認知基礎。新課標在重新闡述與設置課程設計思路時，就結合數(shù)學課程內(nèi)容提出了十大核心概念，其中“模型思想”就是與“問題解決”緊密相連的重要理論之一。在小學數(shù)學教學中，模型思想的基本內(nèi)涵是什么？與更換說法之后的“問題解決”又有著怎樣的聯(lián)系呢？

一、模型→思想：數(shù)學中模型概念的置換

在涉及模型思想之前，就不得不提到數(shù)學模型這一概念，這是運用數(shù)學自己獨特的語言提煉或者近似的概括客觀事物內(nèi)在的特征、數(shù)量關系以及在空間概念形成的一種數(shù)學結構。數(shù)學模型的具體表現(xiàn)形態(tài)基本通過數(shù)學運算的基本符號、表達算式、各類圖標等形式展開，與數(shù)學學習中的符號式思想有著千絲萬縷的聯(lián)系。

在新課標正式提出數(shù)學模型的理念和意義之后，并進一步明確了數(shù)學模型思想在小學數(shù)學教學，尤其是突破問題解決等一系列問題中的作用。這在一定程度上表明數(shù)學的應用價值，并明確地闡述了模型在數(shù)學應用以及解決問題過程中的核心價值。

二、題型→模型：名稱更換背后教學理念的演變

小學數(shù)學教學綱領經(jīng)歷了從“教學大綱”“課標實驗稿”“2011版新課標”的發(fā)展與演變，其對于解決生活中問題的說法也一直在與時俱進，從“應用題”到“解決問題”，然后又到“問題解決”，這不僅僅是語言文字符號的一種物理變化，更是對“問題解決”背后教學價值的一種化學變化。在這種變化之下，“解決問題”的教學的價值定位就會更加精確，教育的理念也會更為明晰，其所涉及的課程設置也會更加的寬泛，其呈現(xiàn)在學生眼前的形式也自然會更加的靈活多樣。

相對于之前的理念，“問題解決”更加關注學生解決問題教學的過程，更加關注解決問題的過程中的整合以及對于具體問題的分析，凸顯了在問題解決過程中的開放性和多元性，為學生發(fā)散性思維的發(fā)展奠定了基礎。

三、解題→建模：從關注“結果”到關注“過程”的價值過渡

在《數(shù)學教育哲學》一書中，鄭毓信教授曾經(jīng)這樣論述，數(shù)學是一種模式的學科，其基本任務就是幫助學生在學習過程中逐步構建并發(fā)展分析模式、實踐模式與欣賞模式的能力與水平。從中也不難看出學生在運用已經(jīng)形成的數(shù)學經(jīng)驗以及數(shù)學知識對解決生活中問題的過程，與數(shù)學教學中的模型構建之間存在著千絲萬縷的緊密聯(lián)系。從某種角度來看，我們甚至可以認為問題解決的過程其實也就是數(shù)學的建模過程，只是學生在構建模型的過程中，其內(nèi)在尚處于無意識狀態(tài)，并沒有真正的有意識參與其中。因此在問題解決的教學過程中，需要教師在進行引導點撥時，將無意識的活動變成其內(nèi)在思維、內(nèi)在意識參與其中的有意識過程，使學生明確在學習過程中的價值和目標取向。

1. 把握共性，明確認知構建模型

無論是學生運用知識解決問題的過程，還是在數(shù)學教學中模型建構的過程，其關鍵的核心之處就在于“解”的策略和“建”的方法，而在這一過程中，教師需要密切關注學生在解決問題的過程中是否已經(jīng)真正形成并積累了一套行之有效的解決問題的方法與策略，而不能僅僅關注學生是否已經(jīng)順利地解決了問題。要努力從關注問題結果向關注解決問題的過程轉(zhuǎn)變，這就需要教師在教學中鼓勵、點撥學生能夠從問題解決的實踐過程中總結一些模型建構的典型案例。

例如在幫助學生建立“歸一”認知模型時，教師結合教學內(nèi)容創(chuàng)編了以下的題型：

1. 一輛轎車4個小時行駛440千米，照這樣計算，8個小時行駛多少千米？

2. 購買3個書包需要180元，照這樣計算，購買6個書包需要多少錢？

3. 李師傅3個小時可以加工零件36個，如果還以這樣的速度進行工作，在8個小時中可以加工多少個零件？

教師旨在通過這三道結構相同、邏輯相同的題型，幫助學生從題目中不同的數(shù)量關系中能夠總結、提煉出相同的結構與解決問題的策略：即都需要先求出題目中的單一量，再結合具體的問題求出對應的總量。這一思維的過程其實也正是為形成“歸一”思想奠定了基礎。

在這一案例中，起碼有兩點值得我們深入地探究與思考：首先，要想幫助學生構建相應的數(shù)學模型結構，就需要教師從眾多題目中找尋出其共性存在之處，并在教學中引導學生發(fā)現(xiàn)和積累這種特性。這一步教學中作為模型建構的中間環(huán)節(jié)，是學生進行問題解決的核心所在；其次，教師要在選取相關素材時，引領學生學會敲定問題解決過程中的數(shù)量關系，如速度問題的“路程等于速度與時間之積”等，只有明確了各自的關系所在，數(shù)學的模型才能形成雛形。

2. 經(jīng)驗轉(zhuǎn)換，從聯(lián)系生活中完善模型

生活是數(shù)學學習的源頭活水，沒有生活元素的介入，數(shù)學學習就成為一種僵硬、死板的存在。因此要想在解決問題的過程中幫助學生建立數(shù)學模型，就必須學會從學生的現(xiàn)實生活入手，從學生已經(jīng)具備的數(shù)學經(jīng)驗和數(shù)學知識入手。只有聯(lián)系生活教學數(shù)學、將生活中積累的經(jīng)驗不斷賦予數(shù)學的內(nèi)涵、并能將教材中的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實生活中的實際問題，學生才能真正意識到我們的生活離不開數(shù)學，只有掌握數(shù)學知識才能讓我們的生活更美好，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

例如在教學“解決問題的策略：一一列舉”中，教師首先引導學生回憶自己曾經(jīng)玩骰子的經(jīng)歷，激活學生對應的經(jīng)驗儲備，然后引導學生回憶：如果有5個孩子一起玩骰子，有可能會得到哪些數(shù)字，會不會出現(xiàn)7或者是8的情況？通過這些問題的引領，讓學生進一步明確：如果將事情發(fā)生的可能一一列舉出來的話，就是一種解決問題的策略。

在這一教學案例中，教師充分運用了學生在原始生活中所積累的經(jīng)驗，并借助這種經(jīng)驗衍生出數(shù)學問題，認真思考，加以解決。由此可見，在數(shù)學教學的初始階段，教師可以從學生較為熟知的生活問題出發(fā)，啟發(fā)學生捕捉數(shù)學信息，引領學生從中發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學問題，使學生了解知識的源頭，連接其原始數(shù)學與學生實際生活之間的關系，為學生模型建構打下堅實的認知基礎。

3. 聚焦本質(zhì)，從實踐操作中運用模型

其實，人類在現(xiàn)實生活中解決問題所建立的模型特征，具有悠久的歷史。早在人類開始運用數(shù)字記錄生活狀態(tài)的時代，這種模型構建就已經(jīng)在人類意識中無形地存在了。隨著人類使用數(shù)字的頻率不斷增加，其數(shù)學模型的構建也日趨豐滿。因此，建立數(shù)學模型是連接實際問題與內(nèi)在形成的數(shù)學經(jīng)驗的一種必不可少的紐帶。當學生在數(shù)學教學中初步建立了數(shù)學模型之后，教師可以幫助學生運用這些既已形成的模型認知嘗試解決生活中的問題，進一步強化數(shù)學模型思想在思維意識中的穩(wěn)固性和通透性。這就要求教師引導學生運用數(shù)學的特殊語言和符號、思想和方法逐步建立相對穩(wěn)定和完善的數(shù)學模型，從而重新滲透數(shù)學的模型思想。

例如在教學這樣一道題：王伯伯要用22根長度1米的柵欄圍成一個長方形的菜園，應該怎樣圍才能使菜園的面積最大？教師提問引導：這道題目中我們已經(jīng)知道的信息是哪些？題目要求的內(nèi)容又是什么？……

在這一問題的浸潤下，教師可以對教學采取以下步驟：①要想形成的面積最大，必須要先知道可能存在哪些不同的圍法；②從“22根長度1米”這樣的信息中，我們可以了解到這一長方形的周長；②從長方形周長計算公式出發(fā)，讓學生在不能重復且也不遺漏的情況下，可以嘗試按照一定的順序進行列舉；④最終得到結論是在長方形中長與寬數(shù)值越相近，長方形的面積也就越大。

在這一案例中，教師首先從分析題意入手，接著讓學生自主探究，經(jīng)歷解決問題策略的形成過程，繼而在交流匯報中展示與歸納，真正理解其策略的本質(zhì)，最終完善模型結構，感悟思想價值，更新了學生數(shù)學認知體系和結構。

在數(shù)學三大基本思想中，模型思想與問題的解決息息相關。因此，教師必須在教學解決問題策略的過程中，努力結合具體的問題情境，引導學生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，從而幫助學生構建模型、運用模型，豐富學生的數(shù)學思想，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（組稿：韋波富 編輯：胡 璐）