在“度”與“悟”中把握數(shù)學(xué)教與學(xué)的真諦

戴厚祥

摘 要：數(shù)學(xué)教育的真諦究竟是什么，盡管有些文章從不同側(cè)面給予了回答，但都沒有切中要害，只在問題表面轉(zhuǎn)圈。經(jīng)過多年實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)“度”與“悟”才是數(shù)學(xué)教與學(xué)的關(guān)鍵所在。本文著重闡釋為什么要在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的悟性、怎樣培養(yǎng)學(xué)生的悟性。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)在教與學(xué)上究竟應(yīng)怎樣把握好度？作者圍繞五個(gè)方面并結(jié)合相關(guān)案例進(jìn)行敘述，即扶放有度、開合有度、動(dòng)靜有度、進(jìn)退有度、學(xué)練有度。在把握度的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)兒童領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，最終達(dá)到融會(huì)貫通的境界。

關(guān)鍵詞：度；悟性；兒童；整體

教育界專家常說，教之道在于度，學(xué)之道在于悟。所謂悟，其實(shí)就是感知能力，也就是憑借原有知識(shí)和生活積累感知事物，領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，即創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)過程，悟性越高，其視野越開闊，思維越靈活，方法越巧妙，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就越高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力也就越強(qiáng)。悟是學(xué)習(xí)方法，是獨(dú)立思考；悟是學(xué)習(xí)品質(zhì)，是感受體驗(yàn)；悟是解惑排疑，是開拓創(chuàng)新。因此，學(xué)生要想牢固地掌握數(shù)學(xué)，就必須用內(nèi)心的創(chuàng)造和體驗(yàn)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。悟比懂、會(huì)要高出一重境界，即對所學(xué)知識(shí)要悟出道理來，對所訓(xùn)練的方法悟出規(guī)律來，并從本質(zhì)上加以理解，進(jìn)行把握和駕馭。在數(shù)學(xué)教學(xué)中總能發(fā)現(xiàn)這樣一些學(xué)生，不論教師如何揭示數(shù)學(xué)的概念和方法，對他們總是產(chǎn)生不了認(rèn)同感和共鳴，即這些學(xué)生的數(shù)學(xué)悟性弱。反之，數(shù)學(xué)悟性強(qiáng)的學(xué)生，數(shù)學(xué)在他們看來都是那么的順理成章，數(shù)學(xué)定義、定理都能達(dá)到“印在腦海里、融化在血液中、落實(shí)在應(yīng)用上”的境界。數(shù)學(xué)概念和方法在悟性的作用下以“濃縮、提煉”的結(jié)構(gòu)化形式貯存于人腦之中，并做到排列有序、結(jié)構(gòu)完美，這不僅可以大大增加人腦的“庫容”，而且十分有利于內(nèi)化舊知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，提取、運(yùn)用也非常方便，甚至還可以做到無論面對什么樣的問題，相應(yīng)的知識(shí)塊根本不需要檢索都能“自告奮勇”地挺身而出。即使遇到情境陌生的問題，也能產(chǎn)生頓悟，想出巧妙點(diǎn)子，順利解決問題。

一、教師在數(shù)學(xué)課堂培育兒童悟性上要做到悟而有境、悟而有助、悟而有思、悟而有道

1. 悟而有境。

培養(yǎng)學(xué)生悟性，首先得使學(xué)生入境。“教者胸有境，入境始與親”，教學(xué)時(shí)可根據(jù)所教內(nèi)容特點(diǎn)，采用不同的方式，把學(xué)生不知不覺地帶入教學(xué)內(nèi)容的情景中來，把枯燥而艱深的數(shù)學(xué)內(nèi)容描繪得有情趣，讓學(xué)生一同參與到知識(shí)的發(fā)生形成、發(fā)展、運(yùn)用過程中來。

【案例1】 筆者在教學(xué)蘇教國標(biāo)版六年級(jí)上冊《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，在課的結(jié)尾處設(shè)計(jì)了這樣一道“走進(jìn)生活”的習(xí)題。

（1）繽紛十一，魅力新百。購物滿100元送20元。

（2）浪漫中央，激情回饋，購物滿200元送40元。

如果你和媽媽國慶節(jié)一起去新百、中央商場購物，你會(huì)選擇哪個(gè)商場呢？

生1：我會(huì)選擇去中央商場購物，因?yàn)樗鼭M200送40元，返還率是20%。

（師評：這位同學(xué)能把這道題和今天學(xué)習(xí)的百分率聯(lián)系起來，真好！他還發(fā)明了一個(gè)新詞，板書：返還率）

生2：（全班舉手，爭著發(fā)言）選擇哪個(gè)商場都一樣，因?yàn)閮蓚€(gè)商場的返還率都是20%。

（師評：理解得很好，那同學(xué)們能否從現(xiàn)實(shí)角度再考慮一下呢？）

生3：我會(huì)選擇去新百商場，因?yàn)榉颠€率雖然都是20%，但我如果買了300元的商品，在中央商場就只能返還40元，而在新百商場可以返還60元，你們說，去哪個(gè)商場劃算呢。

經(jīng)第三位發(fā)言的同學(xué)一說，大家豁然開朗，悟出了其中的道理，悟出了返還率在理論上雖然一樣，但在現(xiàn)實(shí)生活中，返還的錢數(shù)還是有區(qū)別的。教師在關(guān)鍵處的一句點(diǎn)拔，讓問題情境更富有挑戰(zhàn)性，自然地逼近了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

2. 悟而有思。

這里的思，指的是反思，反思是指在一定的問題情境下，以審視或批判的態(tài)度，對呈現(xiàn)在自己面前的任何思想觀念進(jìn)行的積極主動(dòng)、堅(jiān)持不懈和細(xì)致縝密的探究性思維活動(dòng)。

反思，也可以理解成回頭看，是“思考的思考”，是建立在自己或他人實(shí)踐和思考基礎(chǔ)上的“再思考”，它可以促進(jìn)積累經(jīng)驗(yàn)，升華認(rèn)識(shí)，陶冶精神和生發(fā)智慧。培養(yǎng)悟性，是個(gè)體心智發(fā)展的必由之路和成熟的真正標(biāo)志。

【案例2】 “為什么不提另外兩個(gè)問題”。

（在引導(dǎo)學(xué)生解決了上述兩個(gè)問題后，順勢引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)反思）

師：剛剛我們解決了“小軍最多拍了多少下？既然題目提到最多，那么相對應(yīng)的就應(yīng)該是最少，誰能用“最少”提出另外一個(gè)問題？

生：小軍最少拍多少下？

生：我認(rèn)為小軍最少拍0下。

生：我認(rèn)為小軍既然參加了拍球活動(dòng)，起碼也要拍1個(gè)，不可能一個(gè)都沒拍。因此，我認(rèn)為是1個(gè)。

生：我認(rèn)為這個(gè)問題沒意思，因?yàn)樗≤娕牧硕嗌傧聸]有多大關(guān)系。

師：分析得很好，再想想，與小強(qiáng)最少拍了多少下相對的問題是什么？

生：小強(qiáng)最多拍多少下？

師：那書上為什么不出這個(gè)問題讓我們思考？

生：因?yàn)樾?qiáng)的個(gè)數(shù)比20多，最多應(yīng)該沒有答案，是無數(shù)個(gè)。

生：小強(qiáng)拍球的個(gè)數(shù)應(yīng)該有一定范圍，不可能無窮大，但到底是多少，我也說不清。

師：因?yàn)檫@兩個(gè)問題無意義，所以書上沒有提出來讓我們思考。

3. 在沖突中悟。

認(rèn)知沖突可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，從而促使學(xué)生更深入地參與課程活動(dòng)。當(dāng)學(xué)生處于認(rèn)知沖突狀態(tài)時(shí)，意味著他所知覺的事物和現(xiàn)象超出他的理解，與其預(yù)期之間存在差異，這會(huì)促使學(xué)生嘗試把新經(jīng)驗(yàn)同化到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，或者改變已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)以整合新經(jīng)驗(yàn)，回歸認(rèn)知平衡，在這一過程中可提升兒童的悟性。

【案例3】 在“面積和面積單位”的教學(xué)中，教師首先出示大小不同的兩組圖形（如圖1）：楊樹葉（大）和銀杏樹葉（小），手絹（大）和方巾（?。?，問學(xué)生哪個(gè)大哪個(gè)小。

圖1

學(xué)生通過直接觀察很容易做出正確的判斷。教師又出示一張正方形紙和長方形紙，要求學(xué)生判斷其面積大小。由于通過直接觀察難以準(zhǔn)確判斷兩者大小，學(xué)生的回答出現(xiàn)了三種答案，出現(xiàn)認(rèn)知沖突，于是教師請學(xué)生利用桌上兩種形狀的紙來研究新的比較方法。探究的結(jié)果，學(xué)生采用兩張先重疊，再割補(bǔ)，最后比較的方法，得出正方形紙大于長方形紙的結(jié)論。教師在后面繼續(xù)提出挑戰(zhàn)，在實(shí)物投影上出示了書上的一對正方形和長方形。因?yàn)閳D形在書上，無法直接裁剪割補(bǔ)，原來有效的方法又不適用了，再次引發(fā)認(rèn)知沖突。學(xué)生帶著疑問又一次投入探索，最后巧妙地使用把圖形放入單位面積的小方格圖中，通過數(shù)方格的數(shù)量比較兩者面積大小的方法。整個(gè)教學(xué)活動(dòng)通過兩次認(rèn)知沖突的設(shè)置，不但使學(xué)生探索出多種比較面積大小的方法，而且學(xué)生在活動(dòng)過程中自然地領(lǐng)悟到了比較面積大小方法的由來。

■二、在教學(xué)實(shí)施上把握一個(gè)“度”

“度”是指一定事物保持自己質(zhì)的數(shù)量界限，在這個(gè)界限內(nèi)，量的增減不改變事物的質(zhì)，超出界限，就要引起質(zhì)變。要在“度”的基礎(chǔ)上放手讓兒童去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)的真諦。

孔子說“執(zhí)其兩端，而用其中于民”，朱熹注“凡物皆有兩端，如大小厚薄之類。于善之中，又執(zhí)其兩端，而度量以取中，然后用之”。什么是中？朱熹從方法論上解釋為“中者不偏不倚，無過不及之名”。這里的中，是一種追求，落實(shí)到具體實(shí)踐中也就是教師放手的“度”。

1. 教學(xué)過程要主動(dòng)引導(dǎo)，相機(jī)點(diǎn)撥，提升學(xué)習(xí)力，但不能一味包辦代替，要做到扶放有度、施之以法。

數(shù)學(xué)教學(xué)重在暴露思維過程，指導(dǎo)思維方法，扶放結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地參與教學(xué)過程，使學(xué)生在獲取教學(xué)意識(shí)的同時(shí)掌握思維方法，培養(yǎng)學(xué)生悟性。長期以來，課堂教學(xué)中對于新知的處理，教師包辦過多，學(xué)生的個(gè)性在課堂上得不到有效的舒展?！耙詫W(xué)定教”理念下的數(shù)學(xué)課堂迫切地呼喚“放手來教”。

現(xiàn)階段，一些教師嘗試后發(fā)現(xiàn)“把話筒拿給學(xué)生后，想拿回來不容易”；一些教師沒有嘗試，也許是心中疑惑，也許是想觀望學(xué)習(xí)；還有一些教師不愿嘗試，一直以來自己都是課堂的掌控者，放開給學(xué)生還不像“鴨子堂”，本來十幾分鐘能解決的事情，現(xiàn)在花幾十分鐘也解決不完，這樣的課堂還有什么效率可言？

在大膽放手實(shí)踐中，如果教師能解決好這種教學(xué)形式帶來的下面幾個(gè)問題，那就是“怎樣放手”的問題。其一，應(yīng)當(dāng)什么時(shí)機(jī)放。是每個(gè)環(huán)節(jié)都放手，還是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)要放手，是在課的伊始放手，還是適當(dāng)引導(dǎo)后再放手？其二，放到什么程度。全課都放手給學(xué)生學(xué)習(xí)，還是放手討論到某一個(gè)環(huán)節(jié)為止？放手學(xué)生各抒己見哪怕離題千里，還是就這一點(diǎn)問題放手？其三，以什么形式來放手？是語言引導(dǎo)放手讓學(xué)生討論，還是組織學(xué)生動(dòng)手操作？

有放手就有收手，那隨之而來又會(huì)產(chǎn)生什么時(shí)機(jī)收手？以什么形式收？收到什么程度？

（1）扶。在教學(xué)能被“2”整除的數(shù)的特征時(shí)，我們讓學(xué)生參與探學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一次不完全歸納的歷程。

在做了復(fù)習(xí)鋪墊后，教師提示引導(dǎo)，要研究能被2整除的數(shù)的特征，必須找出這些數(shù)字進(jìn)行觀察思考，繼而歸納出這些數(shù)的特征（暗示不完全歸納法的具體做法）。接著師生共同找出2的倍數(shù)（如圖3），因?yàn)?的倍數(shù)是無限的，所以只要代表性地找出一部分（不完全歸納），同時(shí)點(diǎn)上省略號(hào)，最后組織學(xué)生觀察、思考，并討論、交流。對基礎(chǔ)較差的學(xué)生，做了適當(dāng)點(diǎn)撥。這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字有何特征？想一想，20以下是什么數(shù)？學(xué)生一般都能發(fā)現(xiàn)能被“2”整除的數(shù)的特征。

（2）放。學(xué)生有了找能被2整除的數(shù)的特征的經(jīng)驗(yàn)，可以用類比的方法去找能被“5”整除的數(shù)的特征。

實(shí)際教學(xué)時(shí)，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下能被2整除的數(shù)的特征方法。引導(dǎo)學(xué)生說出“先代表性地找出能被2整除的數(shù)，接著觀察、思考并歸納出這些數(shù)的特征”這一操作方法。然后放手讓學(xué)生找能被5整除的數(shù)的特征。結(jié)果學(xué)生情緒高漲，積極主動(dòng)地完成了探究任務(wù)。

在課堂小結(jié)時(shí)，讓學(xué)生回味體驗(yàn)“你是怎樣找到能被5整除的數(shù)的特征的？能被5整除的數(shù)的特征是什么？”培養(yǎng)學(xué)生的說理能力，又讓學(xué)生再去體驗(yàn)不完全歸納法?！胺觥笔紫润w現(xiàn)在教師要根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)體系、學(xué)生智能的發(fā)展水平，制訂好學(xué)生的學(xué)習(xí)預(yù)案。只有科學(xué)地制訂預(yù)案，才有可能放手讓學(xué)生探究。首先，“扶”要扶得精準(zhǔn)，要把力氣使在關(guān)節(jié)點(diǎn)上，幫助學(xué)生打開思路，指點(diǎn)門徑，提示要領(lǐng)，掌握方法，促使學(xué)生自己去探索，去思考，從而獲取新知識(shí)。其次，“放”要放得合理，教師要選擇適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)探究?！胺拧辈⒉皇欠湃巫粤?，教師什么都不管，而是教師起到引導(dǎo)、調(diào)控的作用，要給學(xué)生指明探究的方向，給學(xué)生提出明確的探究要求，給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和幫助，還要對學(xué)習(xí)的結(jié)果及時(shí)評價(jià)和反饋。教師更要了解學(xué)生實(shí)際，注意學(xué)生的個(gè)體差異，盡可能使“扶”與“放”更有層次，讓每一個(gè)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上得到充分的發(fā)展。

2. 教學(xué)設(shè)計(jì)要做到收放自如、開合有度，開合有度的課堂能讓學(xué)生的思維之流找到理想歸宿。

教師在對一節(jié)數(shù)學(xué)課進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，要有一個(gè)整體的架構(gòu)，哪些環(huán)節(jié)需要放手讓學(xué)生探究、體驗(yàn)，哪些環(huán)節(jié)需要教師設(shè)計(jì)問題精心點(diǎn)撥。教師在上課時(shí)要做到心中有數(shù)，預(yù)設(shè)到位，這樣才能真正做到“開合有度、收放自如”。

【案例4】 筆者在揚(yáng)州梅嶺小學(xué)公開教學(xué)《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》這節(jié)課時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)就顯得較為開放，讓老樹發(fā)出了新芽。

（1）教師給每個(gè)小組準(zhǔn)備了一些學(xué)習(xí)材料（有的小組提供的是一張正方形小紙，有的小組提供的是幾個(gè)同樣大小的圖片，有的小組提供的是一根數(shù)軸）。

（2）出示研究報(bào)告單（如圖4）：通過折一折，比一比，分一分，找出一組相等的分?jǐn)?shù)，然后把研究報(bào)告單填寫完整。

所謂“度”，是事物發(fā)展的關(guān)節(jié)點(diǎn)，是矛盾運(yùn)動(dòng)中對應(yīng)關(guān)系的相對平衡與和諧共處?！岸取币彩墙虒W(xué)最優(yōu)化的具體體現(xiàn)，教學(xué)設(shè)計(jì)中的“度”來自于知識(shí)的復(fù)雜程度與學(xué)生的心理特點(diǎn)的交互作用，而課堂教學(xué)運(yùn)行過程中的“度”則來自于教師對教學(xué)現(xiàn)場即時(shí)智慧地把握。

3. 教學(xué)氛圍動(dòng)靜有度，慎防炸開鍋和表面上、形式上的“熱鬧”，在課堂的節(jié)奏把握上要緩急適中、張弛有度。

課堂教學(xué)中動(dòng)和靜的處理要講究合理、適度。動(dòng)和靜在教學(xué)形式上不是一半靜、一半動(dòng)。教學(xué)中，雖然強(qiáng)調(diào)表面的動(dòng)，但并不反對表面的靜，它排斥的是那種表面和實(shí)質(zhì)都是靜，靜得令人窒息，沒有任何思維波瀾，沒有任何認(rèn)知矛盾，而課堂教學(xué)中表面的靜，其實(shí)質(zhì)是思維在動(dòng)，這種靜顯得尤為重要。

課堂教學(xué)中的動(dòng)是有層次之分的，蹦蹦跳跳、涂涂畫畫、敲敲打打之類的動(dòng)是淺層次的；師生問答、交流討論、即興表達(dá)之類的動(dòng)是中層次的；心潮澎湃、思如泉涌、深刻表達(dá)這類能夠激發(fā)心靈震顫的動(dòng)才是高層次的，不同年齡階段、不同教學(xué)內(nèi)容，需要有相關(guān)層次的動(dòng)作為共同的主導(dǎo)形式?，F(xiàn)代課堂教學(xué)的參與要做到動(dòng)作參與和心靈參與的和諧結(jié)合，即要做到靜中有動(dòng)，動(dòng)中有靜；靜而不亂，靜而不滯；動(dòng)靜交替， 有張有弛。

4. 教師的教學(xué)要進(jìn)退有度，從某種意義上說，退是進(jìn)的準(zhǔn)備和基礎(chǔ)，進(jìn)是退的發(fā)展和提升，在課堂上，“進(jìn)”“退”之間體現(xiàn)的是一種行云流水般的從容節(jié)奏，是一種水乳交融般的狀態(tài)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要善于退，首先要退到學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓生活成為課堂學(xué)習(xí)發(fā)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，讓學(xué)生對所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生親切感，讓學(xué)生感到生活與知識(shí)的密切聯(lián)系；其次退到學(xué)生的已有舊知，可通過適度的復(fù)習(xí)與再現(xiàn)，激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)舊知，尋找新知學(xué)習(xí)發(fā)生的“生長點(diǎn)”；再次退到學(xué)生的思維起點(diǎn)，對于不同年級(jí)的學(xué)生，教師應(yīng)根據(jù)其年齡特征尋找合宜的思維方式，對于低年級(jí)學(xué)生，可以多一些操作和活動(dòng)，以引發(fā)動(dòng)作性思維，對于中年級(jí)學(xué)生，可以充分利用表象的作用，不斷引發(fā)形象性思維；對于高年級(jí)學(xué)生，可以引導(dǎo)他們歸納和概括，逐步發(fā)展抽象性思維。小學(xué)生思維發(fā)展的源頭是動(dòng)作與形象，據(jù)此展開的活動(dòng)才能順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。如何在課堂上敢于進(jìn)？首先，要想方設(shè)法促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，單一的知識(shí)，猶如散落的珠寶，而結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，才能串成美麗的珍珠項(xiàng)鏈，在形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程中產(chǎn)生新知，發(fā)展能力，提升素養(yǎng)。其次，要促進(jìn)學(xué)生對實(shí)際應(yīng)用技能的掌握，學(xué)以致用才會(huì)使知識(shí)變得有血有肉、富有生氣，而不是只有骨骼的X光片。只有這樣，才能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值。再次，要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升，通過知識(shí)技能獲得數(shù)學(xué)思想方法，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，通過關(guān)鍵能力形成核心素養(yǎng)。

5. 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要探索新知，更要夯實(shí)“四基”，做到學(xué)練有度、步步深入。

學(xué)是練的前提，練習(xí)又是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的途徑，是下一層次學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)。學(xué)和練的適度把握，直接影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力。從心理角度來說，教師連續(xù)講解或者學(xué)生單純探索的時(shí)間過長，給予學(xué)生的只是單調(diào)的刺激，容易使學(xué)生的大腦皮層產(chǎn)生抑制，使學(xué)生疲勞，注意力難以維持，思維能力也隨之降低。而在學(xué)練結(jié)合的學(xué)習(xí)狀態(tài)中，多層次的學(xué)習(xí)和多元化的練習(xí)，能引起和保持學(xué)生的注意力，有利于提高教學(xué)效益。同時(shí)，學(xué)練必須前后連貫、環(huán)環(huán)相扣、穿插進(jìn)行，形成一個(gè)結(jié)構(gòu)嚴(yán)密、緊湊、和諧、完美的整體。

當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生的悟性不是一朝一夕的事，它需要我們長期堅(jiān)持，尤其要注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和直覺思維，用心設(shè)計(jì)好每一節(jié)課，落實(shí)到教學(xué)的一些重要環(huán)節(jié)中，在把握度的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生來感悟、體悟，最終達(dá)到融會(huì)貫通的境界。