用活教材，體驗(yàn)生成

董洪國(guó)

【摘要】本文結(jié)合人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修2（B版）2.2.2節(jié)“點(diǎn)到直線的距離”一節(jié)的課例習(xí)題教學(xué)設(shè)計(jì)闡述了教師在教學(xué)活動(dòng)中，站在學(xué)科總體目標(biāo)的高度，結(jié)合學(xué)情提煉與梳理教材，活用教材，用活教材，才能找到最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)過程，才能更好地提升了自己運(yùn)用教材的能力.

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)到直線的距離；教學(xué)設(shè)計(jì)

筆者在教學(xué)實(shí)踐中根據(jù)對(duì)教材和學(xué)生的分析，在維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下將教材例題、習(xí)題進(jìn)行必要改編或補(bǔ)充，提高教學(xué)效率的同時(shí)以便學(xué)生更好地自主構(gòu)建新知.

一、教材分析

作為“直線的方程”的最后一節(jié)內(nèi)容的“點(diǎn)到直線的距離”，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了直線相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)由平面幾何的幾何度量關(guān)系過渡到解析幾何的代數(shù)計(jì)算的完整范例，為后面學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線奠定了基礎(chǔ).通過點(diǎn)到直線的距離公式的探究與應(yīng)用過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的思想.

二、學(xué)情分析

知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)掌握了兩點(diǎn)之間的距離公式，直線的傾斜角、斜率、直線方程和兩直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí).能力基礎(chǔ)：學(xué)生對(duì)利用代數(shù)方法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，但對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)能力和抽象思維能力需要進(jìn)一步培養(yǎng).

三、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握點(diǎn)到直線的距離公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；會(huì)求兩平行線間的距離. 過程與方法目標(biāo)：通過體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過程，使學(xué)生體會(huì)由特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)探究方法，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等思想，提高用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過小組合作探究解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索精神，提高合作意識(shí).重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo).

四、教法學(xué)法

教學(xué)方法：學(xué)生是知識(shí)意義主動(dòng)的建構(gòu)者，“只有針對(duì)最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展”，為了幫助學(xué)生完成自主構(gòu)建新知，結(jié)合本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用問題探究式教學(xué)法.學(xué)習(xí)方法：利用導(dǎo)學(xué)案自主探究的基礎(chǔ)上合作交流.

五、課例習(xí)題設(shè)計(jì)

本節(jié)課教材直接給出了求點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離公式的一種推導(dǎo)方法，并且運(yùn)算化簡(jiǎn)技巧較強(qiáng)，學(xué)生理解和接受難度較大，不利于學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).為了分散難點(diǎn)，提高學(xué)生參與的廣度和深度，通過調(diào)整引例充實(shí)內(nèi)容，將公式的推導(dǎo)過程分三個(gè)層次完成：

第一層次 特例引路，啟發(fā)思維.在回顧初中“點(diǎn)到直線的距離”定義中的垂線段的長(zhǎng)后教師提出以下問題：

問題1：求點(diǎn)P（1，2）到直線l：x-2y+2=0的距離.學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論，

代表展示、講解解決問題的方法和步驟.（學(xué)生可能利用直線關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離或

者利用構(gòu)造三角形、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)等方法，教師點(diǎn)評(píng)）

【設(shè)計(jì)意圖】教材直接呈現(xiàn)求點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和對(duì)代數(shù)式的運(yùn)算能力要求較高.問題1是具體化的問題，起到了“墊腳石”的作用.可以實(shí)現(xiàn)以下目的：（1）使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力；（2）為公式的推導(dǎo)做了鋪墊，完成對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的初步突破；（3）給學(xué)生探索的時(shí)間和空間來體驗(yàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過程，提高合作意識(shí).

第二層次 順藤摸瓜，推導(dǎo)公式.問題2：求點(diǎn)P（x1，y1）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離.學(xué)生分小組合作進(jìn)行公式推導(dǎo).因?yàn)橛袉栴}1的引路，會(huì)有多數(shù)學(xué)生選擇求垂足坐標(biāo)的方法，但在有限的時(shí)間里多數(shù)學(xué)生并不能得到最后結(jié)果，因此教師屏幕展示這種方法的推導(dǎo)過程.

（1）結(jié)合|PP0|=（x1-x0）2+（y1-y0）2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，是否有簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法？

（2）可以不求垂足P0的坐標(biāo)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)式和已知式的特點(diǎn)，提出整體代換的思想.即可將x1-x0和y1-y0分別視為一個(gè)整體.構(gòu)造關(guān)于x1-x0和y1-y0的兩個(gè)方程式：

然后讓學(xué)生完成后續(xù)推導(dǎo)過程，體會(huì)一下設(shè)而不求，整體代換的方法在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)公式的推導(dǎo)過程、培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生靈活分析、鍥而不舍的鉆研精神.

第三層次 分析公式，加深認(rèn)識(shí).對(duì)于點(diǎn)到直線的距離公式d=Ax1+By1+CA2+B2.

思考問題：（1）此公式對(duì)應(yīng)的直線方程是什么形式？（2）公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？（3）點(diǎn)P在直線l上時(shí)成立嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生思考回答，使學(xué)生理解公式適用的范圍，把握公式的形式特點(diǎn).

以上三個(gè)層次的探究過程，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，逐步突破了教學(xué)難點(diǎn).為了逐步完成教學(xué)目標(biāo)，在公式的應(yīng)用環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了公式的直接應(yīng)用和靈活應(yīng)用兩個(gè)層次的題目，對(duì)教材例題進(jìn)行了巧妙的改編，并補(bǔ)充了相應(yīng)的鞏固練習(xí).

例1 求點(diǎn)P（1，-1）到直線l：x-2y+2=0的距離.

鞏固練習(xí) 1.求點(diǎn)P（-1，2）到以下直線的距離.

（1）l：2x+y=5；（2）l：y=2x+1；（3）l：x=-2.

2.點(diǎn)P（4，m）到直線3x-4y-1=0的距離為3，求m的值.

3.在x軸上求與直線3x+4y-5=0的距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo).

為了讓學(xué)生熟悉公式的使用，例題是公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)中的引例，學(xué)生直接套用公式求解，體驗(yàn)應(yīng)用公式解題時(shí)的簡(jiǎn)捷性，并以此規(guī)范解題步驟，然后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求點(diǎn)到直線距離的計(jì)算步驟，滲透算法思想.

鞏固練習(xí)題組1是教材習(xí)題的改編.需要先化為直線方程的一般式，再套用公式，第（3）題也可數(shù)形結(jié)合解決.此題組由學(xué)生獨(dú)立完成后回答交流.鞏固練習(xí)2、3是逆用公式的題目，公式中有點(diǎn)的坐標(biāo)、直線方程的系數(shù)及距離等6個(gè)量，可知五求一.小組合作后展示解題過程，教師點(diǎn)撥評(píng)價(jià).

【設(shè)計(jì)意圖】通過此階段的例題和練習(xí)，使學(xué)生掌握公式結(jié)構(gòu)及使用公式應(yīng)注意的問題，熟練運(yùn)用公式.

例2 探究?jī)善叫兄本€ l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之間的距離公式，并給出證明.

鞏固練習(xí) 1.求兩直線l1：2x+y+1=0，l2：2x+y-3=0的距離.

2.求兩直線l1：2x+y+1=0，l2：4x+2y-6=0的距離.

首先，在小組合作探究后學(xué)生黑板板演，其余學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案上完成.引導(dǎo)學(xué)生分析兩平行線間的距離公式的特點(diǎn)，然后進(jìn)行鞏固練習(xí).

【設(shè)計(jì)意圖】將教材中的例題2將平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，既是對(duì)點(diǎn)到直線距離的靈活運(yùn)用，又讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的類比、轉(zhuǎn)化的思想.鞏固練習(xí)1讓學(xué)生直接套用公式，而第2題必須注意應(yīng)用公式時(shí)應(yīng)先化簡(jiǎn)，有梯度的讓學(xué)生構(gòu)建出新知的正確使用過程.

六、設(shè)計(jì)特色

1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)在尊重教材的基礎(chǔ)上又創(chuàng)造性地使用教材，在“最近發(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下通過由特殊到一般，具體到抽象的探究問題的過程使學(xué)生在充分的體驗(yàn)和感悟中經(jīng)歷了公式的形成及鞏固過程，感受到了多種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

2.通過體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過程，使學(xué)生在探究新知的“勇于探索，鍥而不舍的”鉆研過程中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和發(fā)散思維的能力.

教師要做到“活用教材，用活教材”就必須在教學(xué)設(shè)計(jì)中，不僅重視結(jié)論，而且重視學(xué)生對(duì)生成結(jié)論的過程的體驗(yàn)，要著眼于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的提高來采用最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)過程，這樣才會(huì)在促進(jìn)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的同時(shí)更好地提升了自己運(yùn)用教材的能力.