淺談如何提高初中生的數(shù)學(xué)思維與解題技巧

杜蓮芳

在平時(shí)課堂教學(xué)實(shí)踐中，我一直在大膽實(shí)踐和探索數(shù)學(xué)的教學(xué)方法、途徑，根據(jù)多年實(shí)踐和探索，我把課堂教學(xué)大致分為選用、組題、仿編、改編、新編這五種方法，力圖對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效訓(xùn)練，切實(shí)提高他們的數(shù)學(xué)思維與解題技能。

初中學(xué)生數(shù)學(xué)思維解題技能

一、選用

在教學(xué)中，從以前就有的題目中選用一些優(yōu)秀的題目，這類題目主要考查學(xué)生對(duì)所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的掌握情況。直接選用的陳題一般用于課堂訓(xùn)練、平時(shí)檢測或達(dá)標(biāo)性測試，其優(yōu)點(diǎn)是方便快捷、便于操作，缺點(diǎn)是老作為測試用，缺乏公平性，尤其是分值較大的中難題，所以作為中考復(fù)習(xí)或平時(shí)教學(xué)，還可以選用一些代表性的習(xí)題。

例如，我剛在本學(xué)期“圖形的全等與相似”這一中考專題復(fù)習(xí)課上，就選用如下一道題。已知：在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，且AB=BC，求證：AE=AC。我選用的意圖是：本題的條件、結(jié)構(gòu)均比較簡單，但問題的解決方法較多，既可用全等，也可用相似。解題方法的多樣性決定了這道題比較適合于中考前的復(fù)習(xí)教學(xué)。課堂上，在給予學(xué)生足夠多時(shí)間思考之后，我請(qǐng)位成績好的學(xué)生代表暢談了自己的解題思路。

學(xué)生甲說：結(jié)合條件與結(jié)論特征，適當(dāng)聯(lián)想，由于點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，即AE為△ABD的中線，因此可以考慮延長AE到點(diǎn)F，使EF=AE，如圖2，所以接下來只要證明AF=AC即可。

學(xué)生乙說：從結(jié)論“AB=BC”出發(fā)，考慮取AC邊的中點(diǎn)G，再連結(jié)DG，如圖3，最后通過全等證AE=GC。

學(xué)生丙則由結(jié)論聯(lián)想到“三角形中位線定理”，由于圖中并不存在中位線，于是取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)DM，構(gòu)造中位線，如圖4。

事后，在這節(jié)復(fù)習(xí)課后的教學(xué)反思中，我認(rèn)為由于所選用的題目使用時(shí)機(jī)比較恰當(dāng)，因此課堂上實(shí)際使用的效果比較明顯，即通過一道題全面復(fù)習(xí)三角形的全等與相似，同時(shí)引出了三角形中位線定理的運(yùn)用。由此可見，只要運(yùn)用恰當(dāng)，陳題也可以煥發(fā)新的活力，讓課堂精彩紛呈，這也是許多經(jīng)典數(shù)學(xué)題的經(jīng)典魅力所在。選擇好的題目進(jìn)行教學(xué)，既有利于學(xué)生展示自己的技能，也有利于正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，更有利于突破應(yīng)試教學(xué)，推進(jìn)素質(zhì)教育，對(duì)我們今后的初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到積極促進(jìn)與導(dǎo)向作用。

二、組題

許多時(shí)候，題目不是單個(gè)出現(xiàn)，而是根據(jù)需要結(jié)合出現(xiàn)。我在平時(shí)課堂教學(xué)中，既要考慮題型的出現(xiàn)，又要考慮作業(yè)量控制的搭配，防止題海戰(zhàn)術(shù)，盡量讓學(xué)生學(xué)會(huì)做一道題就能做一類題。由于不同題型的特點(diǎn)與功能不一樣，因此在教學(xué)中也有不同的要求。

例如，若雙曲線y=與直線y=x沒有交點(diǎn)，試求出k的取值范圍。在課堂上，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，同樣地，數(shù)學(xué)命題中也要考慮到足夠的思維容量。難并不是數(shù)學(xué)命題的追求，數(shù)學(xué)訓(xùn)練題最關(guān)鍵的目標(biāo)是訓(xùn)練學(xué)生對(duì)核心數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的掌握狀況，我在課堂上嘗試了如下兩種思路。

思路一：若兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，則聯(lián)系兩個(gè)函數(shù)解析式所得方程組無解，即y=，y=x無解，所以=x無解，即x2=1-k無解，從而得k>1。

思路二：采用數(shù)形結(jié)合的方法，由于直線y=x經(jīng)過第一、三象限，所以要是兩個(gè)函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，則他們的圖象必為圖5所示情形。所以雙曲線y=的圖象位于第二、四象限，由此可得1-k<0，解得k>1。

我在中考復(fù)習(xí)中使用這道命題，推理思路較為簡單，推理步驟并不煩瑣，但卻很好地訓(xùn)練了學(xué)生的相關(guān)知識(shí)、技能與思想方法。課堂教學(xué)中訓(xùn)練與考查的指向性應(yīng)比較強(qiáng)，通常情況下知識(shí)與技能不宜二者并重，當(dāng)側(cè)重知識(shí)時(shí)，技能應(yīng)淡化些，當(dāng)側(cè)重技能時(shí)，知識(shí)要求不能加深。

在課堂上，我以某個(gè)題目為原型，仿其命題思路編擬出類似的題目，這類題目的特點(diǎn)是解題思路方法與原型相同，目的重在考查學(xué)生的遷移能力。我通過對(duì)2011年各地中考試卷調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)旱災(zāi)、環(huán)保、世博、金融、房產(chǎn)等社會(huì)熱點(diǎn)仿編題目較多，因此在平時(shí)課堂上，可著重講解社會(huì)問題與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合的試題。但一方面應(yīng)盡量避免人為編造繁難的計(jì)算或證明；另一方面要加強(qiáng)對(duì)身邊數(shù)學(xué)的關(guān)注，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)的能力。故課堂教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)實(shí)踐性題型的研究，重課本、抓基礎(chǔ)、關(guān)注生活、強(qiáng)化應(yīng)用指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化、化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題情境予以解決。

三、改編

改變某個(gè)題目中的條件或問題，使知識(shí)得到拓寬延伸，這在每年的中考中屢見不鮮，這類題目的解題思路、方法與原題不同，目的重在考查學(xué)生用知識(shí)、方法的能力。所以對(duì)陳題作些改變，常常能命出新意，給人以舊貌換新顏的感覺。

例如，某省2007年中考題中的一道有關(guān)用布料做童裝的應(yīng)用題，在課堂上，我將它改編為：現(xiàn)有一正方形木板，經(jīng)過對(duì)稱中心畫出兩條互相垂直的直線，把這個(gè)正方形分成四個(gè)區(qū)域，如圖，安裝并轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的指針后，把整個(gè)裝置放在水平的桌子上，轉(zhuǎn)動(dòng)指針到自然停止，下列說法正確的是（）

A.指針落在區(qū)域①的機(jī)會(huì)最大；B.指針落在區(qū)域②的機(jī)會(huì)最大；C.指針落在每一區(qū)域的機(jī)會(huì)一樣大；D.無法預(yù)測指針落在各個(gè)區(qū)域的機(jī)會(huì)大小。

這道題的原型大家應(yīng)該都很清楚，那就是這樣的一道證明題：“有兩個(gè)正方形，若其中一個(gè)繞另一個(gè)的中心旋轉(zhuǎn)任意角度，則重疊部分的面積是一個(gè)定值”，將圖形略作改變，與概率這一知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，就改編成了上面的一道新題。仿編與改編都是由某一陳題演變而來，它們之間有聯(lián)系，但更有著明顯的區(qū)別。

四、新編

新編，即根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的知識(shí)水平，結(jié)合生產(chǎn)、生活實(shí)際，編擬出全新的數(shù)學(xué)題目。這類題目獨(dú)具一格、新穎別致，使本就五彩繽紛的數(shù)學(xué)題型大放異彩，更加燦爛奪目。

例如，2011年貴州中考題：“校園手機(jī)”現(xiàn)象越來越受到社會(huì)關(guān)注，為了了解學(xué)生和家長對(duì)中學(xué)生帶手機(jī)的態(tài)度，某記者隨機(jī)調(diào)查了城區(qū)若干名學(xué)生和家長的看法，調(diào)查結(jié)果分為：贊成、無所謂、反對(duì)。并將調(diào)查結(jié)果繪制統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖。根據(jù)圖表信息，解答下列問題。

（1）統(tǒng)計(jì)表中的A=________。

（2）統(tǒng)計(jì)圖中表示家長“贊成”的圓心角的度數(shù)為________度。

（3）從這次接受調(diào)查的學(xué)生中，隨機(jī)抽查一個(gè)，恰好是持“反對(duì)”態(tài)度的學(xué)生的概率是多少？

本題取材于實(shí)際生活，既涉及相關(guān)的幾何推理與計(jì)算，也考查了學(xué)生的方案設(shè)計(jì)能力，源于教材而高于教材，在某種程度上提高了學(xué)生運(yùn)用理論解決實(shí)際問題的能力。

在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)針對(duì)學(xué)生的實(shí)際水平，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需要，注重學(xué)生的全面發(fā)展而進(jìn)行教學(xué)。在教學(xué)技能和教學(xué)素質(zhì)不斷提高的基礎(chǔ)上，通過自覺地訓(xùn)練和經(jīng)驗(yàn)反思，課堂教學(xué)技能會(huì)在實(shí)踐中創(chuàng)造性地應(yīng)用，得到充分地發(fā)揮。