高中數(shù)學(xué)“用面積定義正弦”的解題研究

鄒佳煜

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)模塊學(xué)習(xí)是高考中的重要考點(diǎn)，也是實(shí)際學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。三角函數(shù)屬于的函數(shù)范疇，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的知識點(diǎn)。在三角函數(shù)的定義教學(xué)中，教師為了讓學(xué)生能夠直觀的理解什么是正弦函數(shù)，什么是余弦函數(shù)，借助的數(shù)學(xué)圖形面積的方式，來定義正弦。該種定義方式既簡單又易于學(xué)生理解。基于此，本文就高中數(shù)學(xué)“用面積定義正弦”的解題進(jìn)行研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；用面積定義正弦；解題；研究

前言

以面積定義正弦，在實(shí)際課堂上的教學(xué)，能夠以較少的課時(shí)學(xué)到比較多的數(shù)學(xué)知識，思考與討論空間更加的大。該種教學(xué)方法能夠使得三角函數(shù)、幾何、代數(shù)之間的聯(lián)系更加的密切，使得我們在課堂上的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和基本的思維能力有了很大的提升。以面積定義正弦，能夠比較好的體現(xiàn)出函數(shù)思想，使得高中數(shù)學(xué)問題能夠在短時(shí)間內(nèi)得以解決。

1.菱形面積的正弦算法提出

正弦函數(shù)的計(jì)算在初中階段被引出，初中階段的正弦函數(shù)計(jì)算主要借助直角三角形中的“對邊比斜邊”計(jì)算得出的對應(yīng)角的正弦。正弦函數(shù)與面積計(jì)算之間的聯(lián)系并不密切。教師在反復(fù)研究中，從小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的三角形面積計(jì)算公式出發(fā)，以單位菱形面積的計(jì)算引出正弦函數(shù)。并且希望通過這樣的數(shù)形轉(zhuǎn)換能夠使得與正弦函數(shù)相關(guān)的知識更加便于我們的理解。SinA在初中數(shù)形教學(xué)中，大部分都應(yīng)用到的直角三角中，在教學(xué)中具有一定的特殊性，而高中的數(shù)學(xué)教學(xué)對于正弦函數(shù)的應(yīng)用主要用于銳角三角形或者多邊形中。

設(shè)矩形木框ABCD的面積為S，S=AB×CD，其中AB=2，CD=3，則S=2×3×□，□代表的數(shù)值為1。假設(shè)該矩形木框上被擠壓，木框變?yōu)榱诵笨?，于是矩形就直觀的變?yōu)榱似叫兴倪呅?。如下圖所示，平行四邊形被分為了面積相等，形態(tài)相同的六個(gè)小平行四邊形。并且每一個(gè)小平行四邊形的邊長為1，那么該大平行四邊形的高則變?yōu)榱?×sinα，則大平行四邊形ABCD面積=3×2×sinα。

經(jīng)過由以上數(shù)學(xué)圖形面積的計(jì)算，我們可以總結(jié)出基于面積的正弦函數(shù)概念定義為：邊長為1，一個(gè)角為α的菱形的面積，就是角α的正弦，并且記sinα=S菱形，注：當(dāng)α=0°或者180°時(shí)，sinα=0。根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出以下基本性質(zhì)：第一，當(dāng)α在0°到180°之間，sinα存在定義域，并且非負(fù)，當(dāng)α=0°或者是180°時(shí)，sinα=0；第二，sin90°=1；第三，sinα=sin（180°-α）。平行四邊形面積計(jì)算，根據(jù)以上正弦函數(shù)面積計(jì)算分析得出平行四邊形的面積公式，SABCD=AB×ADsinA=absinα。

2.三角形的面積計(jì)算

2.1三角形面積計(jì)算公式

S△ABC=1/2底×高，當(dāng)?shù)诪閎時(shí)，高為CsinA，所以S△ABC=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC。以該公式為基礎(chǔ)，左右面積公式中的各項(xiàng)同時(shí)除以1/2abc，便得到：在任意的三角形中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S△ABC/abc。

2.2基于三角形面積的正弦應(yīng)用

對于三角函數(shù)的應(yīng)用，除了可以進(jìn)行面積的定義還可以解決比較抽象的三角問題。例1，∠α>∠β>0，∠α+∠β<π，試證明sinα小于sinβ。當(dāng)我們面對這樣的問題時(shí)，會(huì)覺得這樣的習(xí)題比較抽象，無處下手，更不能提證明角與角之間的關(guān)系了。在課堂上老師為了讓問題更加的直觀，將該兩個(gè)的角放在同一個(gè)三角形ABC中進(jìn)行比較，該圖形的頂角為α-β的等腰三角形。進(jìn)行角度的比較。如下圖：由于∠α>∠β>0，所以設(shè)定α-β角，為了明確出α角，以下圖的方式設(shè)定β角，角A=α-β+β=α，由面積公式能夠計(jì)算出工1/2AD。ACsinα>1/2AD。ABsinβ，由圖形中AB=AC，得出Sinα>sinβ。

例2，三角形ABC中，∠A的角平分線為AP，證明三角形中AB/AC=BP/CP。

證明過程為：BP/CP為三角形的邊BC上的兩條線段的比值，由于該兩條線段多對應(yīng)的角度相同，并且在三角形中共同一個(gè)高。因此，可以借助正弦求三角形面積的方式，通過三角形面積來比較二者的長度。則有：BP/CP=S△APB/S△APC=1/2AB·AP·sinα與1/2AC·AP·sinα的比值，即等于AB/AC。最終得出結(jié)論AB/AC=BP/CP。

3.“用面積定義正弦”的意義與經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

基于“用面積定義正弦”的教學(xué)方式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用，使得我們的數(shù)學(xué)思維有所開拓。

3.1教學(xué)意義

基于面積定義正弦的教學(xué)方式在高中數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用，具有較為明顯的教學(xué)作用。面積與正弦函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)際上是一種的形與數(shù)的結(jié)合，基于數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠化繁為簡，將書本中的難點(diǎn)文字?jǐn)⑹霾糠洲D(zhuǎn)化為圖形，化抽象與具體，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠清晰的理解書本中的概念。三角函數(shù)的不同轉(zhuǎn)換知識對于我們來說其難度比較大，數(shù)學(xué)概念大部分比較抽象，而概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)開展的基礎(chǔ)。但是很多學(xué)生在高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一環(huán)節(jié)出現(xiàn)困惑。這是由于教材上的概念知識點(diǎn)介紹簡單，采用的都是總結(jié)性語言，當(dāng)這些語言應(yīng)用到實(shí)際的習(xí)題中，有的學(xué)生難以理解。而將數(shù)形結(jié)合的模式應(yīng)用概念教學(xué)中來，定理等都一目了然，對于我們接下來的學(xué)習(xí)有很大的幫助。以高中三角函數(shù)性質(zhì)教學(xué)為例，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的分析：

求sinx<的角的集合：

教師通過單位圓教學(xué)方法能夠讓我們明白一個(gè)簡單的圓能夠解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的很多難題，實(shí)現(xiàn)答案能夠一目了然。在簡單的數(shù)形結(jié)合教學(xué)中，能夠寓教于樂，豐富課堂教學(xué)形式的基礎(chǔ)上，提升了我們對于數(shù)學(xué)多元化解題的興趣。

3.2從教師課程設(shè)置上所得到的啟發(fā)

第一，教學(xué)目標(biāo)設(shè)定。該部分的教學(xué)內(nèi)容為“認(rèn)識與理解三角函數(shù)的正弦函數(shù)”，從已經(jīng)學(xué)到的三角形面積的計(jì)算公式出發(fā)，以單位菱形面積的計(jì)算而引入正弦。在實(shí)際教學(xué)中，老師借助比較直觀“單位菱形面積”，引導(dǎo)我們?nèi)ダ斫舛x的抽象難懂的正弦函數(shù)。課堂上很多小伙伴對于面積與函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換難以理解，因此本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于教師如何使得圖形面積的教學(xué)過渡到的正弦函數(shù)中。

第二，教學(xué)安排。教師帶領(lǐng)我們?nèi)フJ(rèn)識什么是正弦，去解

決單位菱形面積，以及如何定義單位菱形。然后對正弦的概念進(jìn)行在理解，通過矩形的變形，變?yōu)榱庑危處熞龑?dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識面積折扣這一問題，從而真正的引出正弦函數(shù)的應(yīng)用。

第三，對正弦函數(shù)性質(zhì)的探究，通過單位菱形面積的變化，我們能夠輕松的總結(jié)出菱形的基本性質(zhì)，與三角形、平行四邊形等相互結(jié)合。

4.結(jié)論

綜上所述，SinA在初中數(shù)形教學(xué)中，大部分都應(yīng)用到的直角三角中，在教學(xué)中具有一定的特殊性，而高中的數(shù)學(xué)教學(xué)對于正弦函數(shù)的應(yīng)用主要用于銳角三角形或者多邊形中。基于“用面積定義正弦”的教學(xué)方式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)相比， 能夠更加的便于我們理解數(shù)學(xué)問題。將數(shù)形結(jié)合的模式應(yīng)用概念教學(xué)中來，定理等都一目了然，對于我們接下來的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

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