“1+1”定理，初等證法

胡成恩

【摘要】本文建立了素?cái)?shù)的判定定理；論述了連續(xù)合數(shù)定理；連續(xù)合數(shù)對(duì)定理，證明了“1+1”定理和孿生素?cái)?shù)的無(wú)窮定理.

主要內(nèi)容

一、素?cái)?shù)無(wú)限多定理； 二、素?cái)?shù)判定定理； 三、PK級(jí)合數(shù)分布的周期性； 四、PK級(jí)素?cái)?shù)平均數(shù)定理；五、PK級(jí)素?cái)?shù)定理及推論；六、“1+1”定理；七、孿生素?cái)?shù)的無(wú)窮性.

一、素?cái)?shù)無(wú)限多定理

華羅庚教授對(duì)素?cái)?shù)的無(wú)窮做過(guò)這樣的論述：假定PK是最大的素?cái)?shù)，那么：2×3×5×7×…×PK+1是素?cái)?shù)還是合數(shù)呢？如果是素?cái)?shù)，則大于PK與假設(shè)矛盾，如果是合數(shù)，又不能被2，3，5，7，…，PK中任何一個(gè)質(zhì)因數(shù)整除，所以PK不會(huì)是最大的素?cái)?shù)，最大的素?cái)?shù)是不存在的.

二、素?cái)?shù)判定定理

如果一個(gè)整數(shù)M不能被2，3，5，7，…，PK中任何一個(gè)質(zhì)因數(shù)整除，稱M為PK級(jí)素?cái)?shù)，其余整數(shù)為PK級(jí)合數(shù)，當(dāng)1

證：假設(shè)M不是素?cái)?shù)，則至少存在兩個(gè)不等于1的正整數(shù)α和β，使得αβ能整除M，又因?yàn)棣梁挺戮恍∮赑K+1，所以αβ≥（PK+1）2 ，所以M≥（PK+1）2 ，與條件矛盾，所以M是素?cái)?shù).

三、PK級(jí)合數(shù)分布的周期性

PK級(jí)合數(shù)各因數(shù)的分布是有周期性的，每相差 P1×P2×P3×P4×…×PK個(gè)整數(shù)，各因數(shù)的分布序列重復(fù)出現(xiàn)一次.

證：給出連續(xù)的PK個(gè)整數(shù)，從前兩個(gè)數(shù)可知，2的倍數(shù)分布只有兩種可能，同理，3的倍數(shù)分布只有3種可能，依次類推，PK的倍數(shù)分布有PK種可能.根據(jù)乘法原理，每PK個(gè)整數(shù)各倍數(shù)的分布序列的周期為P1×P2×P3×P4×…×PK.

四、PK級(jí)素?cái)?shù)平均數(shù)及定理

在PK級(jí)素?cái)?shù)出現(xiàn)的一個(gè)周期中，所有整數(shù)個(gè)數(shù)，與PK級(jí)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的比值，稱PK級(jí)素?cái)?shù)平均數(shù)：

給出一組從2開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)，第一個(gè)位置為2的倍數(shù)，計(jì)1個(gè)，以后，每個(gè)偶數(shù)都不計(jì)，每個(gè)奇數(shù)都計(jì)2，不論從哪里停止，計(jì)入的和都包含了下一個(gè)2級(jí)素?cái)?shù)前的合數(shù).如果考慮到3，到了3的位置，3仍計(jì)入2，因?yàn)?的倍數(shù)按正整數(shù)分布，所以從3到6，倍數(shù)增加1個(gè)，整數(shù)增加3個(gè)，倍數(shù)增加一個(gè)2級(jí)平均數(shù)，整數(shù)增加3個(gè)2級(jí)平均數(shù)，每個(gè)平均數(shù)中有一個(gè)2級(jí)素?cái)?shù)，3倍數(shù)中2 級(jí)素?cái)?shù)不計(jì)，只需把前兩個(gè)擴(kuò)大計(jì)入來(lái)補(bǔ)充.在我們的計(jì)數(shù)方法中，第一個(gè)位置是2，計(jì)1個(gè)，第二個(gè)是3，計(jì)一個(gè)新平均數(shù)2，以后每個(gè)3級(jí)素?cái)?shù)計(jì)一個(gè)新平均數(shù)2×

3[]2，遇到3級(jí)合數(shù)不計(jì)，不論從哪里停止，計(jì)入的和，都包含了下一個(gè)3級(jí)素?cái)?shù)前所有合數(shù).

用這種計(jì)法，設(shè)直到K =m時(shí)Pm計(jì)入

，以后Pm級(jí)合數(shù)不計(jì)，Pm級(jí)素?cái)?shù)計(jì)入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1，這樣不論從哪里停止，計(jì)入的總和，都包含了下一個(gè)素?cái)?shù)前所有合數(shù).

那么：K=m+1時(shí)，Pm+1的倍數(shù)第一次出現(xiàn)，記入21×32×54×76×1110×…×pmpm-1這樣仍然計(jì)入了所有下鄰的Pm級(jí)合數(shù)，因?yàn)镻m+1的倍數(shù)是正整數(shù)依次出現(xiàn)的.倍數(shù)每增1，整數(shù)增Pm+1，倍數(shù)增1個(gè)平均數(shù)，整數(shù)增Pm+1個(gè)平均數(shù)，運(yùn)算中平均數(shù)和素?cái)?shù)是對(duì)應(yīng)的，倍數(shù)中有一個(gè)素?cái)?shù)不計(jì)，前有Pm+1-1個(gè)Pm+1級(jí)素?cái)?shù)出現(xiàn)，在我們的計(jì)數(shù)方法中，以后，遇到Pm+1級(jí)合數(shù)不計(jì)，遇到Pm+1級(jí)素?cái)?shù)時(shí)，計(jì)入一個(gè)新平均數(shù)21×32×54×76×1110×…×pmpm-1×pm+1pm+1-1.使少計(jì)的部分得到了補(bǔ)充，由數(shù)學(xué)歸納法原理，這樣無(wú)論從哪里停止，所計(jì)入總數(shù)，都包括了后面相鄰的合數(shù)，按所給的計(jì)入方法，PK已出現(xiàn)

（2）雙方向前置定理：

PK級(jí)合數(shù)連續(xù)個(gè)數(shù)最多為2PK-1-1個(gè).

證：從0開(kāi)始向兩端計(jì)數(shù)，0計(jì)1個(gè)，±1各計(jì)1個(gè)，從±2向外，按單向前置的計(jì)數(shù)方法，一直計(jì)到PK-2.

這時(shí)，±1的位置尚不是合數(shù)，這樣的合數(shù)分布，每個(gè)分布周期一個(gè)，顯然只有把PK和PK-1的倍數(shù)放在這兩處，構(gòu)成最多的PK級(jí)合數(shù).所以，PK級(jí)合數(shù)連續(xù)個(gè)數(shù)最多為2PK-1-1個(gè).

五、PK級(jí)素?cái)?shù)對(duì)及定理

定義：把兩個(gè)相同的數(shù)軸，偶數(shù)與偶數(shù)對(duì)齊，形成整數(shù)對(duì)，如果每對(duì)整數(shù)中的兩個(gè)整數(shù)均是PK級(jí)素?cái)?shù)，稱該數(shù)對(duì)為PK 級(jí)素?cái)?shù)對(duì)，否則，稱該數(shù)對(duì)為PK級(jí)合數(shù)對(duì).

在PK級(jí)素?cái)?shù)對(duì)出現(xiàn)的一個(gè)周期中，所有整數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)，與PK級(jí)素?cái)?shù)對(duì)個(gè)數(shù)的比值，稱PK級(jí)素?cái)?shù)對(duì)平均數(shù)：

證：第一個(gè)位置為2的倍數(shù)，計(jì)1個(gè)，以后，每個(gè)偶數(shù)對(duì)都不計(jì)，每個(gè)奇數(shù)對(duì)都計(jì)2，不論從哪里停止，計(jì)入的和都包含了下一個(gè)2級(jí)素?cái)?shù)對(duì)前的合數(shù)對(duì).如果考慮到3，每3個(gè)數(shù)對(duì)，最多有2個(gè)含 3的倍數(shù).

又因?yàn)?的倍數(shù)按正整數(shù)分布，所以從3到6，倍數(shù)增加1個(gè)，整數(shù)增加3個(gè)，倍數(shù)增加一個(gè)2級(jí)平均數(shù)，整數(shù)增加3個(gè)2級(jí)平均數(shù)，每個(gè)平均數(shù)中對(duì)應(yīng)一個(gè)2級(jí)素?cái)?shù)，

3倍數(shù)中每增2個(gè)2 級(jí)素?cái)?shù)對(duì)，數(shù)對(duì)增3個(gè)2級(jí)素?cái)?shù)對(duì).3倍數(shù)前兩個(gè)出現(xiàn)在2級(jí)素對(duì)時(shí)，仍各計(jì)入2對(duì)，以后每個(gè)3級(jí)素?cái)?shù)對(duì)計(jì)一個(gè)新平均數(shù)2×3[]1，遇到3級(jí)合數(shù)不計(jì)，不論從哪里停止，計(jì)入的和，都包含了下一個(gè)3級(jí)素?cái)?shù)對(duì)前所有合數(shù)對(duì).

用這種計(jì)法，設(shè)直到K =m時(shí)，前兩個(gè)Pm出現(xiàn)在PK-1級(jí)素對(duì)時(shí)，仍各計(jì)入

上面的公式正是PK級(jí)合數(shù)對(duì)單向最多的計(jì)法.

（2）雙方向前置定理：

證：從±2向外，按單向前置的計(jì)數(shù)方法，一直計(jì)到PK，

構(gòu)成最多的PK級(jí)合數(shù)對(duì)才是上面公式.

六、“1+1”定理

任給一個(gè)不小于6的偶數(shù)，都能寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和.

證：設(shè)這個(gè)偶數(shù)為2m（m≥3，且m是整數(shù)），看下列數(shù)對(duì)：

恰能看成兩個(gè)數(shù)軸形成的數(shù)對(duì)，每對(duì)之和為2m.只需?。?/p>

在上面給的數(shù)對(duì)中，有PK級(jí)素對(duì)存在，根據(jù)素?cái)?shù)判定定理，正是素?cái)?shù)對(duì).

七、孿生素?cái)?shù)無(wú)窮定理

請(qǐng)看下面的數(shù)對(duì)：