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    一道無(wú)理型三角形不等式及其衍生

    2017-01-12 06:05:10浙江省湖州市雙林中學(xué)李建潮
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年17期
    關(guān)鍵詞:證法同理通報(bào)

    ☉浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮

    一道無(wú)理型三角形不等式及其衍生

    ☉浙江省湖州市雙林中學(xué) 李建潮

    問(wèn)題1(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2015年9月號(hào)問(wèn)題2263 以下稱問(wèn)題2263)在△ABC中,求證:

    本人在對(duì)問(wèn)題2263的證法探究中不經(jīng)意間獲得了它的加強(qiáng);“無(wú)意插柳”間優(yōu)化了數(shù)學(xué)通報(bào)的其他個(gè)別問(wèn)題;在類比中,衍生出新的無(wú)理型三角形不等式……

    一、問(wèn)題2263的新證與加強(qiáng)

    新證:在△ABC中,

    結(jié)合二維柯西(Cauchy)不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,有

    同理

    (2)+(3)+(4),并利用文[1]三角形不等式:

    據(jù)此,問(wèn)題2263加強(qiáng)為:

    定理1 在△ABC中,有

    二、問(wèn)題2263的弦“外”之音

    問(wèn)題2 設(shè)△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r(本文下同),證明:

    (《數(shù)學(xué)通報(bào)》2007年8月號(hào)問(wèn)題1779)

    問(wèn)題3 在△ABC中,求證:

    (《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年9月號(hào)問(wèn)題2083)

    所以,問(wèn)題2與問(wèn)題3可一并優(yōu)化為:

    結(jié)論1 在△ABC中,有

    順?biāo)浦?,看下述?wèn)題:

    問(wèn)題4 在銳角△ABC中,試證:

    (《數(shù)學(xué)通報(bào)》2005年7月號(hào)問(wèn)題1561)

    同理

    (13)+(14)+(15),并應(yīng)用(5)、(7)與(10)三式,可得

    從以上分析看,并沒(méi)有用到“銳角三角形”條件,所以,問(wèn)題4可優(yōu)化為:

    結(jié)論2 在△ABC中,有

    三、問(wèn)題2263的衍生

    無(wú)獨(dú)有偶,作為問(wèn)題2263的類比,我們自然提出下述問(wèn)題:

    問(wèn)題5 在△ABC中,證明或否定:

    筆者試圖仿照問(wèn)題2263的證法去獲取證明,但沒(méi)有成功.轉(zhuǎn)而又嘗試用平方法,終于大功告成.其間需要下述中間結(jié)論:

    定理2 在△ABC中,有

    證明:先證(18):

    同理

    (20)+(21)+(22),(18)式獲證.

    再證(19):

    仿問(wèn)題2263證明,并應(yīng)用(18)式,有

    定理2獲證.

    下證問(wèn)題5(即(17)式):由結(jié)論2、定理2的(19)式及結(jié)論1,可得

    定理3 在△ABC中,有

    四、問(wèn)題2263的又一個(gè)加強(qiáng)

    由定理2(19)式的成功建立,用類似的證明方法不難獲得問(wèn)題2263的下述又一個(gè)加強(qiáng):

    定理4 在△ABC中,有

    并且Q+T≥3(其中Q的意義同定理2的(19)式).

    本文值得注意的一個(gè)地方是定理2的(18)式的構(gòu)想與創(chuàng)立(她是獲取定理3的基石),實(shí)乃是向“0”要“正數(shù)”的一種奇特?cái)?shù)學(xué)思想,堪稱不等式證明之精髓.

    1.李建潮.一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“熱能”效應(yīng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2008(6).

    2.許雪芬,李建潮.由一個(gè)三角形不等式引發(fā)的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2015(11).

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