以《鴿巢問題》為例淺談教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

陳塵

摘 要：《鴿巢問題》是人教版六年級“數(shù)學(xué)廣角”中的一個內(nèi)容，筆者主張通過各種各樣的活動操作，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷鴿巢問題的數(shù)學(xué)建模和證明過程，并由此引申出類似的題目，滲透推理思想、模型思想等。

關(guān)鍵詞：鴿巢問題；小學(xué)數(shù)學(xué)；推理思想；模型思想

數(shù)學(xué)思想方法能指明教師的教學(xué)方向，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和整體素養(yǎng)。下面筆者就以人教版六年級下冊第五單元數(shù)學(xué)廣角《鴿巢問題》為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中如何進行數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

通過教材分析，我們發(fā)現(xiàn)《鴿巢問題》主要蘊含推理思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合、列舉法、假設(shè)法、反證法、分類等數(shù)學(xué)思想方法。因此，筆者把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為：（1）通過各種數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模和初步的數(shù)學(xué)證明的過程，能初步運用抽屜原理解決相關(guān)的實際問題或解釋相關(guān)的現(xiàn)象；（2）在探究鴿巢問題的過程中，滲透邏輯推理、模型和數(shù)形結(jié)合等思想，進一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象、推理和應(yīng)用能力；（3）使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系。為此，筆者設(shè)計了以下教學(xué)過程：

一、激趣引入，揭示課題

1. 撲克牌魔術(shù)

教師出示一副撲克牌，取出大小王，讓學(xué)生隨意抽取五張，教師總能猜出：不管怎么抽，至少有兩張牌是一樣花色的。

先讓學(xué)生說說對“至少”的理解，然后驗證結(jié)論的正確性。

2. 揭示課題

今天我們就要從這個魔術(shù)里學(xué)到一個非常重要的數(shù)學(xué)原理——抽屜原理。

【設(shè)計意圖】 對于“總有、至少”的理解是鴿巢問題教學(xué)的重難點。為分散和突破這個難點，筆者利用撲克牌魔術(shù)引入課題，目的是借助學(xué)生感興趣的情境，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，初步理解“至少”。

二、經(jīng)歷過程，構(gòu)建模型

（一）研究“4個小球任意放進3個抽屜”存在的現(xiàn)象

1. 出示結(jié)論

4個小球放進3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里面至少放2個小球。

2. 驗證結(jié)論的正確性

請同學(xué)們自己用圖畫表示題意，看有幾種不同的放法。

3. 全班交流

通過橫向和縱向比較，引導(dǎo)學(xué)生找到每種放法中放得最多的抽屜，然后從最多數(shù)里找最少數(shù)，從而證明“不管怎么放，總有一個抽屜里至少放2個小球”這個結(jié)論是正確的。

（二）研究“5個小球任意放進4個抽屜”存在的現(xiàn)象，找到求至少數(shù)的簡便方法

1. 猜測

根據(jù)剛才的經(jīng)驗猜一猜：把5個小球放進4個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜至少放幾個小球？

2. 驗證

以同桌為單位共同研究：先畫出不一樣的放法，然后觀察分析每種放法，看哪種推測是正確的。

3. 全班交流

小結(jié)：剛才我們研究“4個小球放3個抽屜，5個小球放4個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜至少放2個小球”時，都采取了列舉、反證的方法，列舉法是研究問題的一種基本方法。

4. 尋找求至少數(shù)的簡便方法

提出問題：有100粒紐扣要放進30個抽屜里，如果再用列舉法，你覺得怎么樣？

指導(dǎo)學(xué)生分析4個小球放3個抽屜、5個小球放4個抽屜的所有放法，引出平均分。課件演示：把4個小球放進3個抽屜里，假設(shè)每個抽屜均勻地放一個，還余下一個，這一個任意放進一個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放2個小球。這就是假設(shè)法，它蘊含了平均分的思想。

讓學(xué)生用算式表示平均分的過程：4÷3=1……1，1+1=2；5÷4=1……1，1+1=2。

小結(jié)：列舉法固然很直觀，但當(dāng)數(shù)據(jù)比較大的時候就很煩瑣，所以我們可以假設(shè)每個抽屜放一個，余下的任意放進一個抽屜里，這樣就能很快找到至少數(shù)。我們再用除法算式表示出平均分的過程。

（三）概括規(guī)律，構(gòu)建模型

引導(dǎo)學(xué)生完成下面表格：

重點講解7個小球放進5個抽屜里，總有一個抽屜里至少放2個小球，使學(xué)生明白：先把小球平均分，然后把余下的小球再平均分，從而找到最少數(shù)，這是解決此類問題的關(guān)鍵。

完成表格中的填數(shù)，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生動腦筋思考：一直到什么時候至少數(shù)都是3？什么時候變成4？什么時候變成5？

追問：這里面是不是有什么規(guī)律？剛才至少數(shù)都是怎么求出來的？

小結(jié)：把小球放進抽屜，要是平均分后有剩余，那么總有一個抽屜里至少放“商加1”個小球；如果正好分完，那么至少數(shù)就等于商。

同時說明：19世紀德國數(shù)學(xué)家狄里克雷最早提出抽屜原理，又叫作狄里克雷原理。

【設(shè)計意圖】為了讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)時筆者從結(jié)論入手，借助畫草圖的直觀方式，觀察分析出最多中的最少，使學(xué)生從本質(zhì)上理解“不管怎么放，總有一個抽屜里至少有2個小球”這句話。但當(dāng)數(shù)據(jù)較大時，再用列舉法就顯得麻煩。接著筆者對各種放法進行對比，把學(xué)生的思維引到平均分上，很自然地引出假設(shè)法：先平均分總數(shù)，再平均分余數(shù)，為后面構(gòu)建抽屜原理模型做好鋪墊。最后通過把6-11個小球分別放進5個抽屜里的系列練習(xí)，進一步引導(dǎo)學(xué)生熟悉用假設(shè)法來分析問題的思路，總結(jié)出“把小球放進抽屜，如果平均分后有剩余，那么總有一個抽屜里至少放‘商加1個小球；如果正好分完，那么至少數(shù)就等于商”的數(shù)學(xué)模型，提升對抽屜原理的理解水平。

三、運用模型，解釋應(yīng)用

1. 鴿巢問題

出示鴿巢問題，讓學(xué)生解釋，并說說這里的鴿子和鴿巢各相當(dāng)于什么。

教師說明：抽屜原理也被人們形象地稱為鴿巢原理。

2. 找身邊的抽屜原理

例如文具盒原理、口袋原理等。

教師指出：抽屜原理在生活中隨處可見，它不僅僅局限于把物體放進抽屜、把鉛筆放進文具盒里，它還可以研究把一些數(shù)放進集合中。由于人們常常借助鴿子和鴿巢來研究，所以，此類問題統(tǒng)稱為鴿巢問題。在解決鴿巢問題時，關(guān)鍵要看清什么是抽屜，什么是待分的物體。

3. 解釋應(yīng)用

（1）用抽屜原理解釋撲克牌魔術(shù)。

（2）用抽屜原理解釋：在座的28位同學(xué)中至少有3人在同一個月里出生。為什么？

4. 用抽屜原理批駁算命

5. 出示我國古代對抽屜原理的記錄

通過史料，使學(xué)生感受到：研究問題時不但要擅長發(fā)現(xiàn)，還要擅長總結(jié)。

【設(shè)計意圖】 模型思想的培養(yǎng)不僅要重視模型構(gòu)建的過程，更要重視如何應(yīng)用模型來解決問題。因此，在學(xué)生理解了抽屜原理后，筆者引導(dǎo)學(xué)生運用抽屜原理來解釋鴿籠原理、文具盒原理、口袋原理、撲克牌魔術(shù)、出生月份問題等，使學(xué)生會對一些簡單的實際問題加以模型化，進一步滲透了模型思想，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

四、課堂小結(jié)，課外延伸

1. 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷初步的數(shù)學(xué)證明的過程

抽屜原理非常抽象，因此筆者順應(yīng)學(xué)生的認知特點，首先從結(jié)論入手，讓學(xué)生通過畫草圖找到所有方法，然后進行分析，從而證明結(jié)論的正確性。這就是數(shù)學(xué)證明的雛形，不僅有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，還為初中的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。接著提出探究性的問題，尋找用假設(shè)法求至少數(shù)的簡便方法，最后引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出抽屜原理。這樣層層遞進的教學(xué)模式，不僅促進了學(xué)生對知識的建構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生的推理和抽象思維能力，還幫助學(xué)生積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，實現(xiàn)了真正意義上的有效學(xué)習(xí)。

2. 有意識地進行數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂和精髓，本節(jié)課主要滲透了以下思想方法：

（1）模型思想的滲透。本課教學(xué)以“問題情境——建立模型——應(yīng)用與拓展”模式展開，從抽屜原理到鴿巢原理、文具盒原理、口袋原理以及解決28位同學(xué)出生時間等問題，筆者都有意識地引導(dǎo)學(xué)生將具體問題和抽屜原理的一般化模型聯(lián)系起來，找出“待分的物體”和“抽屜”，這個過程實際上是一個建模的過程。

（2）邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、列舉法、假設(shè)法、反證法、分類等數(shù)學(xué)思想方法也在本節(jié)課中進行了滲透。

3. 創(chuàng)造性地使用了教材

首先，筆者對教材中的例題進行了整合，例1是通過4支鉛筆放進3個筆筒中的操作，介紹了抽屜原理最基本的形式；例2提供了把7本書放進3個抽屜的情境，介紹了另一種形式的抽屜問題。

其次，從學(xué)生身邊熟悉的事物入手，調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，如文具盒原理、口袋原理、生日問題等，不僅激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣，促進了對知識的理解，也使學(xué)生感受到抽屜原理在生活中的應(yīng)用。

三是補充有關(guān)資料。如批駁算命以及抽屜原理的古代記錄等，不僅拓寬了學(xué)生的視野，還引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會辯證地看待問題。