基于改進(jìn)S變換的高頻地波雷達(dá)陣列信號(hào)DOA估計(jì)*

田瀟瀟，劉愛(ài)軍，李春鵬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院，山東 威海 264209)

基于改進(jìn)S變換的高頻地波雷達(dá)陣列信號(hào)DOA估計(jì)*

田瀟瀟，劉愛(ài)軍，李春鵬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息與電氣工程學(xué)院，山東 威海 264209)

傳統(tǒng)陣列信號(hào)的DOA估計(jì)可以同時(shí)對(duì)空間不同方向上的多個(gè)信號(hào)源實(shí)現(xiàn)方向估計(jì)，為了提高估計(jì)精度，可以進(jìn)行時(shí)頻變換，但小波及希爾伯特黃變換等，都存在交叉項(xiàng)問(wèn)題，而S變換可以避免交叉項(xiàng)的影響。由于S變換中高斯窗寬度為頻率的倒數(shù)，為提高信號(hào)的時(shí)頻分辨率，本文在高斯窗中加入調(diào)節(jié)因子，可以靈活調(diào)節(jié)高斯窗函數(shù)隨頻率尺度的變化趨勢(shì)。本文將改進(jìn)S變換與陣列信號(hào)DOA估計(jì)結(jié)合，通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真給出了該方法與傳統(tǒng)方法的性能對(duì)比，并與高頻地波雷達(dá)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)合，驗(yàn)證了此方法的有效性與可行性。

改進(jìn)S變換； 陣列信號(hào)； DOA估計(jì)； 時(shí)頻變換

工作在短波波段(3～30 MHz)的高頻地波雷達(dá)(High Frequency Surface Wave Radar，HFSWR)利用垂直極化電磁波能夠沿海面繞射的原理[1]，在海上及低空飛行目標(biāo)超視距探測(cè)、大面積海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)等軍事領(lǐng)域取得了巨大成功[3]。高頻地波雷達(dá)超分辨測(cè)向本質(zhì)上是陣列空域信號(hào)處理，屬于空間譜估計(jì)的范疇[2]。

在過(guò)去30多年中，使用空間內(nèi)按某種規(guī)則排列著的傳感器所形成的陣列來(lái)接收信號(hào)[4]，通過(guò)分析空域、頻域、時(shí)頻或時(shí)頻域提取人們所感興趣的有用信息，從而進(jìn)行被測(cè)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)是當(dāng)今信號(hào)處理研究的一個(gè)非常重要分支[5]。其本質(zhì)是使用空間內(nèi)按一定規(guī)律排列著的傳感器陣列，通過(guò)多通道來(lái)獲取信號(hào)源的空域和時(shí)域等等多維的信息，從而達(dá)到接收信號(hào)和提取所接收到的信號(hào)參數(shù)的目的[7]。陣列信號(hào)處理已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用到聲吶、地質(zhì)勘探、雷達(dá)、通信、生物醫(yī)學(xué)等等實(shí)際應(yīng)用工程中，并且取得了很好的實(shí)際效果[8]。早在 1940 年，傳感器陣列就已經(jīng)被應(yīng)用到了雷達(dá)領(lǐng)域。時(shí)頻分析的方法可以分為線性時(shí)頻分析、雙線性時(shí)頻分析、參數(shù)化時(shí)頻分析等。典型線性時(shí)頻分析有短時(shí)傅立葉變換、Gabor 變換[9]、小波變換以及最近提出的 S 變換的方法等等，而典型的雙線性時(shí)頻分析方法有 Wigner-ville 分布等等[11]；近年以來(lái)，參數(shù)化的時(shí)頻分析的方法也逐漸的發(fā)展起來(lái)了。

S 變換是近 10 年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新型的時(shí)頻變換[12]，最初是由 stockwell(1996)等人提出。其是以 Morlet 小波為基本小波的連續(xù)小波變換延伸。現(xiàn)在，對(duì) S 變換的研究主要是對(duì)一維時(shí)間序列進(jìn)行研究，并且已經(jīng)運(yùn)用到了一些實(shí)際的工程運(yùn)用中[14]，如電力信號(hào)中用于監(jiān)測(cè)電能質(zhì)量異常、地震信號(hào)用于檢測(cè)油氣異常和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中用于多普勒分析等等。

本文針對(duì)陣列信號(hào)波達(dá)方向處理中分辨率較低的問(wèn)題，創(chuàng)新性的提出將改進(jìn)S變換與陣列信號(hào)DOA估計(jì)相結(jié)合的思想，并使用蒙特卡洛法仿真分析了不同信噪比、不同MUSIC算法下，使用改進(jìn)S變換及普通DOA估計(jì)的結(jié)果的不同之處，驗(yàn)證了該方法在實(shí)際應(yīng)用中的效果。

1 理論部分

1.1 DOA估計(jì)基本的陣列信號(hào)模型

本文中波達(dá)方向估計(jì)系統(tǒng)都可以看成3個(gè)組成部分：來(lái)波信號(hào)、均勻線陣接收信號(hào)以及用陣列信號(hào)處理知識(shí)得到DOA估計(jì)值。相對(duì)應(yīng)也可以把DOA估計(jì)系統(tǒng)分為目標(biāo)空間、信號(hào)采集空間和信號(hào)處理空間(見(jiàn)圖1)。

圖1 DOA估計(jì)系統(tǒng)端口網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 Schematic diagram of DOA estimation system port network

從圖1中可以看出，對(duì)信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)的過(guò)程就是通過(guò)信號(hào)采集空間中得到的信息對(duì)目標(biāo)空間中的入射信號(hào)的DOA值進(jìn)行估計(jì)的過(guò)程。信號(hào)DOA估計(jì)值的精確程度取決于很多因素，比如所用算法的優(yōu)劣程度、系統(tǒng)外部的環(huán)境、通道以及頻帶不一致、陣列誤差等。

本文所用陣列都是均勻直線陣(Uniform Linear Array，ULA)，各天線陣元以一定間距均勻排列在一條直線上。我們假設(shè)接收天線陣有M個(gè)陣元，陣元間距為d，一個(gè)信號(hào)源以平面波的形式入射到均勻直線陣上，我們要估計(jì)信號(hào)的波達(dá)方向指的是信號(hào)的入射方向與陣列法線之間的夾角θ(見(jiàn)圖2)。

圖2 均勻直線陣列示意圖Fig.2 Schematic diagram of uniform linear array

(1)

那么第m個(gè)陣元接收到的第p個(gè)信號(hào)的時(shí)延可以寫(xiě)為：

(2)

這里c指的是光速。則第m個(gè)陣元上的接收信號(hào)可以表示為：

(3)

式中：m=1,2,…,M，gmp表示第m個(gè)陣元對(duì)第p個(gè)信號(hào)的增益；τmp表示第p個(gè)信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元時(shí)和參考陣元相比所產(chǎn)生的時(shí)間延遲；nm(t)表示第m個(gè)陣元在t時(shí)刻的噪聲。

將式寫(xiě)成矢量形式如下：

X(t)=AS(t)+N(t)，

(4)

式中的X(t)表示陣列的M×1維的矢量；A表示陣列的M×P維的陣列流型矩陣，也稱導(dǎo)向矢量矩陣；S(t)表示的是N×1維的接收信號(hào)矢量；N(t)表示的是M×1維的噪聲矢量。

1.2MUSIC算法的原理

由1.1節(jié)的陣列信號(hào)模型可知，窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)的接收模型如公式所示，那么接收陣列的協(xié)方差矩陣可以寫(xiě)為：

RX=ARSAH+RN=ARSAH+σ2I，

(5)

式中：RS表示的是有用信號(hào)的協(xié)方差矩陣；RN表示的是接收噪聲的協(xié)方差矩陣；σ2表示的是高斯白噪聲的方差；I表示單位陣。

假設(shè)λi是矩陣RX的第i個(gè)特征值，νi是和λi相對(duì)應(yīng)的特征向量，那么有：

Rxνi=λiνi，

(6)

再假設(shè)λi=σ2是協(xié)方差矩陣RX的較小的特征值，則有：

Rxνi=σ2νi，i=P+1,P+2,…,M，

(7)

將式代入上式，可以得到：

(8)

對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得：

ARsAHνi=0，

(9)

AHνi=0，i=P+1,P+2,…,M，

(10)

式(10)可以表明：代表噪聲的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量νi與導(dǎo)向矢量矩陣A的列向量之間是正交的，而導(dǎo)向矢量矩陣的每一列和來(lái)波信號(hào)相對(duì)應(yīng)，因此利用噪聲和信號(hào)之間的正交性再通過(guò)譜峰搜索就可以得到信號(hào)的來(lái)波方向。

把噪聲的特征向量放在一起構(gòu)造出一個(gè)噪聲子空間矩陣En：

(11)

定義空間譜Pm(θ)：

(12)

式(12)是我們構(gòu)造的空間譜的表達(dá)式，式中分母代表的是導(dǎo)向矢量矩陣和空間噪聲矩陣的內(nèi)積，也就是說(shuō)當(dāng)a(θ)和噪聲子空間的每一列都正交時(shí)，空間譜表達(dá)式的分母就為零。又由于噪聲的存在，空間譜表達(dá)式的值會(huì)表現(xiàn)為一個(gè)最小值，此時(shí)Pm(θ)呈現(xiàn)的是一個(gè)尖峰。因此我們讓?duì)戎饾u變化，通過(guò)尋找空間譜的譜峰就可以得到信號(hào)來(lái)波方向的值，這就是經(jīng)典MUSIC算法的原理。

1.3S變換及改進(jìn)S變換的相關(guān)知識(shí)

1996年，R.G.Stockwell等人提出S變換。S變換是連續(xù)小波變換思想的一種推廣，它具有連續(xù)小波變換所欠缺的某些性質(zhì)，它基于一個(gè)平移伸縮局部化的高斯窗，用它對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，不僅能保持與頻率有關(guān)的分辨率，而且與傅里葉頻譜也有直接的聯(lián)系，這是其它任何變換所沒(méi)有的性質(zhì)。其變換公式為：

(13)

由于S變換的基本小波是固定不變的，因此，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)也受到了某種程度的限制。隨后，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上對(duì)S變換中的基本小波或窗函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，得到了改進(jìn)S變換，例如，高靜懷等在S變的基礎(chǔ)上，對(duì)其基本小波做了進(jìn)一步的推廣，采用四個(gè)參數(shù)(振幅、能量衰減率、能量延遲時(shí)間及視頻率)來(lái)控制基本小波，故可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)選擇最佳的小波。

下面來(lái)介紹改進(jìn)S變換的具體公式。

設(shè)h(t)∈L2(R),在S變換中，基本小波函數(shù)為：

(14)

h(t)相對(duì)于w(t)的改進(jìn)S變換定義為：

(15)

(16)

其中：gf(t)為高斯窗函數(shù)；A是基本小波幅度；α是能量衰減率；β是能量延遲時(shí)間；f0是基本小波視頻率。

通過(guò)歸納可發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)S變換的窗函數(shù)可表示為兩部分相乘的模式

gf(t)=γ1γ2。

(17)

通過(guò)改變?chǔ)肧中的γS，可改變窗函數(shù)的形態(tài)，γS取值越大，改進(jìn)S變換的窗函數(shù)越寬，反之越窄，這樣就可以在實(shí)際的高頻地波雷達(dá)信號(hào)處理時(shí)，根據(jù)不同的時(shí)間分辨率和頻率分辨率的要求，選擇不同的γS值。為了得到較好的時(shí)間分辨率,可以選擇較窄的窗函數(shù),γS選取趨近于0，但這時(shí)頻率窗函數(shù)就會(huì)較寬,所以不能獲得較高的頻率分辨率。因此在γS的選取上就應(yīng)該根據(jù)具體需要綜合考慮。

1.4 基于改進(jìn)S變換的陣列信號(hào)DOA估計(jì)

由于改進(jìn)S變換是線性時(shí)頻分析函數(shù)，所以要構(gòu)造基于改進(jìn)S變換的時(shí)頻協(xié)方差矩陣，這樣就可以滿足使用MUSIC算法的矩陣結(jié)構(gòu)。

第m個(gè)陣元在t時(shí)刻接收的信號(hào)為：

(18)

其中：sn(t) 為第n個(gè)信號(hào)源在t時(shí)刻的信號(hào)波形；τm為相對(duì)于第一個(gè)陣元接收信號(hào)的時(shí)延；zm(t) 為第m個(gè)陣元接收的噪聲。

對(duì)(20)式作改進(jìn)S變換得：

(19)

其中

(20)

x(f,t)=[x1(f,t),x2(f,t),…,xM(f,t)]T，

(21)

(21)式也可以表示為：

x(f,t)=A(f)s(f,t)+z(f,t)，

(22)

其中

s(f,t)=[s1(f,t),s2(f,t),…,sN(f,t)]；

(23)

經(jīng)過(guò)改進(jìn)S變換的協(xié)方差矩陣為

Rx(f,t)=E[x(f,t)xH(f,t)]=

A(f)Rs(f,t)AH(f)+Rz(f,t)。

(24)

從其矩陣結(jié)構(gòu)可得可以使用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)。

2 仿真分析

使用蒙特卡洛法，分別在不同信噪比、不同陣元數(shù)的情況下，仿真對(duì)比MUSIC算法、權(quán)矩陣為w=e×eT，e=[1 0 0 …0]T的加權(quán)MUSIC算法及求根MUSIC算法的均方誤差，確定哪種方法更適合與改進(jìn)S變換結(jié)合；之后進(jìn)行S變換、改進(jìn)S變換的陣列信號(hào)DOA估計(jì)，并進(jìn)行對(duì)比分析。

圖3的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比了在信噪比一定的情況下，陣元數(shù)不同時(shí)，三種MUSIC算法的均方誤差，令信噪比為0dB，信源數(shù)為1；信號(hào)長(zhǎng)度為1 024；快拍數(shù)為1 024；信號(hào)頻率為0.785MHz；陣元間距為λ/2；信號(hào)入射角度為50°。

圖3 不同陣元數(shù)下的對(duì)比

圖4的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比了在陣元數(shù)一定的情況下，信噪比不同時(shí)，三種MUSIC算法的均方誤差，令陣元數(shù)為8；信源數(shù)為1；信號(hào)長(zhǎng)度為1 024；快拍數(shù)為1 024；信號(hào)頻率為0.785MHz；陣元間距為λ/2；信號(hào)入射角度為50°。

圖4 不同信噪比下的對(duì)比Fig.4 Comparison of different signal to noise ratio

從上面兩圖可以分析出，此處權(quán)函數(shù)為w=e×eT的加權(quán)MUSIC算法對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)的分辨率較差，所以，本文接下來(lái)選擇經(jīng)典MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)。

圖5是線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)S變換之后的時(shí)頻圖，采樣點(diǎn)數(shù)為250個(gè)，信噪比為10dB,歸一化頻率分別為(0.1,0.2)，(0.3,0.4)?？梢?jiàn)改進(jìn)S變換可以避免小波變換等變換出現(xiàn)交叉項(xiàng)的問(wèn)題，但時(shí)頻聚集性較差。

圖5 改進(jìn)S變換后的線性調(diào)頻信號(hào)

想要將上述信號(hào)進(jìn)行分離，由1.4節(jié)可知，經(jīng)過(guò)改進(jìn)S變換后的信號(hào)，由于是線性變換，所以只要構(gòu)造符合MUSIC算法的矩陣結(jié)構(gòu)的協(xié)方差矩陣，就可以利用MUSIC算法進(jìn)行角度估計(jì)。

圖6、7分別是陣元數(shù)為8；信源數(shù)為2；信號(hào)長(zhǎng)度為1 024；快拍數(shù)為1 024；信噪比為0dB；信號(hào)頻率為0.785MHz；陣元間距為λ/2的信號(hào)，進(jìn)行了S變換及改進(jìn)S變換后，在入射信號(hào)為30°和35°時(shí)的DOA估計(jì)對(duì)比。可見(jiàn)運(yùn)用改進(jìn)S變換比S變換的DOA估計(jì)精度要更加精確。

圖6 S變換后的DOA估計(jì)

圖7 改進(jìn)S變換后的DOA估計(jì)Fig.7 DOA estimation based on improved S transform

高頻地波雷達(dá)的天線陣是由多陣元組成的，從θ方向來(lái)的信號(hào)在不同陣元輸出的信號(hào)較基準(zhǔn)陣元(陣元一)有一行程差，從而產(chǎn)生一相位差Δφl(shuí)

(25)

其中：l=0,1,2,3,4…代表不同陣元；d為陣元間距；為雷達(dá)波長(zhǎng)；θ為雷達(dá)回波入射角。

則第l路陣元的接收信號(hào)相位為

PRI(t)=2πf0(t-tr)+2πfb(t-nTr-tr)+πk(t-nTr-tr)2+φ0-ΔφI，

(26)

式(26)中相位差ΔφI，其對(duì)應(yīng)1.1節(jié)中的相位差Δmp，將其代入MUSIC算法的公式中，可以此提取目標(biāo)方位信息。

高頻地波雷達(dá)一般工作在 3～30MHz，其波長(zhǎng)較長(zhǎng)，與常規(guī)的微波雷達(dá)相比，其方位分辨率較差，所以要尋找提高方位分辨率的方法，本文嘗試將改進(jìn)S變換的DOA估計(jì)與高頻地波雷達(dá)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相結(jié)合。

所用數(shù)據(jù)為接收陣列為8元均勻線陣，載波頻率為3.7MHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，距離門(mén)數(shù)為194，每個(gè)距離門(mén)寬度為1.5km，為了驗(yàn)證算法是否準(zhǔn)確，向?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)中添加兩個(gè)參考信號(hào)，方位角已知。向?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)的第73～75個(gè)距離門(mén)中加入2個(gè)線性調(diào)頻目標(biāo)，其歸一化頻率分別為0.01～0.012以及0.018和0.02，方位角分別為0°和2°，信噪比約為15dB，所設(shè)目標(biāo)與真實(shí)情況接近，分別用經(jīng)典MUSIC算法、基于S變換的MUSIC算法和基于改進(jìn)S變換的MUSIC算法對(duì)參考信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。

從表1中可以看出，把改進(jìn)S變換應(yīng)用到高頻地波雷達(dá)陣列測(cè)向中是一種可行的思想，表中得到DOA估計(jì)值對(duì)應(yīng)的實(shí)際方位角分別為0°和2°，用改進(jìn)S變換的DOA估計(jì)算法估計(jì)的結(jié)果是較準(zhǔn)確的，有較大的參考價(jià)值。

表1 三種算法的DOA估計(jì)值

Note：①Distancegate；②ClassicalMUSICalgorithm；③MUSICalgorithmbasedonStransform；④MUSICalgorithmbasedonimprovedStransform

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于改進(jìn)S變換的陣列信號(hào)DOA估計(jì)。首先分析了理論基礎(chǔ)，之后進(jìn)行了仿真分析，分別對(duì)3種MUSIC算法、線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)S變換之后的時(shí)頻圖、基于S變換的DOA估計(jì)及基于改進(jìn)S變換的DOA估計(jì)進(jìn)行仿真，可得經(jīng)典MUSIC算法在分析線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)的效果最好。改進(jìn)S變換對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻變換后的聚集性較差，改進(jìn)S變換比S變換在陣列信號(hào)的DOA估計(jì)時(shí)的分辨率要更精確。最后還用高頻地波雷達(dá)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，通過(guò)3種估計(jì)方式的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)用改進(jìn)S變換的DOA估計(jì)算法估計(jì)的結(jié)果是較準(zhǔn)確的，有較大的參考價(jià)值。

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責(zé)任編輯 陳呈超

Array Signal DOA Estimation Algorithm Based on Improved S-Transform

TIAN Xiao-Xiao1，LIU Ai-Jun2，LI Chun-Peng3

(School of Information and Electronic Engineering,Harbin Institute of Technology (Weihai),Weihai 264209,China)

The DOA estimation of traditional array signals can simultaneously estimate the direction of multiple sources in different directions in the space,but in the actual environment,the array errors are almost inevitable.In order to improve the estimation accuracy,the time-frequency transform can be performed,but the wavelet and Hilbert Huang transform have the cross term problem,while the S transform can avoid the influence of the cross term.Because the Gauss window width is the reciprocal of the frequency in the S transform,in order to improve the time-frequency resolution of the signal,the adjustment factor is added into the Gauss window,which can flexibly adjust the change trend of the window function with the frequency scale of the.Improved discrete transform algorithm) is smaller than the traditional operation algorithm,is due to the influence of window function,the improved algorithm will remove redundant operations outside the window function; and the modified discrete transform) algorithm is smaller than the continuous wavelet transform algorithm,a very important reason is because the discrete transform algorithm) use butterfly algorithm fast Fourier transform.The improved S transform and DOA estimation of array signal combining,by comparing the performance of computer simulation is given with the traditional methods,and the measured data and the HF radar combination,verify the feasibility and validity of this method.

improved S-transform; array signal; DOA estimation; time frequency transform

國(guó)家海洋公益項(xiàng)目(201505002)；國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(61571157)；哈工大(威海)學(xué)科引導(dǎo)基金項(xiàng)目(WH20150111)資助

Supported by the National Marine Public Welfare Project (201505002); National Natural Science Foundation of China (61571157)；Harbin Institute of Technology (Weihai) Science Guide Fund (WH20150111)

2016-09-15;

2016-10-04

田瀟瀟(1992-)，女，碩士。E-mail:504679488@qq.com

TN953+.5

A

1672-5174(2017)02-050-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20160229

田瀟瀟，劉愛(ài)軍，李春鵬.基于改進(jìn)S變換的高頻地波雷達(dá)陣列信號(hào)DOA估計(jì)[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(2):50-55.

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