談談凸函數(shù)及其應用

趙秀

摘 要： 凸函數(shù)是具有良好性質及廣泛應用的一類重要函數(shù)，在許多學科分支（如泛函分析、最優(yōu)化原理、控制論、數(shù)理經(jīng)濟學等）中有重要的作用，關于凸函數(shù)與凸集的研究已經(jīng)形成一門專門的數(shù)學分支——凸分析.目前有關凸函數(shù)的理論十分豐富，而大學數(shù)學分析或高等數(shù)學教材中往往只有粗淺的介紹，而且定義不盡相同.本文主要探討凸函數(shù)的定義、性質及應用，為進一步理解、掌握凸函數(shù)起促進作用.

關鍵詞： 凸函數(shù) 定義 性質 應用

一、凸函數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展

凸函數(shù)是一類重要函數(shù)，起源于丹麥數(shù)學家約翰·詹森（Jensen）和愛因斯坦在瑞士的數(shù)學老師閔科夫斯基，在詹森著述中是這樣介紹的：若函數(shù)f（x）滿足定義域上任意兩個數(shù)則稱f（x）為凸函數(shù).凸函數(shù)的產(chǎn)生不僅給人們帶來一種新的研究函數(shù)的工具，還為函數(shù)這個“大家族”增枝散葉，隨著凸函數(shù)的出現(xiàn)，人們對函數(shù)這個概念多了一絲陌生感，引起人們“認識”的欲望.在詹森定義凸函數(shù)后，有不少人對凸函數(shù)進行了研究，其中有閔科夫斯基和杜克等人.在凸函數(shù)產(chǎn)生的最初階段，人們對凸函數(shù)并不看好，真正引起人們廣泛重視的是40至50年代馮·諾伊曼和杜克等人對策論和數(shù)學規(guī)劃的研究，由于這方面的需要，從50年代初到60年代末人們對凸函數(shù)的研究得到較大發(fā)展.關于凸函數(shù)的研究大多數(shù)是圍繞凸分析展開的.當時，我國的數(shù)學愛好者對凸函數(shù)的研究有涉及，那時的代表人物有張曉明、劉光中和胡克等人，他們的研究成果多數(shù)以教材形式展示，而且對凸函數(shù)的定義有所區(qū)別.例如，同濟大學高等代數(shù)教材對凸函數(shù)所下定義與國際相反.隨著科學家求知欲望的增長與艱辛的付出，對凸函數(shù)的研究逐步得到深入與完善.

二、函數(shù)的定義及幾何意義

目前對凸函數(shù)的理論研究十分豐富，對凸函數(shù)所給的定義不盡相同.本文參閱凸函數(shù)的國際定義對凸函數(shù)做如下定義：

（一）凸函數(shù)的定義

五、凸函數(shù)的性質

無論是國外還是國內(nèi)的數(shù)學愛好者都對凸函數(shù)進行了大量研究，發(fā)現(xiàn)了凸函數(shù)的許多性質，本文只介紹凸函數(shù)的如下四條性質：

性質1（有界性） 若f（x）為[a，b]上的凸函數(shù)，則f（x）在[a，b]上有界.

性質2（連續(xù)性） 若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f（x）在任意點x∈（a，b）？奐I處連續(xù).

性質3（可導性） 設f（x）在區(qū)間I上二階可導.若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f″（x）≥0（反之也成立）.

性質4（單調(diào)性） 設f（x）在區(qū)間I上可導.若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f′（x）在I上單調(diào)遞增.

六、凸函數(shù)性質的應用

隨著科技的發(fā)展，人們對凸函數(shù)的認識越來越系統(tǒng)，研究越來越全面，應用越來越廣泛，因此，深入掌握凸函數(shù)的定義、性質及應用是十分重要的.由于我知識有限，因此文中有不足之處，望各位同行不吝賜教.