淺談“0”的起源與在中小學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用

吳稀瑩

摘 要：0，是人類最早接觸的數(shù)字，也是經(jīng)常使用的數(shù)字，更是人們較熟悉的數(shù)字，然而0，是如何產(chǎn)生，以及是誰(shuí)最先發(fā)明了它，是大多數(shù)人較為困惑的問(wèn)題，主要闡述了0的起源以及在當(dāng)今數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用，供大家參考。

關(guān)鍵詞：0的廣泛應(yīng)用；0的性質(zhì)；0的作用；0的含義

0，可以說(shuō)是人類最早接觸的數(shù)了。我們的祖先在最開(kāi)始只認(rèn)識(shí)有和沒(méi)有，并不知道用0來(lái)計(jì)數(shù)。但在當(dāng)代0這個(gè)數(shù)字有著較多的含義，特別是在數(shù)學(xué)中經(jīng)常處于一種尷尬的地位，很多問(wèn)題研究中對(duì)于0的規(guī)定都是模棱兩可的，更多時(shí)候是將0排除在外，

不予以討論研究。從而，使得在學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生都因不知道為什么會(huì)特殊定義或規(guī)定0的用法而感到困惑與不解。所以為了讓更多的學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，排除較多的關(guān)于0的一些應(yīng)用的困惑，不如在研究其他“存在”的數(shù)字之前，先來(lái)了解0這個(gè)“不存在”的數(shù)字。

0是數(shù)學(xué)中最重要的符號(hào)與數(shù)學(xué)之一，可是它的發(fā)明卻是來(lái)之不易的。在發(fā)明0以前，人類的祖先為了完善繁瑣的記數(shù)方法與缺憾，在世界各國(guó)范圍內(nèi)，不同國(guó)家表示0的方式方法各不相同，多種多樣，但又彼此互相借鑒，相互引用，比如，在中國(guó)古代算籌運(yùn)算時(shí)，當(dāng)還沒(méi)有發(fā)明0之前，古人們?yōu)榱朔乐拱l(fā)生定位錯(cuò)誤，開(kāi)始用“□”代表空位，后來(lái)為方便書寫逐漸演變寫成“○”；然而，在阿拉伯，當(dāng)還沒(méi)有0這個(gè)數(shù)字時(shí)，古老的阿拉伯人為防止記數(shù)上產(chǎn)生的誤解，于是用打空格的方法來(lái)區(qū)分：如一千三百四十五表示成1（ ）3（ ）4（ ）5，空的地方表示空位，但這使得運(yùn)算變得極為麻煩；古代希臘，人們?cè)诖蠹s公元2世紀(jì)前后，在天文學(xué)上也用“○”表示空位，但很不普遍。

時(shí)間到了大約公元5世紀(jì)左右，在印度最古老的文獻(xiàn)《吠陀》中，已有“0”這個(gè)符號(hào)的記載與應(yīng)用，當(dāng)時(shí)0在古印度表示無(wú)（空）的位置，大約又到了6世紀(jì)初期，古印度人最早用黑點(diǎn)（·）表示0，后來(lái)逐漸演變成了0，自此印度開(kāi)始使用“命位記數(shù)法”。公元733年，印度一位天文學(xué)家在訪問(wèn)現(xiàn)伊拉克首都巴格達(dá)期間，將印度的這種記數(shù)法介紹給了阿拉伯人，正因?yàn)檫@種方法簡(jiǎn)便易行，通俗易懂，不久就取代了在此之前的阿拉伯?dāng)?shù)字。

當(dāng)0發(fā)明后，引入到各個(gè)國(guó)家時(shí)，世界各國(guó)又掀起了一次高潮。當(dāng)0出現(xiàn)后，在中國(guó)古代叫做金元數(shù)字，（即：極為珍貴的數(shù)字），但在當(dāng)時(shí)它并不表示“沒(méi)有”，而是表示“零碎”“零頭”“不多”之意，如：“一百零五”的意思是——在一百之外，還有一個(gè)零頭五；當(dāng)0剛剛引入到西方國(guó)家時(shí)，由于一些原因，曾經(jīng)一度引起西方人的困惑，當(dāng)時(shí)西方人認(rèn)為所有的數(shù)都是正數(shù)，而沒(méi)有其他數(shù)，而0這個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)，會(huì)使很多算式、邏輯推理不能成立，甚至一度認(rèn)為0是魔鬼數(shù)字，而被禁用。直到大約公元15、16世紀(jì)，0和負(fù)數(shù)才逐漸被西方人接受認(rèn)同，才使西方數(shù)學(xué)得以快速發(fā)展。后來(lái)，羅馬的一位學(xué)者將0的用法介紹給了自己國(guó)家的人，但被守舊的羅馬教皇禁止使用了，所以在羅馬數(shù)字中沒(méi)有0。

隨著時(shí)間的推移，社會(huì)的快速進(jìn)步，科學(xué)的飛速發(fā)展，0在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中起著不可忽視的作用。0通常表示沒(méi)有，但實(shí)際上0的性質(zhì)與應(yīng)用很廣泛，0在數(shù)學(xué)中表示的意義非常豐富。0不僅可以表示“沒(méi)有”，而且也可以表示“有”。例如：天氣預(yù)報(bào)里表示氣溫是0度，并不是指“沒(méi)有溫度”，而是相當(dāng)于華氏表32度，這里，“0”起了“零上溫度與零下溫度”的分界線的作用；而在物理學(xué)中，“0℃”表示在一標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，“水結(jié)冰”這個(gè)確定的溫度，即冰點(diǎn)的溫度；0還可以表示“起點(diǎn)”，如發(fā)射導(dǎo)彈時(shí)的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0——發(fā)射”；又如我們常用的米尺和三角板上刻度線下的數(shù)字“0”，也表示度量長(zhǎng)度的起點(diǎn)，測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，一般是先把尺上的“0”刻度線對(duì)準(zhǔn)待測(cè)量線段的起點(diǎn)；另外，0在數(shù)軸上作為原點(diǎn)，也是起點(diǎn)的意思；0還可以表示精確度，如：在近似的計(jì)算中，4.995精確到整數(shù)是5，精確到十分位是5.0，精確到百分位是5.00與5.0中的“0”被用來(lái)表示精確度不同；0在多位數(shù)中起占位作用，例如“806”中的“0”，它既表示這個(gè)數(shù)十位上一個(gè)單位也沒(méi)有，又起了占據(jù)“十位”這個(gè)數(shù)位的作用，若不用“0”占位，讓十位空著，八百零六就會(huì)寫成“8 6”，這會(huì)給讀數(shù)、計(jì)算帶來(lái)不便，又如某城市的一輛汽車牌號(hào)為“000888”，由此可知該城市的汽車號(hào)碼是用六個(gè)數(shù)碼編號(hào)的，它的已登記領(lǐng)牌汽車數(shù)量最多是六位數(shù)，不會(huì)超過(guò)100萬(wàn)輛，“000888”中的“0”也是起著占位的作用；0在實(shí)際生活中有時(shí)也表示“分隔”的意思，例如：203房間中的0是分隔“樓（2）”與“房門號(hào)（3）”的（即表示二樓三號(hào)房），可刪去；在實(shí)數(shù)中，0又是正數(shù)與負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)，故0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，而是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；0在復(fù)數(shù)中，是唯一輻角沒(méi)有定義的復(fù)數(shù)；在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)由二進(jìn)制構(gòu)成，即0和1是計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存的基本單位，包括現(xiàn)在我們?cè)陔娔X上看到的所有一切都是用1和0兩個(gè)數(shù)組成的，一個(gè)即一個(gè)字符，8個(gè)字符是一位（bit），我們?cè)陔娔X中看到的圖像視頻等都是計(jì)算機(jī)通過(guò)對(duì)儲(chǔ)存器中無(wú)數(shù)個(gè)1和0的計(jì)算得來(lái)的，0經(jīng)常用于表現(xiàn)布林（布爾）值“假”電路傳送數(shù)據(jù)時(shí)，0和1分別代表低電位和高電位，開(kāi)關(guān)的通斷表示0和1，編程語(yǔ)言中，一個(gè)數(shù)組的個(gè)數(shù)是4的話，它實(shí)際的成員是0到3，而不是1到4，在c語(yǔ)言中，0放在整型常量前表示八進(jìn)制數(shù)，而整型十六進(jìn)制數(shù)前常用0x開(kāi)頭；在航天控制臺(tái)中，只有“0”號(hào)控制臺(tái)，沒(méi)有“1”號(hào)控制臺(tái)；在化學(xué)中，0價(jià)表示單質(zhì)，0族表示稀有氣體。

0在中小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常被排除在外，不予以考慮，在我國(guó)20世紀(jì)80年代中，0是不包括在自然數(shù)范圍內(nèi)的。但從歷史上看，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界對(duì)于0是不是自然數(shù)歷來(lái)有兩種觀點(diǎn)：一種認(rèn)為0是自然數(shù)，另一種認(rèn)為0不是自然數(shù)。新中國(guó)成立以來(lái)，我國(guó)的中小學(xué)教材一直規(guī)定自然數(shù)不包括0。目前，國(guó)外的數(shù)學(xué)界大部分都規(guī)定0是自然數(shù)。為了國(guó)際交流的方便，1993年頒布的《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》（GB 3100～3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁(yè)，規(guī)定自然數(shù)包括0。所以在近幾年進(jìn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材修訂中，我們的教材研究編寫人員根據(jù)上述國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。即一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示，0也是自然數(shù)。因此，在我們新出版的教材中，按照《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行了這樣的處理，原來(lái)的自然數(shù)集合現(xiàn)在稱為正整數(shù)集。同時(shí)，我們也按照《國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》的規(guī)定規(guī)范使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào)的表示方法。從使用上看，規(guī)定自然數(shù)集合是否包括0并無(wú)太大影響，作為序數(shù)，從0開(kāi)始和從1開(kāi)始是一樣的，以前我們所說(shuō)的n∈N，現(xiàn)在只要說(shuō)n是正整數(shù)就可以了。但是，在小學(xué)階段的“整除”部分，仍然不考慮自然數(shù)0，因而在約數(shù)、倍數(shù)等概念中都不包括0。另外，一般情況下我們不說(shuō)數(shù)0是幾位數(shù)，所以最小的一位數(shù)是1。

隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的擴(kuò)充，0的性質(zhì)也將進(jìn)一步擴(kuò)充到中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，它的應(yīng)用極為廣泛，它在運(yùn)算中的一些特有的性質(zhì)很多，例如：

（1）0是最小的自然數(shù)；0是最小的完全平方數(shù)；0是絕對(duì)值

最小的實(shí)數(shù)。

（2）在十進(jìn)制記數(shù)法中，0起占位的作用。

（3）0是一個(gè)偶數(shù)。

（4）0是任意自然數(shù)的倍數(shù)。

（5）任何數(shù)與0相加，都等于任何數(shù)本身，即a+0=0+a=a。

（6）任何數(shù)減0，都等于任何數(shù)本身，即a-0=a。

（7）相同的兩個(gè)數(shù)相減，差等于0，即a-a=0。

（8）任何數(shù)與0相乘，積等于0，即a×0=0×a=0。

（9）0被非零的數(shù)除，商等于0，即：如果a≠0，那么0÷a=0。

（10）0不能做除數(shù)、0不能做分?jǐn)?shù)的分母、0不能做比的后

項(xiàng)，即一個(gè)非0數(shù)除以0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義，因此0沒(méi)有倒數(shù)和負(fù)倒數(shù)。

（11）0的任何正數(shù)次方都等于0；0的任何負(fù)數(shù)次方都無(wú)意

義，因?yàn)?沒(méi)有倒數(shù)。

（12）0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。

（13）0的相反數(shù)是它本身，即：-0=0；0的絕對(duì)值是它本身，

即：|0|=0；0的算術(shù)平方根是它本身；0的平方根是它本身；任何非零數(shù)的0次冪等于1，即如果a≠0，那么a0=1，而0的0次方的值是懸而未決，具有爭(zhēng)議的，在某些領(lǐng)域定義為1，某些領(lǐng)域未定義，不定義的理由多是以連續(xù)性為考量，不定義不連續(xù)點(diǎn)。

（14）0不可作為多位數(shù)的最高位。

（15）0是介于-1和+1之間的整數(shù)。

（16）0沒(méi)有對(duì)數(shù)，0不能做對(duì)數(shù)的底數(shù)或真數(shù)。

（17）0的階乘等于1，即：0！=1。

（18）在復(fù)數(shù)集中，0是模最小的數(shù)，而且是唯一一個(gè)無(wú)輻角定義的元素。

（19）0是唯一可以作為無(wú)窮小量的常數(shù)。低階無(wú)窮小與高階無(wú)窮小的比值的極限是無(wú)窮大，0是除它自己以外任何無(wú)窮小的高階無(wú)窮小。高階無(wú)窮小與低階無(wú)窮小比值的極限是0。

（20）定積分中，積分上限和下限相等時(shí)，積分值始終為0。

（21）概率論中，不可能事件的概率，或者在連續(xù)概率分布中位于某一特定自變量這一事件的概率，都是0。然而，概率為0的事件并不一定就是不可能事件。例如，在一根長(zhǎng)度為1，起始刻度為0，終止刻度為1的實(shí)數(shù)軸上隨機(jī)選擇某個(gè)數(shù)，對(duì)于任何一個(gè)固定的數(shù)來(lái)說(shuō)，選擇到它的概率都是0，但是最終必然會(huì)選擇到某個(gè)數(shù)x。這樣，即意味選擇到x的概率是0，但不代表不可能選到x。

所謂尺有所短，寸有所長(zhǎng)。以上是本人對(duì)0的起源與在當(dāng)今中小學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用作了簡(jiǎn)單闡述，可以說(shuō)0是多數(shù)人熟悉而又陌生的數(shù)字，既是最簡(jiǎn)單，又是最容易被人們所忽視的數(shù)字?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中，如果能對(duì)0做進(jìn)一步的深入了解，想必它會(huì)對(duì)你在數(shù)學(xué)學(xué)科中做出很大的幫助與巨大的飛躍。

參考文獻(xiàn)：

陳方櫻.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2006-05.