數(shù)學(xué)教學(xué)的“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”策略

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

☉江蘇省揚(yáng)州中學(xué)張乃達(dá)

數(shù)學(xué)教學(xué)的“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”策略

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

☉江蘇省揚(yáng)州中學(xué)張乃達(dá)

眾所周知，課堂教學(xué)活動(dòng)過(guò)程就是當(dāng)教師完成了創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境（其實(shí)是關(guān)于新授課的內(nèi)容，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)合適的初始問(wèn)題，由此作為展開(kāi)的課堂活動(dòng)的起點(diǎn)）之后，通過(guò)師生、生生之間不斷地分析問(wèn)題，尋求解答；萌生新問(wèn)題，分析新問(wèn)題，再尋求解答；如此循環(huán)往復(fù)，直到問(wèn)題的最終解決，即形成階段性的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)論為止［1］的一個(gè)完整的活動(dòng)過(guò)程.這種循環(huán)往復(fù)的活動(dòng)過(guò)程，內(nèi)在地規(guī)定了一節(jié)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的師生行為的內(nèi)容與環(huán)節(jié).如果我們舍棄課堂教學(xué)活動(dòng)中這種非本質(zhì)性因素，抽象地從生成課堂活動(dòng)的內(nèi)在心理動(dòng)力方向上考察，一節(jié)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的學(xué)與教的活動(dòng)過(guò)程就是師生、生生之間的一種以“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”作為環(huán)節(jié)“節(jié)點(diǎn)”的接力推進(jìn)過(guò)程.師生（生生）之間的合適的“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”的行為，可以對(duì)營(yíng)造情感氛圍，創(chuàng)生思維場(chǎng)域，誘發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情都具有極其重要的作用，是成功的數(shù)學(xué)教學(xué)的首要保證，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的有效途徑.

一、“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”的教學(xué)涵義及應(yīng)用舉例

“點(diǎn)贊”是指教師針對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在啟發(fā)學(xué)生經(jīng)過(guò)思考與理解活動(dòng)時(shí)，積極鼓勵(lì)學(xué)生有所認(rèn)識(shí)、有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)新，從而感受到問(wèn)題所在、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題，并且促使學(xué)生選擇出相應(yīng)的語(yǔ)言加以表達(dá)，或者激勵(lì)學(xué)生對(duì)某些要義加以解釋.如此，達(dá)到的結(jié)果是：其一，學(xué)生的表達(dá)、解釋與教師的理解、想法不謀而合，從而使教師感同身受；其二，學(xué)生道出了教師在備課時(shí)還沒(méi)有理解的深度解讀，通過(guò)學(xué)生的解釋，教師從中受到啟發(fā)，從而恍然大悟，加深了對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解.于是，教師從內(nèi)心對(duì)學(xué)生的思考與表達(dá)發(fā)出由衰的佩服，令教師不得不為學(xué)生“點(diǎn)贊”.

“點(diǎn)化”是指當(dāng)學(xué)生對(duì)某個(gè)所要學(xué)習(xí)掌握的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，經(jīng)由它們自己開(kāi)動(dòng)腦筋，通過(guò)認(rèn)真的思考之后，卻還是不能從中得到自我啟發(fā)，也找不到方法或已知的知識(shí)形式將這種信息組織成像樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)輪廓，不能得到理想的結(jié)果，即學(xué)生不能獨(dú)立地順利完成數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程，此時(shí)，學(xué)生的思維處于“僨”“悱”之際，教師及時(shí)地對(duì)學(xué)生循循善誘的啟發(fā)（當(dāng)然，這種啟發(fā)也可以由其他學(xué)生來(lái)完成），這種課堂上的啟發(fā)活動(dòng)，就是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中的“點(diǎn)化”行為，它促使學(xué)生完成對(duì)面臨的學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解、認(rèn)識(shí)與掌握.

在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，研究者認(rèn)識(shí)到，在課堂教學(xué)活動(dòng)中，“點(diǎn)贊”與“點(diǎn)化”具有辯證的關(guān)系，它們不只是教師自己對(duì)學(xué)生的獨(dú)自行為，也是學(xué)生對(duì)教師的行為.兩者之間相輔相成，互相仿效、互相促進(jìn)，長(zhǎng)此以往，師生之間就會(huì)達(dá)成默契，變成了師生之間的自覺(jué)行為.這是因?yàn)?，從某種程度上說(shuō)，教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的“點(diǎn)贊”，就萌生出教師對(duì)學(xué)生的佩服，實(shí)際上就是由于教師受到學(xué)生思想的“點(diǎn)化”.反之，教師對(duì)學(xué)生的“點(diǎn)化”，真正起到教學(xué)的作用、達(dá)到教學(xué)的效果時(shí)，學(xué)生必然會(huì)產(chǎn)生對(duì)教師的敬佩之情，學(xué)生畢竟至少會(huì)在內(nèi)心中為教師的施教活動(dòng)“點(diǎn)贊”（只是在課堂上，學(xué)生可能沒(méi)有表達(dá)出來(lái)的機(jī)會(huì)罷了）.循此類推，我們不難知道，在很多情況下，學(xué)生與學(xué)生之間也可以產(chǎn)生“點(diǎn)贊”與“點(diǎn)化”行為.

因此，有效課堂教學(xué)活動(dòng)的重要標(biāo)志之一就是教師（或?qū)W生）與學(xué)生之間的“點(diǎn)贊”與“點(diǎn)化”的合適行為.這種“點(diǎn)贊”與“點(diǎn)化”環(huán)節(jié)的實(shí)現(xiàn)，更是通過(guò)課堂上師生活動(dòng)實(shí)現(xiàn)情感教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ).因?yàn)?，學(xué)生與老師之間不只是授業(yè)解惑，師生之間的互動(dòng)生乎于意、達(dá)乎于意：學(xué)生從老師的一動(dòng)眉眼、一舉手足，都能感受到學(xué)問(wèn)的實(shí)在、生動(dòng)與真誠(chéng)；由此可以改變課堂中師生之間直白的教學(xué)互動(dòng)，直白的教學(xué)，首先割斷了師生的氣息相通、稟性相投、情感相依、心靈相應(yīng)，整個(gè)教與學(xué)變成了只是資料的提供接受而已［2］.合適的“點(diǎn)贊”與“點(diǎn)化”的“節(jié)點(diǎn)”充滿了師生之間的理解、關(guān)切之情.為此，不失一般性，我們舉一個(gè)高中數(shù)學(xué)解題的例子加以說(shuō)明（其中的省略號(hào)表示學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)思維的中斷）．

例題：已知a＞0，a≠1，0＜x＜1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大?。?/p>

師：大家有什么想法？

生1：通過(guò)討論底數(shù)a，去絕對(duì)值符號(hào)，將絕對(duì)值大小比較轉(zhuǎn)化為普通數(shù)大小比較．

生2：由于兩個(gè)對(duì)數(shù)的底相同，可以對(duì)兩數(shù)求商后與1的大小比較，直接去掉參數(shù)a．

生3：兩者作差，形成一個(gè)新函數(shù)的形式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題．

生4：運(yùn)用比較這兩個(gè)數(shù)的平方的大小進(jìn)行試探．

生5：“異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)”，運(yùn)用這個(gè)加法法則解決問(wèn)題．

師：從經(jīng)驗(yàn)上看，前四位同學(xué)提出的活動(dòng)行為，應(yīng)該可以達(dá)到目的，同學(xué)們?cè)谡n下試一試；這些方法有一個(gè)共同特點(diǎn)，都是將這兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為其他形式．

師：生5同學(xué)想采用直接手段解決問(wèn)題、獨(dú)出心裁，老師沒(méi)有想到（研究者對(duì)生5“點(diǎn)贊”）．如果生5同學(xué)的想法可以實(shí)現(xiàn)目的，那我們將收獲巨大，大家怎么看？

生6：這里出現(xiàn)“絕對(duì)值較大”的結(jié)論，似乎有點(diǎn)關(guān)系，但是它可以解決這道題嗎？我有點(diǎn)懷疑．

師：為什么不試一試？

生7：因?yàn)閘oga（1+x）+loga（1+x）=loga（1-x2），①

生：……（此時(shí)，學(xué)生需要研究者的“點(diǎn)化”）

師：那么，要比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|兩數(shù)大小，等式①起作用嗎？（研究者具體“點(diǎn)化”學(xué)生）

生8：由0＜x＜1知，0＜1-x＜1，0＜x2＜1，0＜1-x2＜1，故不論底數(shù)a在限定范圍內(nèi)取何值，都有l(wèi)oga（1-x）與loga（1-x）異號(hào)，loga（1-x）與loga（1-x2）同號(hào)的結(jié)論，由“異號(hào)兩數(shù)加法法則”知，|loga（1-x）|較大．

師：好?。ㄑ芯空邔?duì)生8的“點(diǎn)贊”）有同學(xué)還不理解嗎？

生9：老師，我還是沒(méi)有理解這是什么意思．

生10：我來(lái)給你舉個(gè)例子：-3+（+2）=-1，由于“和”（-1）的符號(hào)與加數(shù)（-3）的符號(hào)相同，所以，|-3|＞|+2|．①式中的“和”的loga（1-x2）的符號(hào)與第一個(gè)加數(shù)loga（1-x）的符號(hào)相同，就說(shuō)明了loga（1-x）絕對(duì)值較大．（生10對(duì)生9的“點(diǎn)化”）

生：我理解了，謝謝生10．（生9對(duì)生10的“點(diǎn)贊”）

師：這道題經(jīng)由生5的獨(dú)到想法，生8的具體演算說(shuō)明，生10的具體說(shuō)明的協(xié)作過(guò)程，達(dá)到了全體同學(xué)都理解生5的方法的目的．給我們的啟示是對(duì)問(wèn)題具有獨(dú)到的想法時(shí)，要細(xì)心地加以檢驗(yàn)，不要輕易放過(guò)，這些獨(dú)到的想法中可能隱藏著黃金般的價(jià)值［3］?。ㄑ芯空咴诖藢?duì)有貢獻(xiàn)的學(xué)生“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”，總結(jié)解題活動(dòng)）

從這個(gè)例子可以明顯地看到，概括地說(shuō)，有效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中的師生行為的主要“節(jié)點(diǎn)”，就在于“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”環(huán)節(jié)的交替過(guò)程策略的應(yīng)用．雖然我們?cè)谶@里所舉的例子是一道數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)，但是它具有一般性．因?yàn)椋瑪?shù)學(xué)概念教學(xué)、原理教學(xué)都可以這樣設(shè)計(jì)．從這個(gè)例子的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，師生、生生課堂行為的本質(zhì)因素就是形成了一系列的“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”作為“節(jié)點(diǎn)”的活動(dòng)鏈條，學(xué)生就是在這一思維活動(dòng)鏈條中，獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)，生成了數(shù)學(xué)觀念，開(kāi)拓了數(shù)學(xué)方法，形成了情感的皈依，激活了創(chuàng)新的本能，并且使得師生、生生之間心心相印，息息相通．由這個(gè)例子，我們可以總結(jié)出萌生合適的“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”行為對(duì)教師的要求．

二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”的策略

我們知道，作為學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中（學(xué)生已經(jīng)通過(guò)學(xué)習(xí)掌握了，相對(duì)于登記在案的書(shū)本上）的數(shù)學(xué)知識(shí)，具有非常強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)，它是由學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題及其某種心理聯(lián)結(jié)的中介（包括處理問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)、觀念、慣用的數(shù)學(xué)方法與興趣、傾向、動(dòng)機(jī)等）所組成緊密的或松散的體系［4］，其中的概念與命題構(gòu)成了結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)“節(jié)點(diǎn)”，就是說(shuō)，作為經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)就是由這些“節(jié)點(diǎn)”與心理中介構(gòu)成的，弗賴登塔爾稱之為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”［5］．當(dāng)擁有這些“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的學(xué)生面臨作為學(xué)習(xí)內(nèi)容的新的數(shù)學(xué)化信息時(shí)，他們就會(huì)辨別新信息中的相關(guān)元素及其所生成的脈絡(luò)輪廓與經(jīng)驗(yàn)中相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、命題（通過(guò)選擇）的明顯的聯(lián)系和可能的聯(lián)系［6］．

首先，明顯的聯(lián)系說(shuō)明新數(shù)學(xué)信息中的相關(guān)部分已經(jīng)作為新“節(jié)點(diǎn)”納入學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中了，該學(xué)生擴(kuò)大了數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成了新數(shù)學(xué)知識(shí)，這就構(gòu)成了教師“點(diǎn)贊”的內(nèi)容與時(shí)機(jī)．其次，可能的聯(lián)系就是學(xué)生不能獨(dú)立地將新數(shù)學(xué)化信息作為某種“節(jié)點(diǎn)”納入自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，他必須要得到幫助，獲得運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)作用于新數(shù)學(xué)化信息，建立經(jīng)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)命題與外在的新數(shù)學(xué)化信息的聯(lián)系，生成新中介的啟示，這就需要學(xué)生之間的（上乘之選）、必須時(shí)教師自己還要直接對(duì)那個(gè)學(xué)生加以“點(diǎn)化”．要注意的是，“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”是個(gè)性化的，具有相對(duì)性，對(duì)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是“點(diǎn)贊”的內(nèi)容，可能對(duì)另一部分學(xué)生卻是需要“點(diǎn)化”的內(nèi)容；反之亦然．

雖然錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的師生行為被抽象出“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”的“節(jié)點(diǎn)”所組成的鏈條，因此，一節(jié)課的成敗或效果的好壞、效率的高低就主要地取決于合適的師生“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”行為的有效性程度了.但是，在運(yùn)用“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：第一，“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”可以激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、親近教師，為實(shí)現(xiàn)（特別是情感、動(dòng)機(jī)、意志、態(tài)度等的心理傾向性的）數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)提供了有利的條件，然而，“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”本身不是課堂教學(xué)活動(dòng)的目的，而是達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的手段；第二，“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”必須運(yùn)用得當(dāng)，否則就會(huì)有損于數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).因此，我們必須要研究在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師的“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”的策略.

（一）數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“點(diǎn)贊”策略

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的師生行為中，教師是對(duì)學(xué)生“點(diǎn)贊”的主導(dǎo)者，承擔(dān)著主要責(zé)任，因此，教師要特別注意“點(diǎn)贊”的標(biāo)準(zhǔn)與時(shí)機(jī)的把握.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師必須比較準(zhǔn)確地理解這個(gè)年齡段的學(xué)生的心理特點(diǎn)，不能廉價(jià)地運(yùn)用“點(diǎn)贊”，學(xué)生在課堂活動(dòng)中，萌發(fā)的數(shù)學(xué)思想、表達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、形成的數(shù)學(xué)方法、表現(xiàn)的數(shù)學(xué)技能等，確實(shí)具有創(chuàng)造性；對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的展開(kāi)、數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、問(wèn)題解決的思維活動(dòng)確實(shí)具有幫助；當(dāng)某同學(xué)在課堂上針對(duì)某個(gè)具體教學(xué)內(nèi)容的信息，提出某個(gè)合適的問(wèn)題，或者針對(duì)某個(gè)具體的問(wèn)題提出有價(jià)值的解決方案，或者針對(duì)某個(gè)方案提出了簡(jiǎn)化的策略等等，這些對(duì)教師自己與其他同學(xué)都產(chǎn)生了某種程度上的啟示、啟發(fā)，那么，教師就應(yīng)該為此加以“點(diǎn)贊”.

就是說(shuō)，其一，“點(diǎn)贊”是具體的，與值得“點(diǎn)贊”的價(jià)值相匹配.否則，從學(xué)生心理角度而論，就有可能造成學(xué)生認(rèn)為教師是對(duì)自己的諷刺；其二，就是教師的“點(diǎn)贊”要一視同仁，切不可將學(xué)生分為三六九等，這樣會(huì)造成許多不良的教學(xué)后果.例如，在解決這個(gè)例題的時(shí)候，研究者只對(duì)生5同學(xué)加以“點(diǎn)贊”，而對(duì)其他同學(xué)只是作出了一般性的要求，這與生5同學(xué)萌生的思想價(jià)值相匹配的，其他同學(xué)也是心服口服的.

教師“點(diǎn)贊”時(shí)，要注意選擇合適的表達(dá).“點(diǎn)贊”最常用的方式是教師使用“話語(yǔ)”，如在例子當(dāng)中的教師對(duì)生5、生8、生10的點(diǎn)贊都是采用了教師發(fā)自內(nèi)心的言辭加以直接地表達(dá)；教師也可以通過(guò)“一個(gè)會(huì)心的微笑，一個(gè)欣慰的眼神，一個(gè)吃驚、夸張的表情”等“非話語(yǔ)”的途徑來(lái)達(dá)到“點(diǎn)贊”的目的，而不是所有的“點(diǎn)贊”都直接使用語(yǔ)言.教師要善于將“話語(yǔ)”表達(dá)與“非話語(yǔ)”表達(dá)結(jié)合起來(lái)，合理選擇“點(diǎn)贊”的形式與分量程度，力爭(zhēng)針對(duì)學(xué)生提供的材料的價(jià)值程度相匹配，從而達(dá)到盡可能地客觀與公正.對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，教師要知道，“點(diǎn)贊”的過(guò)與不及，都容易使其效果適得其反.

（二）數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“點(diǎn)化”策略

實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)化”的目的是非常困難的，因?yàn)椋线m的“點(diǎn)化”不只是依據(jù)于教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)與把握，而是教師必須就某個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，充分理解與估計(jì)學(xué)生思維活動(dòng)的“節(jié)點(diǎn)”所達(dá)到的位置，即對(duì)于那個(gè)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容的某個(gè)“節(jié)點(diǎn)”處，學(xué)生存有過(guò)不去的“坎”.這些太特殊了，不同的學(xué)生對(duì)這個(gè)“節(jié)點(diǎn)”所構(gòu)成的“坎”大多數(shù)情況下可能是不同的，更有甚者，對(duì)于同一個(gè)學(xué)生在不同的時(shí)間上（比如，昨天與今天，甚至同一天的上午第一節(jié)課與上午第四節(jié)課）也可能是不同的.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中的“點(diǎn)化”正如中醫(yī)中的診斷與用藥，是辯證的，因時(shí)因地因人而改變，不可能固守某種教條或原則，從而實(shí)現(xiàn)畢其功于一役.這正是教學(xué)的藝術(shù)性表現(xiàn)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)大師可以雕活朽木，而拙劣的教師可能毀掉英才的原因之所在［7］.

歸根結(jié)底，“點(diǎn)化”就是“啟發(fā)法”或“蘇格拉底法”，“蘇格拉底法”的特點(diǎn)是：“（一）他一有機(jī)會(huì)就引導(dǎo)人去思索自己的責(zé)任，不管這個(gè)機(jī)會(huì)是自然產(chǎn)生的，還是蘇格拉底故意編造成的，他與各種公民們談話，談話總是從他們感興趣的東西開(kāi)始，或者是家務(wù)，或者是兒童的教育，或者是知識(shí)、真理……接著（二）蘇格拉底就會(huì)引導(dǎo)他們離開(kāi)這種特殊事例去思索普遍的原則，引導(dǎo)他們思索、確信并認(rèn)識(shí)什么是正當(dāng)?shù)臇|西，什么是普遍的原則，什么是自在自為的真與美”［8］（55-56）.“蘇格拉底法”的主要特點(diǎn)也可以表達(dá)為：其一，所有的有價(jià)值的觀念都來(lái)自于學(xué)生（被談話的對(duì)象）自身；其二，啟發(fā)學(xué)生（被談話的對(duì)象）通過(guò)自己的思辨性活動(dòng)，摒棄錯(cuò)誤的觀念，生成正確的觀念.

因此，“點(diǎn)化”的策略的實(shí)現(xiàn)，可以概括為一句話：一切依靠學(xué)生.它有兩層含義：其一，教師盡可能地向?qū)W生提供信息，而不展示組織信息的方式方法，由此鼓勵(lì)學(xué)生從組織信息成脈絡(luò)輪廓的活動(dòng)過(guò)程中體悟出具體的方法；其二，充分利用學(xué)生之間互相“點(diǎn)化”，由于多數(shù)情況下，同一個(gè)班級(jí)的年齡相仿、學(xué)習(xí)背景情況相同，他們相互之間的交流與合作更優(yōu)于教師與學(xué)生之間的交流，因此，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題從某個(gè)學(xué)生的理解傳達(dá)到其他學(xué)生的理解，可能更具有啟發(fā)性；其三，教師的“點(diǎn)化”，應(yīng)該選擇更遠(yuǎn)的背景，而不要進(jìn)行具體的指導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)具有一個(gè)體悟的時(shí)間與過(guò)程，如形同攝影的長(zhǎng)鏡頭，一步一步拉近，只有當(dāng)需要，才給特寫(xiě)鏡頭.教師只有如此，“點(diǎn)化”才能獲得理想的效果.

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中的師生行為看上去景象萬(wàn)千，錯(cuò)綜復(fù)雜，但通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐的分析、思考，抽象地考察，只是以“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”作為“節(jié)點(diǎn)”所形成的鏈條.這一發(fā)現(xiàn)，對(duì)教師離析數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在面對(duì)學(xué)生時(shí)，做好“點(diǎn)贊”“點(diǎn)化”及其用之所當(dāng)（這是非常靈活，隨著學(xué)生的不同、班級(jí)的不同，需要具體問(wèn)題具體對(duì)待，隨時(shí)都需要調(diào)整，才能產(chǎn)生針對(duì)性，提高課堂教學(xué)效率）的心理準(zhǔn)備.據(jù)此，駕馭課堂上出現(xiàn)的紛繁現(xiàn)象，具有重要作用.對(duì)于經(jīng)驗(yàn)不多的教師而言，如果他們就每一個(gè)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，都細(xì)心揣摩“點(diǎn)化”的關(guān)鍵點(diǎn)，那么對(duì)提高教學(xué)效率與教學(xué)設(shè)計(jì)水平也具有重要作用.

1.張昆.整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向——基于知識(shí)發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究［J］.中國(guó)教育學(xué)刊，2011（6）.

2.張昆.潛心教學(xué)研究實(shí)現(xiàn)專業(yè)成長(zhǎng)——例析提升數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的心路歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（4）.

3.張乃達(dá).思維·觀念·文化——張乃達(dá)數(shù)學(xué)教育文選［M］.南京：鳳凰出版社，2012.

4.張昆，張乃達(dá).集中條件：數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵——教學(xué)設(shè)計(jì)的視角［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.

5.張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2009年1月第2版（2010年12月第4次印刷）：43-44.

6.張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實(shí)現(xiàn)途徑［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：33-37.

7.張昆.論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的心理取向［M］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（合肥），2016（2）：5-10.

8.［德］黑格爾.哲學(xué)史講演錄（第二卷）［M］.賀麟，王太慶，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1960年5月第1版（2014年7月北京第10印刷）：55-56.