整體教學(xué)：兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的智性建構(gòu)

張衛(wèi)娥

摘 要：“整體教學(xué)”立足于數(shù)學(xué)知識的有機整體和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升，用一種結(jié)構(gòu)性觀點、聯(lián)通性思維考量兒童、數(shù)學(xué)與兒童數(shù)學(xué)教學(xué)。在兒童數(shù)學(xué)“整體教學(xué)”中，可以對知識本體進行整合，對知識結(jié)構(gòu)進行類化，對數(shù)學(xué)思想進行敞亮。由此凸顯知識的本質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的整體感悟，進而優(yōu)化教學(xué)的整體效度。

關(guān)鍵詞：整體教學(xué)；整體思維；智性建構(gòu)

數(shù)學(xué)本體性知識是有機的結(jié)構(gòu)性統(tǒng)一體。但是由于數(shù)學(xué)教材文本表達的局限性，許多數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系被隱藏、懸置、遮蔽起來了。由此導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知被肢解、思維被固化、創(chuàng)造被弱化。“整體教學(xué)”從數(shù)學(xué)知識的有機整體和學(xué)生生命生長的全視野出發(fā)，把握數(shù)學(xué)知識的整體格局，努力彰顯、弘揚數(shù)學(xué)、兒童與兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的整體特質(zhì)。

一、“整體教學(xué)”的內(nèi)涵及其維度

“整體教學(xué)”理論認(rèn)為，“知識體系”的整體大于“知識體系”的各部分之和。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，所謂的“整體教學(xué)”就是要用數(shù)學(xué)的“高觀點”、學(xué)習(xí)的“長任務(wù)”、教學(xué)的“大問題”來將數(shù)學(xué)知識中的相同或相似乃至相對、相反的意義模塊進行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識成為更具生長力的結(jié)構(gòu)體。

1. 數(shù)學(xué)：結(jié)果與過程的辯證統(tǒng)一

兒童數(shù)學(xué)知識是“過程與結(jié)果”辯證統(tǒng)一的耦合體。它既表現(xiàn)為特定的思考、認(rèn)知對象，又是具體的操作、推理過程。教學(xué)中，必須從相互關(guān)聯(lián)的視角去把握“結(jié)果與過程”，謹(jǐn)防“結(jié)果”對“過程”的僭越。例如教學(xué)“通分和約分”（蘇教版小數(shù)教材五年級下冊），立足于整體教學(xué)的視角，引導(dǎo)學(xué)生圍繞“為什么要學(xué)習(xí)通分、約分？”（為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)乘除法奠基）、“怎樣進行通分和約分？”（運用最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)）、“通分和約分的依據(jù)是什么？”（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)）三個維度進行探究討論。教學(xué)中，學(xué)生對“約分和通分”知識的前后姻緣、來龍去脈有了回溯和展望，對約分和通分的產(chǎn)生過程和操作形式有了完整的把握。這里，知識不再是支離破碎的灌輸，而是一種整體習(xí)得。

2. 學(xué)生：認(rèn)知建構(gòu)的螺旋上升

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)是一個矛盾發(fā)展、螺旋上升的過程，需要經(jīng)歷“不平衡——平衡——不平衡”的過程，這是一個伴隨著不斷“建構(gòu)——解構(gòu)——重構(gòu)”的學(xué)習(xí)心理過程。教學(xué)中，教師要洞悉兒童的學(xué)習(xí)心理，努力讓看似無序的學(xué)習(xí)“有序化”。例如“認(rèn)識小數(shù)”的內(nèi)容在小學(xué)是分階段分散進行教學(xué)的，其中三年級的“認(rèn)識小數(shù)”的主要內(nèi)容是“一位小數(shù)”的認(rèn)識，教學(xué)時可以密切聯(lián)系學(xué)生的生活實際，如人民幣單位、長度單位的進率等。教學(xué)中，要豐富學(xué)生的感性積累，通過讓學(xué)生對長方形紙、米尺的認(rèn)識，以及將米尺抽象成“數(shù)線圖”（數(shù)軸）進行平均分的操作，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)意義上的“整體”概念，進而溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)學(xué)生思維方式的轉(zhuǎn)變。

3. 學(xué)習(xí)：從封閉走向開放

當(dāng)下兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出一種封閉狀態(tài)，學(xué)生的學(xué)習(xí)被禁錮于課堂，課前缺少自主預(yù)習(xí)，課后缺少繼續(xù)研究、探究的興趣。“整體教學(xué)”吁求給學(xué)生呈現(xiàn)一個開放的學(xué)習(xí)平臺，在這種開放的學(xué)習(xí)場域中，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能能夠得到最佳的發(fā)掘和弘揚。以《圓的周長》（蘇教版小數(shù)教材五年級下冊）學(xué)習(xí)為例，學(xué)生在課前通過預(yù)習(xí)能夠在課堂上自主進行數(shù)學(xué)實驗，產(chǎn)生了“滾圓法”“繞圓法”等圓的周長測量方法。課堂上，筆者通過一個重物繞一個定點旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的“軌跡圓”激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生自然產(chǎn)生出探究圓的直徑、半徑與圓周長關(guān)系的內(nèi)心驅(qū)動。然后筆者用多媒體課件出示一個圓，在圓的外面添上外切正方形和內(nèi)接正六邊形，讓學(xué)生形成猜想：圓的周長是直徑的3倍多一些、4倍少一些，隨后讓學(xué)生展開數(shù)學(xué)實驗，通過數(shù)據(jù)得出“周三徑一”的結(jié)論。課后，筆者讓學(xué)生通過閱讀，了解了“割圓術(shù)”“圓周率”“約率”“密率”等關(guān)于圓的一系列數(shù)學(xué)史知識，開放的學(xué)習(xí)開闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)視界。

二、整體教學(xué)：基于兒童數(shù)學(xué)“整體素養(yǎng)”生成的實踐建構(gòu)

“整體教學(xué)”由于將數(shù)學(xué)知識上下貫通、左右相連，因而能夠讓學(xué)生感受、體驗到數(shù)學(xué)知識的“整體之美”“邏輯之美”。學(xué)生在數(shù)學(xué)“整體教學(xué)”中將數(shù)學(xué)知識連成線、形成片、織成網(wǎng)，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)化能力顯著提升。同時，數(shù)學(xué)知識本身也因為“整體教學(xué)”而更具有了匹配性、融合性、指向性。

1. 重組知識：追求學(xué)習(xí)的整體感悟

“只見樹木不見森林”的單一式教學(xué)無法讓學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識。在數(shù)學(xué)“整體教學(xué)”中，教師要克服那種零打碎敲、支離破碎的散點教學(xué)狀態(tài)，自覺對數(shù)學(xué)知識進行有機整合，可以是單元內(nèi)的知識整合，也可以是單元間的知識整合。例如六年級《分?jǐn)?shù)乘法》《分?jǐn)?shù)除法》《樹葉中的比》三個單元是聯(lián)系緊密的三個單元，教材的安排卻將綜合實踐活動《樹葉中的比》的教學(xué)置后。教學(xué)時筆者瞻前顧后、左顧右盼，首先將《解決問題的策略》單元果斷置后，同時將《樹葉中的比》提前；其次在進行分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時，不僅將“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”和“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”利用方程解法進行統(tǒng)一，更將“分?jǐn)?shù)的意義”貫穿其中，讓學(xué)生始終抓住分?jǐn)?shù)中分母和分子的意義，每一個分?jǐn)?shù)是對哪個數(shù)量進行平均分的，哪個數(shù)量獲得多少份或者相當(dāng)于多少份。如此，溝通知識間的有機關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生對分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中每個數(shù)量的份數(shù)有著清晰的認(rèn)知，獲得對數(shù)學(xué)知識的整體透視與感悟。

2. 類化結(jié)構(gòu)：凸顯知識的本質(zhì)內(nèi)涵

在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從數(shù)學(xué)本體性知識和兒童的學(xué)情以及數(shù)學(xué)的整體課程視域出發(fā)，秉持“高觀點”，將教學(xué)聚焦于“核心知識”。教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》中的“百分?jǐn)?shù)單位”，筆者從“數(shù)的單位”的整體視域出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)自然數(shù)的計數(shù)單位、小數(shù)的計數(shù)單位、分?jǐn)?shù)單位等，將百分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位“1%”自然融入學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)中。由此，學(xué)生對“數(shù)的單位”“有幾個這樣的計數(shù)單位”等知識有了本質(zhì)的認(rèn)識。又如，教學(xué)《分?jǐn)?shù)的加減法》，筆者將其與“小數(shù)的加減法”“整數(shù)的加減法”等數(shù)的運算法則進行比對，凸顯“唯有計數(shù)單位相同才能直接相加減”這一蘊含數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心知識。不僅如此，在對計算法則的統(tǒng)一理解中，孩子們又深刻地理解了“計數(shù)單位”的內(nèi)涵。這種數(shù)學(xué)內(nèi)部的對知識“無邊界”的拓展與深化，開闊了兒童的數(shù)學(xué)視界，通過集約整合有效地放大了“知識點”的輻射。對數(shù)學(xué)知識進行整體集約，要求數(shù)學(xué)教師要善于對數(shù)學(xué)知識進行歸類分析，將相同或相似的數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵節(jié)點展示、整合、透析出來。

3. 敞亮思想：優(yōu)化教學(xué)的整體效度

數(shù)學(xué)的思想與方法是貫穿數(shù)學(xué)知識之間內(nèi)隱的綿綿紅線，不同數(shù)學(xué)知識的問題解決往往蘊含著相同的數(shù)學(xué)思想。因此，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的靈魂，具有較強的凝聚力，它能有效地統(tǒng)攝知識，對數(shù)學(xué)問題解決具有綱舉目張的作用?！罢w教學(xué)”要求教師在教學(xué)中要自覺顯化數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)思想能夠為數(shù)學(xué)問題解決提供好的猜想、好的思路、好的問題解決方案。例如，數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化”思想可以說孕育在許多數(shù)學(xué)知識的形成過程之中，教學(xué)時筆者有意識地將其顯化。教學(xué)《梯形的面積》（蘇教版小數(shù)教材四年級下冊），在學(xué)生具備將平行四邊形面積轉(zhuǎn)化成長方形面積、三角形面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形面積的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗之后，筆者啟發(fā)學(xué)生主動運用轉(zhuǎn)化的策略。于是有學(xué)生將梯形旋轉(zhuǎn)、平移、拼接，轉(zhuǎn)化成平行四邊形，有學(xué)生將梯形沿著對角線分割成兩個三角形，并且主動尋找梯形的上下底、高與平行四邊形、三角形的底和高之間的關(guān)系。在學(xué)生掌握了梯形面積計算方法后，筆者將小學(xué)階段“直線圖形”的面積推導(dǎo)用“箭頭圖”進行整合，學(xué)生清晰地看到，在“直線圖形”中，長方形的面積是基礎(chǔ)，平行四邊形的面積推導(dǎo)建基于長方形，而三角形、梯形的面積建基于平行四邊形。如此，圖形面積之間的層次脈絡(luò)、內(nèi)在邏輯被清晰地展現(xiàn)出來，其推導(dǎo)的思想方法——“轉(zhuǎn)化”得以凸顯。不難看出，正是因為敞亮了數(shù)學(xué)的“轉(zhuǎn)化”思想，圖形面積教學(xué)的整體效度才得以優(yōu)化。

“整體教學(xué)”從皮亞杰、布魯納和奧蘇伯爾等教育心理學(xué)家的“學(xué)科知識結(jié)構(gòu)”思想、理論出發(fā)，通過對數(shù)學(xué)知識的重組、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的類化和數(shù)學(xué)思想的敞亮，讓學(xué)生主動遷移、積極建構(gòu)。學(xué)生獲得的知識不再是無意義的碎片，而是一個蘊含生活意義和生活圖景的有機體。由此，“整體教學(xué)”革新了學(xué)生的認(rèn)知方式、思維方式乃至行動方式。