基于直觀歸于本質(zhì)
——對『長方體體積=底面積×高』的教學反思

何月豐

在學習長方體體積計算時，對“長×寬×高”這個計算方法的理解是教學重點，對此，學生往往要經(jīng)歷觀察、操作、歸納這樣一個過程。而對于“底面積×高”的理解，過程相對就會簡略許多，一般僅以“底面積”可由“長×寬”計算得來這樣一種類似等量代換的形式來加以推理。這樣的處理，對學生運用這個計算方法解決問題顯然沒有太大的影響。值得思考的是：這樣的處理，學生真的理解了嗎？一次聽課中，學生就出現(xiàn)了這樣的疑惑：前面剛學“長×寬”代表一層，而底面積是一個面，意思不一樣的呀？

學生的疑惑有道理嗎？我們不妨來分析一下：

長方體的體積=長×寬×高。當長方體的長a、寬b和高h都是整數(shù)時，這個長方體正好等分為b行、a列、h層個體積為1的正方體，所以體積為abh個體積單位。在實際教學中，一般引導學生這樣理解：“長”代表“一行有幾個（對應的體積單位）”，“寬”代表“有幾行”，“高”代表“有幾層”。故“長×寬×高”代表“一行幾個×幾行×幾層”。由此可得：在計算長方體體積中的“長×寬”，其計算結(jié)果表示“一層體積單位的個數(shù)”。

再來看“底面積”。無論從本意理解還是教材呈現(xiàn)，長方體的底面積指長方體底面的面積。因此，這里需要回顧長方形面積的計算方法。

長方形的面積=長×寬。當長方形（矩形）的長a和寬b都是整數(shù)個長度單位時，則這個長方形正好等分為b行、a列面積為1的正方形，所以面積為ab個面積單位。在實際小學教學中，一般引導學生這樣理解：“長”代表“一行有幾個（對應的面積單位）”，“寬”代表“有幾行”。由此可得：在計算長方體底面積中的“長×寬”，其計算結(jié)果表示“這個底面包含的面積單位的個數(shù)”。

通過上述分析可知，長方體體積計算中的“長×寬”與長方體的底面積不能簡單地等同起來，兩者在意義上是不同的。由此可見，學生的疑惑是有一定道理的。進一步可知，僅以“底面積”可由“長×寬”計算得來這樣一種類似等量代換的形式來加以推理，學生在理解上是有盲區(qū)的。

那么，為什么“底面積×高”可以成為所有直柱體體積的通用計算方法，這自然有其可以解釋的道理。但是這個道理涉及到了一個小學生難以真正理解的知識——微積分（極限）。我想，這或許也就是教材對此“避而不談”，而僅以“長×寬=底面積”來進行形式化推理的緣由。

如何來化解這個矛盾？其實教材一開始就給出了方法——直觀理解:長方形面積就是計算長方形包含的面積單位的個數(shù)，直觀形象；長方體體積就是計算長方體包含體積單位的個數(shù)，同樣直觀形象。“底面積×高”，自然也可以走這樣的直觀化認知之路。

例如，以上面的長方體為例：底面積是12平方厘米，代表底面包含了12個1平方厘米的面積單位，每個面積單位上都可以擺1個1立方厘米的體積單位，因此12平方厘米就對應12立方厘米。這樣，“底面積×高”的道理就通了。實際教學時，在前面直觀理解“長×寬×高”道理的基礎之上，引導學生看一看、想一想，最后可由課件進行直觀演示，學生自然就明白了。

其實“直觀化”一直貫穿于整個小學幾何教學，這也符合兒童幾何以“直觀幾何”為主的心理特征。除了上述例子，例如圓柱轉(zhuǎn)化成近似長方體進而得出體積計算方法，也是直觀之路，因為其本質(zhì)涉及到了祖暅原理，顯然小學生又難以理解了。