從教學(xué)出發(fā)闡述高等代數(shù)的幾個(gè)重要概念

楊帆+楊晶

摘要：高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，與中學(xué)代數(shù)相比，理論更抽象，結(jié)構(gòu)更嚴(yán)謹(jǐn)，基于這樣的學(xué)科特點(diǎn)，本文針對(duì)高等代數(shù)的幾個(gè)比較難以理解的幾個(gè)概念，深入分析剖析，從而幫助學(xué)生更好地理解及掌握高等代數(shù)這門學(xué)科。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式；矩陣；線性空間；歐幾里德空間

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）01-0209-02

高等代數(shù)是高校數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)的專業(yè)基礎(chǔ)課，包含許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)和方法，其研究的主要對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以及相互間的關(guān)系和法則，它以嚴(yán)密的邏輯推理形式來(lái)考察各種代數(shù)的結(jié)構(gòu)并逐層抽象。下面針對(duì)高等代數(shù)的主要幾個(gè)概念，深入闡述。

一、多項(xiàng)式理論

多項(xiàng)式理論與整數(shù)理論有很多的相似之處，比如帶余除法、整除、最大公因式（數(shù)）、因式（子）分解及唯一性定理等等，除此之外，定理的內(nèi)容與形式也很類似。因此，整數(shù)理論能夠幫助我們更好地理解多項(xiàng)式。但是，它們還有著很多顯著的區(qū)別。通過(guò)了解這兩者的區(qū)別，才能更好地掌握多項(xiàng)式理論。

1.多項(xiàng)式理論是系數(shù)在某一數(shù)域上研究的，而整數(shù)理論是固定在整數(shù)環(huán)中。這意味著整數(shù)理論中任意兩個(gè)整數(shù)之間的整除、分解等關(guān)系都是確定的，而多項(xiàng)式理論中任意兩個(gè)多項(xiàng)式的整數(shù)、分解等等關(guān)系是隨著數(shù)域的不同而變化著的，取決于數(shù)域。比如多項(xiàng)式的因式分解及唯一性定理在不同數(shù)域上分解式不同，而整數(shù)理論中數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的。

2.多項(xiàng)式理論中，利用導(dǎo)函數(shù)可以判斷一個(gè)多項(xiàng)式有無(wú)重因式。

3.多項(xiàng)式理論雖然只在一章中出現(xiàn)，但是實(shí)際上它的性質(zhì)定理會(huì)應(yīng)用在后面很多章節(jié)中。比如二次型，特征多項(xiàng)式，特征值的求解等都需要用到多項(xiàng)式相關(guān)的理論。因此，要多注意多項(xiàng)式理論與矩陣?yán)碚摰年P(guān)聯(lián)性。例如，在求矩陣或是線性變換的特征值時(shí)，其特征多項(xiàng)式實(shí)際上是關(guān)于的多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式的因式分解理論可求出特征值。

二、矩陣

矩陣是一堆數(shù)（或者變量）有規(guī)律的排列而成的一個(gè)數(shù)表，并且對(duì)矩陣定義了加法、減法、數(shù)乘、乘法、可逆等運(yùn)算，并規(guī)定了運(yùn)算滿足的一些性質(zhì)，比如數(shù)乘的分配律，以及加法的交換律等。矩陣根據(jù)相似、合同、等價(jià)等關(guān)系可以分成不同的等價(jià)類，這些等價(jià)類具有一些共同的性質(zhì)，通過(guò)將矩陣分類，可以清楚地了解和更好地掌握矩陣的結(jié)構(gòu)以及性質(zhì)。矩陣是高等代數(shù)的一個(gè)重要的工具，它貫穿于整個(gè)高等代數(shù)理論的學(xué)習(xí)中。但是由于學(xué)生第一次接觸到矩陣定義，并且它的高度抽象性，導(dǎo)致了學(xué)生理解的困難。下面我們歸納矩陣作為工具，可以處理的問(wèn)題，以幫助學(xué)生熟練掌握學(xué)習(xí)矩陣這個(gè)概念。

1.解線性方程組。通過(guò)矩陣可將線性方程組用矩陣和向量乘積的方式寫(xiě)出來(lái)，例如由m個(gè)n元一次方程組組成的方程組可寫(xiě)成矩陣的形式，AX=B，其中A為一個(gè)m×n矩陣，X為未知量組成的列向量，B為一個(gè)列向量。解線性方程組只需要對(duì)矩陣A施行初等行變換，就可以解出未知量X。

2.二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型。二次型借助矩陣，可以寫(xiě)成形如XTAX的矩陣與向量的乘積的形式，其中A為一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，X為未知量組成的列向量。將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二次型只需要對(duì)（A E）T施行初等行變換以及相應(yīng)的初等列變換將A化成對(duì)角形，則E轉(zhuǎn)化成C，C即為二次型所做的非退化的線性退化。

除此之外，向量也可以看做矩陣（行向量是1×n矩陣，列向量是n×1矩陣）。而m×n矩陣?yán)梅謮K的知識(shí)可以看作是m個(gè)行向量，或者n個(gè)列向量。因此向量組的線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）性在特定的情況下可以通過(guò)矩陣的初等變換很容易的解出來(lái)。向量組的線性相關(guān)性教學(xué)是高等代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。對(duì)于大一新生來(lái)講，向量組的線性相關(guān)性概念過(guò)于抽象。線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）性：對(duì)n維向量組α1，α2…αm，如果存在一組不全為零（全為零）的實(shí)數(shù)k1，k2…km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0。在教學(xué)實(shí)踐中，我們換一種形象的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述，學(xué)生對(duì)它的理解就會(huì)更加透徹。將向量看成“人”，線性相關(guān)可以理解為，對(duì)一群人，如果其中有人互相認(rèn)識(shí)，則這群人認(rèn)識(shí)相關(guān)的，否則稱為認(rèn)識(shí)無(wú)關(guān)的。這樣向量組的線性表示、等價(jià)向量組及相關(guān)定理等的后續(xù)的學(xué)習(xí)理解就容易多了。比如線性相關(guān)理論中的“部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無(wú)關(guān)則部分也無(wú)關(guān)”理論。利用“認(rèn)識(shí)相關(guān)”的方法輔助理解，有利于學(xué)生理解和記憶。上述理論轉(zhuǎn)化為“認(rèn)識(shí)相關(guān)”形式就是：“若有一群人中有人互相認(rèn)識(shí)，則不論再向人群中加入多少人，還是有人相互認(rèn)識(shí)；如有一群人中沒(méi)有人互相認(rèn)識(shí)，則不論從中挑選多少人，還是沒(méi)有人互相認(rèn)識(shí)”。

3.線性變換。線性變換是線性空間上的一個(gè)滿足加法及數(shù)乘封閉的變換。通過(guò)線性空間的任一組基，可以將線性變換和矩陣對(duì)應(yīng)起來(lái)，并且同一個(gè)線性變換在不同基下的對(duì)應(yīng)矩陣是相似的。因此，對(duì)線性變換的研究可以通過(guò)研究其對(duì)應(yīng)的矩陣的性質(zhì)推得。借助于矩陣，線性變換的一些參數(shù)，更容易理解和求解。比如線性變換的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、秩與其相應(yīng)的矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、秩相等。

線性變換在任一組基下對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣，自然就想到能否存在一組基使得對(duì)應(yīng)矩陣為對(duì)角形。并且是否任意一線性變換都能找到這樣一組基，如果不是，那么能找到這樣一組基的線性變換需要滿足的充分，或者充要條件是什么。順著這樣一個(gè)思路，和線性變換相關(guān)的一些定理、性質(zhì)就能掌握的比較全面。

除此之外還有兩類特殊的線性變換需要重點(diǎn)了解掌握：（a）對(duì)稱變換，其在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的對(duì)應(yīng)矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣，而實(shí)對(duì)稱矩陣這又對(duì)應(yīng)了一個(gè)二次型，那么這個(gè)對(duì)稱矩陣又可以通過(guò)二次型的相關(guān)知識(shí)化為對(duì)角形矩陣；（b）正交變換，其在標(biāo)準(zhǔn)正交基下對(duì)應(yīng)的矩陣為正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)可以充分理解掌握正交變換。

三、線性空間，歐幾里德空間

在空間這部分，主要介紹了線性空間和歐幾里德空間。線性空間及歐幾里德空間是兩個(gè)抽象的概念。線性空間的運(yùn)算，如，空間的和以及交仍是線性空間，并且還定義了直和這一運(yùn)算，即空間和的分解式唯一。線性空間是Rn向量空間概念的推廣，歐幾里德空間是在線性空間上另外定義了內(nèi)積這一運(yùn)算的空間。

1.非空集合V與數(shù)域P，在V上定義了加法與數(shù)乘，并且加法和數(shù)乘滿足一定的性質(zhì)，則稱V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間。線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類事物在量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作線性空間，進(jìn)而通過(guò)研究線性空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。歐幾里得空間是在實(shí)數(shù)域R上的線性空間V上定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積，這個(gè)內(nèi)積也滿足一定的性質(zhì)。

2.線性空間與歐幾里德空間的基本區(qū)別是歐幾里德空間是完備的，而線性空間不是。

3.無(wú)論是線性空間還是歐幾里德空間，都有同構(gòu)這一等價(jià)關(guān)系。兩個(gè)線性空間同構(gòu)，那么這兩個(gè)空間具有一些共同性質(zhì)。只需研究其中一個(gè)具體的線性或者歐幾里德空間，與它同構(gòu)的其他線性或者歐幾里德空間的性質(zhì)也就清楚了。

隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，以后還會(huì)碰到度量空間，拓?fù)淇臻g等等。因此，在代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí)還需要注意各個(gè)學(xué)科間的聯(lián)系，融會(huì)貫通，才能更清晰的掌握我們所學(xué)習(xí)的知識(shí)。

多項(xiàng)式理論，矩陣?yán)碚?，空間理論是高等代數(shù)理論體系的主要內(nèi)容。在上面的分析中，可以看出他們之間不是獨(dú)立的理論體系，他們之間有交叉，且相互滲透影響。因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要注意同類概念的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。如同構(gòu)：線性空間的同構(gòu)，以及歐幾里德空間的同構(gòu)。對(duì)這兩個(gè)同構(gòu)進(jìn)行比較，結(jié)合兩個(gè)空間的不同性質(zhì)，注意這個(gè)兩個(gè)同構(gòu)的區(qū)別和相同之處。實(shí)際上，兩個(gè)同構(gòu)的歐幾里德空間，作為線性空間也是同構(gòu)的。但反之不一定成立。又比如矩陣出現(xiàn)了很多等價(jià)關(guān)系：合同，相似，相等。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，除了要將這三者的定義進(jìn)行比較，還要了解他們的內(nèi)在性質(zhì)，這樣才不會(huì)造成后面學(xué)習(xí)的困難，也對(duì)能對(duì)矩陣間的關(guān)系比較清晰明了。

總之，概念是高等代數(shù)的重要組成部分，學(xué)生對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)不是直線發(fā)展的，而是螺旋式前進(jìn)的。因此，教師傳授概念的過(guò)程也不應(yīng)是一次性完成的，而是盡量在教學(xué)過(guò)程中注意引入能夠幫助學(xué)生理解概念的感性材料，降低學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，同時(shí)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)概念及時(shí)分類整理，回首返顧，了解概念之間的關(guān)系，以達(dá)到對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念能夠形成一個(gè)有機(jī)的整體，進(jìn)而能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室[M].高等代數(shù)（第四版）.北京：高等教育出版社，2003.

[2]朱春鋼.向量組線性相關(guān)性的教學(xué)方法與技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（4）：119-121.

Several Important Concepts in Advanced Algebra in View of Teaching

YANG Fan，YANG Jing

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Science and Technology，ZhenjiangJiangsu 212003，China）

Abstract：Advanced algebra is a basic course of math major. Advanced algebra is more abstract，with more rigorous structure，compared with high school algebra. Based on such discipline characteristic，this article analyzes several difficult concepts in advanced algebra，so as to help students understand and master advanced algebra more better.

Key words：polynomial；matrix；linear space；Euclidean space