對(duì)一道拋物線習(xí)題的引申、拓展

劉承輝

在平常的學(xué)習(xí)中，我們不乏周而復(fù)始、簡(jiǎn)單重復(fù)的解題訓(xùn)練.對(duì)于一些習(xí)題，具有較強(qiáng)的示范性.在教學(xué)中教師要善于以這些習(xí)題為原型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)引申、拓展和解題后的反思.這樣不僅能充分發(fā)掘習(xí)題的潛在教學(xué)價(jià)值，而且對(duì)于提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)探索性和創(chuàng)新精神大有幫助.本文僅對(duì)一道習(xí)題結(jié)論加以引申、拓展，供讀者參考.

原題：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

由此結(jié)論發(fā)現(xiàn)y1y2是一個(gè)常數(shù)，此結(jié)論不難證明（略）.

一、引 申

1.原題條件不變，結(jié)論變化

（1）x1x2是常數(shù)：

分析 （如圖1）∵A，B兩交點(diǎn)都在拋物線上，

∴y21=2px1，y22=2px2，

∴x1x2=y212p·y222p=（y1y2）24p2=（-p2）24p2=p24.

所以x1x2也是一個(gè)常數(shù)p24.

（2）1AF+1BF是否為常數(shù)？

分析 如圖1，由拋物線定義得：

1AF+1BF=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+pp2（x1+x2+p）=2p.所以，1AF+1BF是一個(gè)常數(shù)2p.

（3）若AFBF=λ（λ>0），則AB=？

分析 如圖1，設(shè)AF=d1，BF=d2，則

d1d2=λ，1d1+1d2=2p，解之得d1=p（1+λ）2，d2=p（1+λ）2p.∴AB=d1+d2=p（1+λ）2λ.

2.條件與結(jié)論互換

原題的逆命題是否成立？即若y1y2=-p2（或x1x2=p24），則直線AB是否過拋物線的焦點(diǎn)F（p2，0）呢？

分析 若AB垂直x軸，結(jié)論顯然成立；若AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的斜截式方程y=kx+b（k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2）.

由y=kx+b，y2=2px，消去x得y2-2pky+2pbk=0.

∵y1，y2是上述方程的實(shí)根，

∴y1y2=2pbk.而y1y2=-p2，∴2pbk=-p2.

∴b=-pk2.∴直線AB的方程為y=k（x-p2），∴直線AB過拋物線的焦點(diǎn)Fp2，0.

二、拓 展

例 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

證明 （如圖2）

∵拋物線的焦點(diǎn)Fp2，0，

∴過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+p2.

代入拋物線方程得：y2-2pmy-p2=0.

若A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=-p2.

∴BC∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-p2上，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-p2，y2）.

∴kCO=2py1.

∵y21=2px1，

∴2py1=y1x1，

∴kCO=kOA.

∴直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.

由此可知，對(duì)于典型習(xí)題結(jié)論加以引申、拓展，不僅能收到舉一反三觸類旁通的功效，而且有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維的靈活性和深刻性.