優(yōu)化建筑過(guò)程 發(fā)展運(yùn)算能力
——《分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘》同課異構(gòu)教學(xué)帶來(lái)的思考

李　燕

運(yùn)算能力是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要部分，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：運(yùn)算能力主要指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解算理，能夠?qū)で蠛侠砗?jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。從蔡婷婷和錢(qián)俊兩位教師《分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘》一課的同課異構(gòu)教學(xué)中，我們能夠感受到他們都聚焦了運(yùn)算能力培養(yǎng)，有效地發(fā)展了學(xué)生的運(yùn)算能力，但在優(yōu)化算理和法則的建構(gòu)過(guò)程中各有精妙構(gòu)思。

一、找準(zhǔn)建構(gòu)起點(diǎn)，激活運(yùn)算基礎(chǔ)

有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。這就要求數(shù)學(xué)教師要善于準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，讓學(xué)生在原有的認(rèn)知水平上展開(kāi)學(xué)習(xí)活動(dòng)，使所有學(xué)生都能站在各自的“起跳點(diǎn)”上，運(yùn)用自己的跳躍方式“跳一跳”，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效建構(gòu)。

在《分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘》一課的教學(xué)過(guò)程中，兩位教師都能找準(zhǔn)學(xué)生新知建構(gòu)的起點(diǎn)。“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”這一教學(xué)內(nèi)容是建立在學(xué)生對(duì)整數(shù)乘法意義的認(rèn)識(shí)、同分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算法則等基礎(chǔ)之上的?？v觀兩位教師的教學(xué)，他們采用不同的導(dǎo)入形式，但究其根本都是讓學(xué)生激活之前所學(xué)的運(yùn)算基礎(chǔ)，并遷移到對(duì)本課新知的探究中去。

蔡老師在復(fù)習(xí)鋪墊環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了相同整數(shù)相加的快速搶答練習(xí)，以此來(lái)激活學(xué)生對(duì)整數(shù)乘法意義的認(rèn)知基礎(chǔ)，明確求幾個(gè)相同加數(shù)的和可用乘法來(lái)計(jì)算比較簡(jiǎn)便。另外，還引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固同分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算法則。在復(fù)習(xí)鋪墊環(huán)節(jié)找準(zhǔn)了分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的已有認(rèn)知起點(diǎn)，為后續(xù)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘意義的認(rèn)識(shí)和算理算法的探究奠定了基礎(chǔ)。

錢(qián)老師則采用情境引入的方式來(lái)激活學(xué)生對(duì)整數(shù)乘法的意義和同分母分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算法則的舊知，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的精心設(shè)計(jì)，從題目中讓學(xué)生體會(huì)到分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的必要性和優(yōu)越性，從而遷移到本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法的意義上來(lái)。同時(shí)，錢(qián)老師在情境中所設(shè)計(jì)到的數(shù)據(jù)與之后出現(xiàn)的例題存在一定的聯(lián)系性，也體現(xiàn)了錢(qián)老師在設(shè)置環(huán)節(jié)中充分考慮到了整體性。

兩位教師采用不同的方式激活學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)。學(xué)生主動(dòng)遷移整數(shù)乘法的意義，面對(duì)求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)連加的新問(wèn)題，能列出分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的算式，闡述列式理由。這表明學(xué)生已經(jīng)完成了運(yùn)算意義的建構(gòu)。

二、落實(shí)建構(gòu)基點(diǎn)，探尋運(yùn)算理法

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來(lái)分析，運(yùn)算能力主要是由問(wèn)題最初定向、抽象概括能力、壓縮簡(jiǎn)化運(yùn)算環(huán)節(jié)能力、算法轉(zhuǎn)換能力、優(yōu)化算法能力及記憶能力等六個(gè)要素構(gòu)成。曹培英教授從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際出發(fā)，整合上述各種運(yùn)算能力要素，建構(gòu)起算法、算理、口算、策略四位一體的運(yùn)算能力模型結(jié)構(gòu)。在這個(gè)模型中，基本口算是其他任何計(jì)算不可或缺的運(yùn)算反應(yīng)，是整個(gè)運(yùn)算能力的有力托底；算法、算理構(gòu)成了運(yùn)算能力的左右兩翼，在小學(xué)數(shù)學(xué)中兩者是相輔相成的，計(jì)算法則教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)兩者的有機(jī)融合，做到循理入法、以理馭法、以法促理；運(yùn)算策略是指運(yùn)算信息挖掘、運(yùn)算問(wèn)題定向、運(yùn)算方法選擇及運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，它與其他三要素互相關(guān)聯(lián)，是鑒別運(yùn)算能力的敏感因素。在蔡老師和錢(qián)老師的兩堂課中，重點(diǎn)關(guān)注了算理和算法探究過(guò)程的展開(kāi)，落實(shí)建構(gòu)基點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步展開(kāi)探究。

蔡老師細(xì)致地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過(guò)程。先是采用幾何直觀的方式，讓學(xué)生“用圖說(shuō)話”，直觀操作、表述題意，借助已有知識(shí)技能直觀解決“3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米”這一問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，蔡老師引導(dǎo)學(xué)生脫離直觀圖，對(duì)計(jì)算過(guò)程加以展開(kāi)，形成同分母分?jǐn)?shù)加法、分母不變分子連加、分母不變分子相乘等多種形式，這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)推理過(guò)程的詳細(xì)展開(kāi)。然后教師幫助學(xué)生壓縮和簡(jiǎn)化這個(gè)思維過(guò)程，直接寫(xiě)成分母不變、分子相乘的形式，讓學(xué)生歸納概括分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計(jì)算法則。

錢(qián)老師則采用了比較開(kāi)放的教學(xué)手段，為學(xué)生提供了充足的自主嘗試、合作研討的時(shí)空，在學(xué)生遷移整數(shù)乘法意義列出分?jǐn)?shù)乘法算式后，大膽放手讓學(xué)生自己探究分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的算理和算法。學(xué)生借助已有基礎(chǔ)大膽嘗試，呈現(xiàn)出多種不同計(jì)算思路和方法：有的把乘法轉(zhuǎn)化為同分?jǐn)?shù)連加來(lái)計(jì)算結(jié)果；有的借助圖形來(lái)直觀推理計(jì)算；有的通過(guò)分?jǐn)?shù)的意義來(lái)直接思考計(jì)算結(jié)果；也有的采用分子相乘分母不變的法則進(jìn)行計(jì)算。錢(qián)老師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些不同的解決方法進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，討論、理解“分母不變，分子和整數(shù)相乘”的算理，通過(guò)比較多種方法，讓學(xué)生選擇出適合自己的計(jì)算方法。

三、把握建構(gòu)節(jié)點(diǎn)，優(yōu)化運(yùn)算方法

如上文所說(shuō)，運(yùn)算策略是指運(yùn)算信息挖掘、運(yùn)算問(wèn)題定向、運(yùn)算方法選擇及運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，它與其他三要素互相關(guān)聯(lián)，是鑒別運(yùn)算能力的敏感因素。因此，高水平的運(yùn)算能力還體現(xiàn)在學(xué)生根據(jù)算式特點(diǎn)靈活運(yùn)用巧妙策略，使計(jì)算方法進(jìn)一步優(yōu)化和完善上。分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的初步計(jì)算方法是需要得到進(jìn)一步優(yōu)化和完善的。這是本課教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)所在。因?yàn)閷W(xué)生受到分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算習(xí)慣的影響，習(xí)慣于在算出結(jié)果后再進(jìn)行約分，而分?jǐn)?shù)乘法需要在計(jì)算前先行約分后再計(jì)算，這樣比較簡(jiǎn)便。

蔡老師在處理這一難點(diǎn)時(shí)，先是讓學(xué)生解決變式問(wèn)題，讓學(xué)生在鞏固初步算法的同時(shí)過(guò)渡到先約分后計(jì)算的優(yōu)化算法。針對(duì)學(xué)生囿于先計(jì)算后約分的課堂現(xiàn)實(shí)，教師采用講授、示范的方法，直接板演“先約分，再計(jì)算”的計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生了解此方法更為簡(jiǎn)便，體會(huì)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)計(jì)算結(jié)果要為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

錢(qián)老師大膽充實(shí)了教材內(nèi)容，在教學(xué)例題1時(shí)，當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)了先計(jì)算后約分的方法后，教師并沒(méi)有直接告訴學(xué)生優(yōu)化的方法，而是緊跟著讓學(xué)生練習(xí)一組題目，其中包括計(jì)算結(jié)果約分時(shí)數(shù)據(jù)較大、比較麻煩的，如引導(dǎo)學(xué)生先主動(dòng)思考“怎樣算可以更簡(jiǎn)便一些”，由于學(xué)生已經(jīng)得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)結(jié)果，受此結(jié)果啟發(fā)，學(xué)生自發(fā)地想到了可以先約分后計(jì)算。這樣的教學(xué)給學(xué)生獨(dú)立探索嘗試的機(jī)會(huì)，能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生靈活選擇運(yùn)算策略的能力。

四、夯實(shí)建構(gòu)力點(diǎn)，提升運(yùn)算技能

設(shè)計(jì)富有層次性的多樣化鞏固練習(xí)是形成運(yùn)算技能的重要途徑。兩位教師在對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力和思維培養(yǎng)的深度、廣度、寬度上都有著自己一定的思索，他們?cè)陟柟叹毩?xí)的設(shè)計(jì)上也充分考慮到基礎(chǔ)性和發(fā)展性相呼應(yīng)，層次性和邏輯性相聯(lián)系，夯實(shí)了建構(gòu)力點(diǎn)，較好地鞏固和發(fā)展了學(xué)生的運(yùn)算技能。

蔡老師首先安排畫(huà)圖填空練習(xí)，旨在鞏固分?jǐn)?shù)乘法的意義和算理；接著安排了一組計(jì)算練習(xí)，進(jìn)一步強(qiáng)化和熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，尤其是針對(duì)先約分后計(jì)算這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，再次引導(dǎo)學(xué)生辨析練習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，重點(diǎn)體會(huì)這一算法的優(yōu)越性；最后讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)新知解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。這些練習(xí)具有一定的基礎(chǔ)性和層次性。

錢(qián)老師在教材原有練習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了調(diào)整和補(bǔ)充。他把畫(huà)圖計(jì)算練習(xí)放在了例1新授后作為即時(shí)鞏固練習(xí)，幫助學(xué)生及時(shí)鞏固運(yùn)算意義和算理，在交流時(shí)選擇橫著涂和豎著涂?jī)煞N不同的涂法，讓學(xué)生進(jìn)行比較，更有利于培養(yǎng)學(xué)生考慮問(wèn)題思維的多角度、多方位。錢(qián)老師還設(shè)計(jì)了一組辨析題，讓學(xué)生進(jìn)一步明確算理，再一次強(qiáng)化基本算法，在分析中培養(yǎng)學(xué)生邏輯能力。

兩位教師最后還都設(shè)計(jì)了一道拓展性練習(xí)題，啟發(fā)學(xué)生靈活運(yùn)用計(jì)算法則，把分子和整數(shù)交換位置，實(shí)現(xiàn)法則的交互變通性，有效培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)算思維的靈活性，深刻地內(nèi)化了運(yùn)算法則。