數(shù)學(xué)中不等式證明的若干方法的討論

單明霞+程魯

摘 要： 不等式是一種重要的分析工具和分析手段，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要組成部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的重要工具.本文介紹了幾種在初等數(shù)學(xué)中證明不等式的常用方法.

關(guān)鍵詞： 初等數(shù)學(xué)不等式證明方法思路

2.其他方法

（1）反證法：運(yùn)用反證法證明不等式要掌握三點(diǎn)：①否定結(jié)論時(shí)，要注意結(jié)論的反面具有多樣性時(shí)，須寫出所有可能的結(jié)論；②反證法必須從結(jié)論的否定進(jìn)行推理論證；③推導(dǎo)出的矛盾可能與已知條件相矛盾或自相矛盾.反證法在存在性命題、否定性命題、唯一性命題的處理方面有著特殊的優(yōu)越性.

（2）放縮法：放縮法具有較大的靈活性.另外，運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是放大或縮小要適度，否則就不能達(dá)到證明目的，因此它又是技巧性較強(qiáng)的一種證明方法.

（3）換元法：換元法是對結(jié)構(gòu)相對比較復(fù)雜的不等式，通過適當(dāng)引入新變量替換原命題中的部分式子，以減元、結(jié)構(gòu)簡化及易于研究，使原式化為簡單明了的式子進(jìn)行論證或者求證的方法.

（4）三角代換法：利用三角函數(shù)蘊(yùn)含的豐富公式和性質(zhì)，通過三角代換法可令證明簡單、快捷.但是在運(yùn)用三角代換法的時(shí)候，要注意不能忽略新變量的取值范圍.

（5）數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法是由特殊到一般的推理方法，利用它可將一般問題特殊化，將抽象問題具體化.在運(yùn)用歸納法的過程中要注意：①充分認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法證明分兩步走的必要性；②注意假設(shè)n=k成立，證明n=k+1成立的變形技巧；③寫好結(jié)論，注意數(shù)學(xué)歸納法證題的完整性.

（6）迭合法：迭合法是把所有證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡單的部分，分別證明各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使不等式獲證.

此外還有判別式法、構(gòu)造法等.