利用空間向量解決空間距離與空間的角

陸清煌

隨著新教材的推廣，用空間向量的有關(guān)知識(shí)解決立體幾何的位置關(guān)系和空間角和距離問題比較方便.利用向量方法研究立體幾何問題主要包括兩方面，一是利用空間向量的運(yùn)算論證空間線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系；二是利用空間坐標(biāo)系與向量方法解決空間角與距離的計(jì)算問題，本文主要研究利用向量方法計(jì)算空間角和距離.

一、空間向量與空間距離

點(diǎn)面距離公式：平面α的法向量為n，P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，則P到平面α的距離d就是MP在向量n上射影的絕對(duì)值，即d=|n·MP|n.

例1 如圖，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，

CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2.

（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

分析 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.

方法一 用傳統(tǒng)的幾何法證明：

（1）連接OC，證明略.

（2）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.

∵VE-ACD=VA-CDE，∴13h·S△ACD=13·AO·S△CDE.

方法二 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量，且將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)（坐標(biāo)）的運(yùn)算.

（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），

C（0，3，0），A（0，0，1），E（12，32，0），BA=（-1，0，1），CD=（-1，-3，0）.

設(shè)平面ACD的法向量為n=（x，y，z），則

n·AD=（x，y，z）·（-1，0，-1）=0，n·AC=（x，y，z）·（0，3，-1）=0，

∴x+z=0，3y-z=0.

令y=1，得n=-3，1，3是平面ACD的一個(gè)法向量.

又EC=-12，32，0，

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離

h=EC·nn=37=217.

二、空間向量與空間的角

1.異面直線所成的角

異面直線a，b的方向向量分別為m，n，其向量的夾角為θ，直線a，b所成的角為α，α∈（0，π2]，則cosα=|cosθ|=|m·n||m||n|.

2.直線與平面所成的角

直線a的方向向量為m，平面α的法向量為n，直線a與平面α所成的角為θ，則有sinθ=|cos|（互余的關(guān)系），即θ=π2-arccos|m·n||m||n|.

3.平面與平面所成的角

平面α與平面β的法向量分別為m，n，設(shè)平面α與平面β所成的角為θ，則θ與法向量m，n的夾角相等或互補(bǔ).

①當(dāng)二面角α-l-β大于90°時(shí)，則二面角θ=π-arccos|m·n||m||n|；

②當(dāng)二面角α-l-β不大于90°時(shí)，則二面角θ=arccos|m·n||m||n|.

例2 題干、（1）問、（2）問同例1.

（3）求異面直線AB與CD所成角的大小.

（4）求直線AE與平面ACD所成角的大小.

分析 （3）∵cos=BA·CDBACD=24，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos24.

（4）∵AO⊥面BCD，∴AO=（0，0，1）為面BCD的一個(gè)法向量.

∴cos〈AO，n〉=AO·n[]|AO||n|=（0，0，1）（-3，13）[]7=21[]7.

則二面角A-CD-B的余弦值為21[]7.

用傳統(tǒng)方法解立體幾何題，需要有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力，同學(xué)們往往由于這些能力的不足而感覺解題困難，空間向量的引入為處理某些立體幾何問題提供了一種新的途徑，利用空間向量處理某些立體幾何問題，可以為學(xué)生提供新的視角.把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，借助坐標(biāo)系進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，利用向量的方法解決幾何問題是新教材中解決立體幾何問題的一個(gè)重要方法.