基于Ω 粒子的手性特異材料中的古斯-漢森位移

黃艷艷，印錢柳，于 祥，于忠衛(wèi)

（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226019）

在幾何光學(xué)上，當(dāng)光由光密介質(zhì)入射至光疏介質(zhì)且入射角大于臨界角時(shí)，會(huì)發(fā)生全反射現(xiàn)象，反射點(diǎn)與入射點(diǎn)的位置相同。然而，1947 年Goos 和H?nchen 利用多次全反射的方法在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)全反射時(shí)反射點(diǎn)相對(duì)于入射點(diǎn)發(fā)生了一個(gè)側(cè)向偏移，這個(gè)側(cè)向位移就是古斯-漢森（Goos-H?nchen，GH）位移[1]。1948 年，Artmann 從理論上利用反射光與入射光存在相位差，對(duì)GH 位移作出解釋并推導(dǎo)了GH位移的表達(dá)式，即穩(wěn)態(tài)相位法[2]。隨著研究的深入，GH 位移不僅出現(xiàn)在全反射情況，還出現(xiàn)在部分反射及透射情況。由于GH 位移在傳感器、光學(xué)器件等方面具有潛在應(yīng)用，所以，對(duì)GH 位移的增強(qiáng)與調(diào)控，以及利用GH 位移設(shè)計(jì)各類光學(xué)器件的研究越來越多[3-5]。目前，對(duì)GH 位移的研究更多地向特殊結(jié)構(gòu)、新型材料轉(zhuǎn)變，如：金屬介電復(fù)合材料[6-8]、光子晶體[9-11]、Parity-Time（PT）對(duì)稱結(jié)構(gòu)[12-13]、石墨烯材料[14-16]、電磁超材料[17-21]等，在不同的結(jié)構(gòu)、不同的條件下，產(chǎn)生正或負(fù)的GH 位移，調(diào)控GH 位移的增強(qiáng)和正負(fù)之間的轉(zhuǎn)變。

手性特異材料作為一種新型的電磁功能材料，具有電磁場(chǎng)交叉極化特性，在凈化電磁污染、消除反射雜波等諸多方面存在著應(yīng)用前景，成為電磁學(xué)和材料科學(xué)等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。研究發(fā)現(xiàn)，在各向同性的手性特異材料表面，對(duì)于橫電波（transverse electric wave，TE 波）入射，反射光束的側(cè)向位移在贗布儒斯特角附近得到增強(qiáng)，并可以通過手性參數(shù)來調(diào)控側(cè)向位移的正負(fù)增強(qiáng)和增強(qiáng)峰的個(gè)數(shù)[19-20]。由于材料空間上的各向異性，使得材料本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及材料參數(shù)對(duì)側(cè)向位移產(chǎn)生很大的影響，因而，對(duì)手性材料的研究也由各向同性向各向異性拓展。對(duì)于單軸各向異性手性特異材料，在橫磁波（transverse magnetic wave，TM 波）入射情況下，材料的兩種（強(qiáng)和弱）手性對(duì)共同極化反射光束的側(cè)向位移會(huì)產(chǎn)生不同的影響[21]。對(duì)于之前的單軸各向異性手性特異材料，沒有考慮實(shí)際制備的材料，以及材料的色散特性，因此，在本文中，我們選擇四重疊旋轉(zhuǎn)Ω 粒子構(gòu)成的手性特異材料[22]，因?yàn)闃?gòu)成單元結(jié)構(gòu)所用的材料為金屬銀，實(shí)際制備時(shí)相對(duì)容易，手性特異材料的單元結(jié)構(gòu)如文獻(xiàn)[22]中圖4 所示。結(jié)合實(shí)際制備的材料通常具有各向異性及色散特性，我們對(duì)基于Ω 粒子的單軸各向異性手性特異材料中的反射光束側(cè)向位移進(jìn)行研究，主要探討入射頻率、入射角、手性材料的厚度對(duì)反射光束側(cè)向位移的正負(fù)及增強(qiáng)的影響。

1 模型和理論

在本文中，基于四重疊旋轉(zhuǎn)銀Ω 粒子構(gòu)造的色散單軸各向異性手性特異材料，其厚度為d，結(jié)構(gòu)如圖1 所示，且光軸沿著oz 方向與界面垂直。手性材料的電磁本構(gòu)關(guān)系為

圖1 光軸垂直于各向異性手性平板材料時(shí)的反射光束共同（交叉）極化分量偏移效應(yīng)Δco（Δcr）示意圖Fig.1 Schematic diagram of reflection beam shifting of the co-polarization（cross-polarization）Δco（Δcr）when optical axis is perpendicular to anisotropic chiral slab

其中：ε0、μ0分別是真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率；[ε]、[μ]和[κ]分別為各向異性手性材料的相對(duì)介電張量、磁導(dǎo)率張量和手性參數(shù)張量，其形式為

在式（2）中，垂直于光軸（橫向）和平行于光軸（縱向）的介電常數(shù)分別為εt和εz，相應(yīng)磁導(dǎo)率為μt和μz，κ是描述電磁耦合的手性參數(shù)?；讦?粒子共振模型，橫向介電分量、磁導(dǎo)率分量及手性參數(shù)的形式[22]為

其中：εb和μb分別為基底材料介電常數(shù)和磁導(dǎo)率；ω0為共振頻率；Ωε、Ωμ和Ωκ為共振項(xiàng)系數(shù)；γ為損耗系數(shù)。

各向異性手性材料中存在兩個(gè)本征模（右旋圓偏振光和左旋圓偏振光），通過推導(dǎo)右旋（左旋）圓偏振光的波數(shù)kR（kL）的表達(dá)式為

其中：

θR（L）是手性材料中右旋圓偏振光和左旋圓偏振光的折射角；R 對(duì)應(yīng)+號(hào)，L 對(duì)應(yīng)-號(hào)。

考慮平面電磁波以角度θi從空氣入射到單軸手性平板材料，在區(qū)域z≤0 中，電磁場(chǎng)可以表示為

在區(qū)域z≥d中，透射電磁場(chǎng)可以表示為

在公式（5）和（6）中省略了時(shí)諧關(guān)系e-iωt，η0=為真空中的波阻抗，透射角和反射角滿足θt=θr=θi，透射和反射波數(shù)滿足kt=kr=ki=k0=。下標(biāo)⊥和‖分別表示平面電磁波的垂直（TE）和平行（TM）分量。

在單軸手性平板區(qū)域0≤z≤d中有四束圓偏振光，電磁場(chǎng)表達(dá)式可以表示為

式中：下標(biāo)R 和L 分別表示右旋圓偏振光和左旋圓偏振光；+號(hào)和-號(hào)分別代表沿+z方向的入射和沿-z方向的反射。

將式（4）代入kR（L）sin θR（L）=k0sin θi，可以求出手性材料中的折射角θR（L）。

根據(jù)z=0 和z=d處的邊界連續(xù)性條件，可以推導(dǎo)出8 個(gè)方程：

式中：Rss和Rsp（Rsp和Rpp）分別表示TE 波（TM 波）入射時(shí)產(chǎn)生的垂直和平行分量的反射系數(shù)；Tss和Tps（Tsp和Tpp）分別表示TE 波（TM 波）入射時(shí)產(chǎn)生的垂直和平行分量的透射系數(shù)。

對(duì)于任意的反射系數(shù)有Rab=，根據(jù)穩(wěn)態(tài)相位法給出反射光束的GH 位移的表達(dá)式為

由于表達(dá)式的解析形式較為復(fù)雜，因此這里就不再給出。其中φab為反射系數(shù)的相位，共同極化反射分量和交叉極化反射分量的GH 位移分別為Δco=Δss（Δpp），Δcr=Δps（Δsp）。

2 分析與討論

為了解單軸手性平板材料中反射光束的偏移效應(yīng)，我們討論了反射光束中共同極化和交叉極化分量的反射率和相對(duì)GH 位移，本文中僅考慮TM波入射的情況。對(duì)于Ω 粒子共振模型，采用含基底材料的參數(shù)模型[22]：εb=3.173 8，μb=0.979 9，ω0=1.865 1 THz，γ=0.055 19ω0，Ωε=0.153 7，Ωμ=0.062 7，Ωκ=0.098 6。對(duì)于手性材料中縱向介電分量與磁導(dǎo)率分量的取值為εz=3+0.01i，μz=1。

圖2 為入射頻率為1.5ω0時(shí)，在不同的手性厚度下，共同（交叉）極化反射分量的反射率和相對(duì)GH 位移Δpp/λ（Δsp/λ）隨入射角的變化情況。首先，對(duì)于共同極化反射分量，當(dāng)手性材料厚度較小時(shí)（d=1.30λ），共同極化反射率隨著入射角出現(xiàn)兩個(gè)極小值，說明存在兩個(gè)布儒斯特角。分析認(rèn)為，由于手性材料中存在右旋圓偏振光和左旋圓偏振光兩種本征傳播模，兩種光波對(duì)應(yīng)的折射角也不相同，而圓偏振光可以分解為垂直分量和平行分量，從而導(dǎo)致反射光束中的平行分量（即共同極化分量）在兩個(gè)不同的入射角處出現(xiàn)極小值，即存在兩個(gè)布儒斯特角。相對(duì)GH 位移Δpp/λ 在兩個(gè)布儒斯特角處均得到增強(qiáng)，負(fù)和正增強(qiáng)分別對(duì)應(yīng)較小和較大的布儒斯特角，相比之下，GH位移的正增強(qiáng)峰值（120λ）要遠(yuǎn)大于負(fù)增強(qiáng)峰值（5λ），如圖2（a）和（c）所示。隨著厚度的增加，其中較小的布儒斯特角出現(xiàn)明顯的右移，即布儒斯特角增大，相對(duì)GH 位移的增強(qiáng)峰也向大角度移動(dòng)并伴隨峰值增大；而對(duì)于較大的布儒斯特角也出現(xiàn)微弱的右移，相對(duì)GH 位移的增強(qiáng)由正變負(fù)。由此可見，通過改變手性材料的厚度，可以實(shí)現(xiàn)GH 位移的正負(fù)增強(qiáng)的轉(zhuǎn)換，同時(shí)在轉(zhuǎn)換過程中出現(xiàn)更大的正增強(qiáng)或負(fù)增強(qiáng)（如圖2（c）中插圖所示）。對(duì)于交叉極化反射分量，如圖2（b）和（d）所示，交叉極化反射率隨入射角出現(xiàn)峰值，并隨著手性材料厚度的增加，峰值變大并向左移動(dòng)，但反射率始終非常小，在10-3數(shù)量級(jí)，說明交叉極化非常弱，相對(duì)GH位移在掠入射時(shí)得到增強(qiáng)，并隨著手性材料厚度的增加，掠入射處的負(fù)增強(qiáng)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鰪?qiáng)。

圖2 不同的手性平板厚度下反射率和相對(duì)GH 位移隨入射角θi 的變化關(guān)系（ω/ω0=1.5）Fig.2 Dependence of the reflectivity and the relative GH shifts on θi for different thickness of the chiral slab（ω/ω0=1.5）

在手性材料厚度不變（d=1.37λ）的情況下，進(jìn)一步考慮不同入射頻率時(shí)，共同（交叉）極化反射分量的反射率和相對(duì)GH 位移Δpp/λ（Δsp/λ）隨入射角的變化情況。從圖中可以看出，對(duì)于共同極化反射分量（如圖3（a）和（c）所示），存在兩個(gè)布儒斯特角，使得相對(duì)GH 位移Δpp/λ在兩個(gè)布儒斯特角處均得到增強(qiáng)；隨著入射頻率的增加，較小的布儒斯特角出現(xiàn)明顯的右移，導(dǎo)致相對(duì)GH 位移增強(qiáng)峰向大角度移動(dòng)，同時(shí)增強(qiáng)峰的峰值變大；而對(duì)于較大的布儒斯特角出現(xiàn)左移，增強(qiáng)的GH 位移由正到負(fù)的轉(zhuǎn)變過程中出現(xiàn)更大的正增強(qiáng)和負(fù)增強(qiáng)，由圖3（c）插圖中可見。另外，對(duì)于交叉極化反射分量，反射率出現(xiàn)峰值，導(dǎo)致相對(duì)GH 位移在掠入射時(shí)得到增強(qiáng)；隨著入射頻率的增大反射率的峰值減小并左移，而GH 位移在掠入射處的增強(qiáng)由負(fù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎?，如圖3（b）和（d）所示。綜合圖2 和圖3，可以通過微調(diào)手性材料的厚度及入射頻率，實(shí)現(xiàn)共同極化分量相對(duì)GH 位移在大布儒斯特角處由正增強(qiáng)轉(zhuǎn)變?yōu)樨?fù)增強(qiáng)。

圖3 不同入射頻率下反射率和相對(duì)GH 位移隨入射角θi 的變化關(guān)系（d/λ=1.37）Fig.3 Dependence of the reflectivity and the relative GH shifts on θi for different frequencies（d/λ=1.37）

為了清晰地看出反射光束的相對(duì)GH 位移在大布儒斯特角處隨厚度的變化情況，我們選定入射角θi=64°，給出不同頻率下相對(duì)GH 位移隨厚度的變化情況，如圖4 所示。結(jié)果顯示：對(duì)于共同極化（如圖4（a）所示），相對(duì)GH 位移Δpp/λ的正負(fù)轉(zhuǎn)換隨厚度始終呈現(xiàn)周期性振蕩，周期約為λ/3；同時(shí)，對(duì)于不同的頻率，Δpp/λ在不同的厚度處出現(xiàn)極大的正增強(qiáng)和負(fù)增強(qiáng)，并實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換，隨著頻率的微小增大，相對(duì)GH 位移的正負(fù)增強(qiáng)的轉(zhuǎn)換向厚度較大處移動(dòng)。對(duì)于交叉極化，相對(duì)GH 位移Δsp/λ隨著厚度出現(xiàn)周期性的峰值，且厚度越大峰值也越大，但整體位移量較小，增強(qiáng)不明顯；頻率的增大對(duì)位移峰值幾乎沒有影響，僅使得峰值的位置略向厚度較小處移動(dòng)，如圖4（b）中插圖所示。由此可見，頻率對(duì)共同極化的相對(duì)GH 位移影響較大，而對(duì)交叉極化的影響較小。

圖4 不同的入射頻率下相對(duì)GH 位移隨厚度d/λ 的變化關(guān)系（θi=64°）Fig.4 Dependence of the relative GH shifts on d/λ for different frequencies（θi=64°）

最后，圖5 中我們給出了在厚度一定（d=1.37λ）的情況下，在大布儒斯特角附近，共同極化的相對(duì)GH 位移Δpp/λ頻譜。從圖5（a）中可以看出，相對(duì)GH 位移在ω/ω0為1～2 范圍內(nèi)，在兩個(gè)頻率處分別出現(xiàn)增強(qiáng)。對(duì)于ω/ω0＜1.2，隨著入射角的微小增大，相對(duì)GH 位移出現(xiàn)正增強(qiáng)峰值增大同時(shí)向低頻稍有移動(dòng)。而對(duì)于ω/ω0＞1.2，當(dāng)入射角由64.2°變?yōu)?4.6°時(shí)，相對(duì)GH 位移的增強(qiáng)峰向低頻移動(dòng)，同時(shí)由負(fù)增強(qiáng)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鰪?qiáng)，并在入射頻率為1.425ω0處出現(xiàn)零偏移?？梢?，相對(duì)GH 位移的正負(fù)增強(qiáng)的轉(zhuǎn)變對(duì)入射角非常敏感。在圖5（b）中，我們給出了微調(diào)入射角的情況下，相對(duì)GH 位移的頻譜。從圖中可以看出，相對(duì)GH 位移隨頻率出現(xiàn)負(fù)增強(qiáng)或正增強(qiáng)，增強(qiáng)值的量級(jí)可達(dá)103，同時(shí)，當(dāng)入射角從64.42°變化到64.48°時(shí)，相對(duì)GH 位移可實(shí)現(xiàn)負(fù)增強(qiáng)到正增強(qiáng)的轉(zhuǎn)變。

圖5 不同的入射角下共同極化相對(duì)GH 位移隨頻率ω/ω0 的變化關(guān)系（d/λ=1.37）Fig.5 Dependence of the relative GH shifts on ω/ω0 for different incident angles（d/λ=1.37）

3 結(jié)論

本文中，我們構(gòu)建了基于Ω 粒子的具有色散的各向異性手性平板材料，推導(dǎo)了任意極化波入射時(shí)，手性平板材料中的反射系數(shù)和透射系數(shù)，并根據(jù)穩(wěn)態(tài)相位法，給出了反射光束側(cè)向（GH）位移的表達(dá)形式，并對(duì)TM 波入射時(shí)，反射光束中共同極化分量和交叉極化分量的GH 位移進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果顯示，在TM 波入射時(shí)，TM 波產(chǎn)生的TM 反射分量較強(qiáng)，而產(chǎn)生的TE 反射分量較弱，說明共同極化較強(qiáng)而交叉極化較弱。

在平板厚度不變的情況下，對(duì)于交叉極化反射率不存在布儒斯特角，而共同極化反射率存在布儒斯特角，從而導(dǎo)致交叉極化反射光束的GH 位移在掠入射時(shí)得到增強(qiáng)，而共同極化反射光束的GH位移在布儒斯特角附近得到增強(qiáng)。交叉極化反射光束的GH 位移基本不受手性材料參數(shù)的影響，而對(duì)于共同極化反射光束的GH 位移，隨著手性材料參數(shù)的增大，GH 位移增強(qiáng)峰的位置與布儒斯特角均向大入射角方向移動(dòng)。結(jié)果還顯示，在手性參數(shù)保持不變的情況下，可以通過改變手性平板的厚度，獲得交叉極化反射率的增強(qiáng)，并使GH 位移在掠入射時(shí)實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)及正和負(fù)的轉(zhuǎn)變；對(duì)于共同極化反射光束來說，手性平板厚度對(duì)布儒斯特角的大小影響不大，但可以使GH 位移在布儒斯特角附近不僅實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)，還可以實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)GH 位移的正負(fù)轉(zhuǎn)變的調(diào)控。最后，我們發(fā)現(xiàn)交叉極化和共同極化反射率都隨平板厚度呈現(xiàn)周期性的振蕩，從而導(dǎo)致了反射光束的GH 位移也隨平板厚度呈現(xiàn)振蕩，尤其是共同極化反射光束的GH 位移隨平板厚度的周期性振蕩更為明顯。共同極化反射光束的GH 位移在布儒斯特角附近實(shí)現(xiàn)由正到負(fù)的轉(zhuǎn)變，并隨著入射頻率的增大，布儒斯特角向大厚度移動(dòng)，從而使得GH 增強(qiáng)位移的正負(fù)轉(zhuǎn)變也向大厚度移動(dòng)。