基于Hankel行列式的一類雙和恒等式

宋旭霞

（呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008）

關(guān)于孤子理論中的雙線性方程的研究，國(guó)際上一直非?；钴S.尤其在雙線性方程的群射 Lie代數(shù)的問題研究上，更為積極。事實(shí)上，應(yīng)用群論的方法已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多新的孤子方程，但是這種方法需要比較高深的代數(shù)知識(shí)，應(yīng)用起來也比較困難，而方程的求解過程與Hankel行列式的性質(zhì)密切相關(guān)。為此，本文在已獲得的Hankel行列式的雙和恒等式的基礎(chǔ)之上，研究Hankel行列式的雙和恒等式的推廣形式。

1.基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 如果行列式滿足則稱之為 Hankel行列式。顯然，Hankel行列式滿足 aij= aji的條件，因此 Hankel行列式是對(duì)稱的，同時(shí)也滿足條件所以它也是次對(duì)稱的。

一般情況下，我們采用單后綴的方式來表示元素，令則有

1.2 若函數(shù)滿足關(guān)系式則稱函數(shù)關(guān)于其變量是s次齊次的；若函數(shù)滿足關(guān)系式則稱函數(shù)關(guān)于其變量的下標(biāo)之和是s次齊次的。

1.4 已有性質(zhì)

引理1[]]：關(guān)于Hankel行列式的凝聚余子式滿足以下關(guān)系式：

引理2[1]：關(guān)于Hankel行列式有下列雙和恒等式成立：

引理3[1]：歐拉定理：

（1）如果變量是相互獨(dú)立的，函數(shù)對(duì)每一個(gè)變量都是可微的，且對(duì)于變量是s次齊次的，則有

2.預(yù)備定理

Hankel行列式因其形式簡(jiǎn)潔美觀、應(yīng)用廣泛而著稱，在Hankel行列式性質(zhì)研究的過程中，為了將已有Hankel行列式的雙和性質(zhì)順利推廣，作為基礎(chǔ)，我們需要先行證明下列引理。

引理4：對(duì)于 Hankel行列式滿足下列齊次性的而相關(guān)結(jié)論：

（1）的展開式中的每一項(xiàng)都是n次齊次的；的展開式中的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是 n ( n - 1 )次齊次的。

（2） Hankel行列式的代數(shù)余子式 Aij的展開式中的每一項(xiàng)都是 n - 1 次齊次的；它的展開式的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是次齊次的。

證明：（1） 因?yàn)?An的展開式中一共包含 n !項(xiàng)，每一項(xiàng)的形式均為這里為1,2…n的一個(gè)排列，顯然展開式中的每一項(xiàng)都包含n個(gè)元素，從而 An是n次齊次的。

同時(shí)，通過觀察展開式的每一項(xiàng)的形式，可以發(fā)現(xiàn)其下標(biāo)之和為

所以，展開式中的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是 n ( n -1)次齊次的。

（2）因?yàn)?Aij是在 An中去掉了第i行和第 j列，其展開式中一共包含(n - 1 )!項(xiàng)，每一項(xiàng)的形式為

同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)的下標(biāo)之和為

所以，展開式中的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是次齊次的。

推論1：對(duì)于Hankel行列式的代數(shù)余子式 Aij,hk，可知 Aij,hk的展開式中的每一項(xiàng)都是 n - 2 次齊次的；Aij,hk的展開式中的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是次齊次的。

證明：因?yàn)?Aij,hk是在 An中去掉了第 i, j行和第 h , k列，其展開式中一共包含(n - 2 )!項(xiàng)，每一項(xiàng)的形式為

這里的一個(gè)排列，顯然每一項(xiàng)都包含 n - 2 個(gè)元素，從而 An是 n - 2 次齊次的。同時(shí)，每一項(xiàng)的下標(biāo)之和為

所以，展開式的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是次齊次的。

3.一類推廣的Hankel行列式雙和恒等式

有下列等式成立：

（2）令 m = r + s - 2 ，并且重新排列和式，則（1）式可以變形為

（4）令 m = r + s - 2 ，并且重新排列和式，則（2）式可以變形為

證明：（1） 由引理4可知 Aij的展開式的每一項(xiàng)都是 n - 1 次齊次的，利用Hankel行列式中對(duì)元素的偏導(dǎo)數(shù)的定義及歐拉定理可知

（2） 由引理4可知 Aij的展開式的每一項(xiàng)每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是次齊次的，利用Hankel行列式中對(duì)元素的偏導(dǎo)數(shù)的定義及歐拉定理可知

（3）由引理4的推論1可知 Aij,hk的展開式的每一項(xiàng)都是 n - 2 次齊次的，利用Hankel行列式中對(duì)元素的偏導(dǎo)數(shù)的定義及歐拉定理可知

（4）由引理4的推論1可知 Aij,hk的展開式的每一項(xiàng)的下標(biāo)之和都是次齊次的，利用Hankel行列式中對(duì)元素的偏導(dǎo)數(shù)的定義及歐拉定理可知

（5）利用Hankel行列式的性質(zhì)，我們可知有

通過文中定理一和定理二的猜想與證明，我們得到了推廣后的Hankel行列式雙和恒等式的形式，解決了一類性質(zhì)比較復(fù)雜的Hankel行列式所滿足的雙和關(guān)系的性質(zhì)。它比Hankel行列式原有的應(yīng)用空間更為廣泛，不僅對(duì)于研究摻雜特殊元素的Hankel行列式的相關(guān)性質(zhì)有所幫助，更為重要的是可以用它來解決Dale方程、Toda方程、Kay-Moses方程等一系列物理方程的求解問題[3-5]，在可積系統(tǒng)的研究過程中具有非常重要的的應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)：

[1]Robert Vein，Paul Dale。Determinants and Their Applications in Mathematical Physics [M].Springer-verlag，1998.

[2]胡星標(biāo).孤子理論中的直接方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]榮趕丁. Cantor序列及其差分序列的Hankel行列式[D].華中科技大學(xué),2013.

[4]文志雄,武文.Cantor序列的Hankel行列式[J].中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué),2014,(10)：1059-1072.

[5]李彥君,楊勝良.加權(quán)Motzkin序列的Hankel行列式[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2017,(01)：26-36.

[6]李小飛.一類解析函數(shù)類的Hankel行列式的上界估計(jì)（英文）[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2013,(04)：23-28.