嘗試運用v—t圖像破解運動學問題

陳文月

中圖分類號：G720 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）03-0002-03

在高中物理學習階段，面對茫茫“題?！敝星А邦}”百怪、令人茫然不知所措的難題，不少人也許會產(chǎn)生頓挫之感。僅就運動學模塊而言，這類問題也隨處可見。不過，一旦熟練掌握并能夠巧用v-t圖像，其中的一些問題將會柳暗花明、迎刃而解，似乎算不上什么難題。

一、用v-t圖像求解最大速度

例1. 一輛從車站始發(fā)的汽車，做勻加速運動，走了12s時，司機發(fā)現(xiàn)還有乘客沒上來，于是立即做勻減速運動至停車，總共歷時20s，行進了50m，求：（1）汽車的最大速度是多少？（2）開始減速前，該車已經(jīng)走過了多少路程？

此題只告訴了勻加速、勻減速的時間及最大的位移，但并沒有告知加速度的具體情況，顯然不能用Vt=Vo+at來簡單求證。但是，既然提供了“由車站始發(fā)”“勻加速”“勻減速”及最終“停車” 的“時間”“位移”等條件，我們就可以通過v-t圖像來加以解決，即：該汽車從“0”速度開始，在勻加速至12s時，達到其最大速度（Vm），然后作勻減速運動，至第20s時，其速度減至最低速度（0），而其速度變化圖像與t軸圍成的三角形面積（S），則是該車行進的距離（X），該三角形的頂點（h）即為該車的最大速度（Vm）。據(jù)此，繪出v-t圖如下：

這樣，就用簡潔、明了的方式求得：該汽車的最大速度達到每秒5米，減速之時已經(jīng)行駛了30米。

二、通過v-t圖像比較時間長短

例2. 如圖2所示，ABC和DE是兩個高度相等的光滑斜面，ABC由傾角不同的兩部分組成，且AB+BC=DE，兩個相同的小球a、b分別從A點和D點沿兩斜面由靜止同時滑下，不計轉折處的能量損失，則滑到底部的先后次序是（ ）。

A.a球先到 B.b球先到

C.兩球同時到達 D.無法判斷

判斷此題，切不可憑感覺用事。從題中所給的條件可知，兩球質量相等，所處高度也相等，由此可直接得出的第一個推論是：兩球的重力勢能相等。而既然兩球的重力勢能相等，那么，按照機械能守恒定律，兩球在滑到底部時，所做功相等，各自的動能也相等。于兩球質量相同，所以，可以得到的第二個推論是：兩球在滑動到底部時的末速度（Vt）也就相等。另外，既然AB+BC=DE，所以，兩球在下滑過程中的位移相同。當然，兩球都是從靜止狀態(tài)釋放的，所以，各自的初速度均為Vo=0。明確了以上幾點，就可以畫出兩球運動的如下v-t圖像：

此v-t圖像根據(jù)題意（大致）表明，一開始（即AB段時），a球的加速度（即直線斜率）大于b，但到后來（即BC段時），其加速度（直線斜率）小于b；同時，既然根據(jù)題意，AB+BC=DE，那么，圖像oat1所圍的面積要和obt2所圍的面積相等。從滿足這兩個條件的v-t圖像中不難直觀看出，a球下降所用的時間（t1）必然要比b球所用的時間（t2）短，故，答案為A，a球先到。

三、運用v-t圖像判斷運動方式

例3.由甲地從靜止出發(fā)，沿平直公路駛向乙地的一輛汽車，先以加速度a1做勻加速運動，最后以加速度a2做勻減速運動，中間可能有一段勻速運動過程，也可能沒有勻速運動過程，到乙地恰好停下。已知甲、乙兩地相距為s。試問：要使汽車從甲地到乙地所用的時間最短，汽車應做怎樣的運動？

此題提供的信息要點有二：1.不論汽車采用什么樣的運動方式，甲乙兩地的距離是個定值，即汽車的位移為S；2.汽車的初速度和末速度均為0，而且不論采用什么運動方式，其最初和最后兩段距離的運動方式均有加速度，只不過最初為勻加速（a1），最后為勻減速（a2），兩者也不變。因此，可以直接按照滿足此條件的如下v-t圖像對各種運動方式進行比較，看哪一種運動方式所用時間最短。時間最短者即為應當采用的運動方式。

如圖4所示，設OABC所圍成的圖像表示甲乙兩地的距離S，根據(jù)題意，不論是采用先加速接著馬上減速的運動方式（如OA1線段與A1C1線段所示運動軌跡），還是先加速，然后勻速，接著再減速的運動方式（如OA2、A2B2與B2C2線段所示運動軌跡），△OA1C1的面積、梯形OA2B2C2 的面積，必須與梯形OABC的面積相等，而且，既然各種運動方式最初的加速度（a1）和最后的加速度（a2）均保持不變，這就意味著A1C1線段、B2C2線段均與BC線段保持平衡（斜率不變）。由此可以直觀的看出，采用“先加速接著馬上減速”的運動方式所用時間（t1）比先“加速然后勻速接著再減速”的運動方式所用時間（t2）要短，應當采用前者。

四、借助v-t圖像計算上升高度

例4. 一質量為m = 40kg的小孩在電梯內的體重計上，電梯從t=0時刻由靜止開始上升，在0到6s內，體重計示數(shù)F的變化如圖5所示。

試問：在這段時間內電梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/s2。

解答此題，首先應當明確的是，小孩的重力mg=400=400N；當其乘坐電梯上升時，如果電梯的上升是勻速的，體重計的示數(shù)就保持不變，應為400N。但當電梯加速時，由于超重，體重計的示數(shù)會顯示高于400N，相反，當減速時，體重計的示數(shù)則會顯示低于400N，而且，只要是進行勻加速或勻減速，該增加或減少的數(shù)值也會保持恒定。據(jù)此觀察體重計示數(shù)F的變化圖可知，第一，在最初的2s內，電梯是由靜止開始進行勻加速上升的（示數(shù)計讀數(shù)高于400N而且恒定）；第二，在隨后的第2至第5s內，電梯是勻速上升的（示數(shù)讀數(shù)等于400N）；第三，在最后1s內（第6秒內），電梯開始進行勻減速（上升）直到停止（即電梯上升的最高點）。

問題是，電梯及小孩上升的加速度（a1）、勻速上升的速度（vt）以及勻減速時的加速度（a2）究竟是多少呢？

根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)合=ma1，即，440-400=401，由此得知，電梯勻加速上升的加速度a1=1m/s2。同理，電梯勻減速上升時，320-400=40€譨2，故，勻減速上升時的加速度a2= -2m/s2。根據(jù)Vt=Vo+at可知，在電梯上升的第2至第5s內，其勻速上升的速度（即第2s末的速度）Vt=0+（1）=2m/s。

將上述結論轉換為電梯及小孩的v-t運動圖像，則有下圖6：

五、小結

綜上可見，用v-t圖像求解運動學模塊的有關問題，有時可以簡化解題的過程，化繁為簡，具有直觀、形象、簡明的特點。其實質是把復雜的物理量之間的代數(shù)關系轉化為幾何關系，核心是通過速度圖線與時間t軸圍成的面積來加以比較、計算或分析。因此，運用這一方法，首先應當認真審題，切不可遺漏條件。除了要注意把握題目明確給定的條件（如時間、質量、位移、長度，初速度、末速度狀態(tài)）外，還要仔細發(fā)掘題目中隱含的問題。比如，例4中的加速度a1、a2及勻速上升的速度，例2中a、b兩球的末速度等。其次，在將物理量轉化為V-t圖像時，必須時刻牢記，該圖像圍成的幾何面積實際上表示的只是運動學上的位移或者距離，必須對幾何學中的基本公式、定理（如三角形的面積、梯形的面積公式計算等）熟爛于胸。再次，在v-t圖轉化中，尤其要注意速度線段的曲與直、傾斜度、等高線、起始點。只有勻速或勻加速運動才能轉化為直線，只有在具有加速度的運動中，該直線才有斜率，而且加速度越大，斜率越大。而v-t圖像中的等高線，則意味著速度相等，當然，速度線段與t軸相交的地方，也意味著速度相等（0）。最后，v-t圖像的運用和物理學的相關內容緊密相關，如果物理學的基礎不扎實，就勢必嚴重影響到v-t圖像法在運動學問題上的科學運用。比如，如果對動能定理、機械能守恒定理認識模糊，就不可能對例2問題進行v-t圖的準確轉化；如果對牛頓第二定律沒有真正領會，就不可能對例4問題的加速度用精準的斜線進行表示。