一類三次退化中心的極限環(huán)擾動(dòng)

吳奎霖

（貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系，貴陽 550025）

一類三次退化中心的極限環(huán)擾動(dòng)

吳奎霖

（貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系，貴陽 550025）

研究了一類三次退化中心的極限環(huán)分支問題.通過計(jì)算一階Melnikov函數(shù)，得到了退化中心的周期環(huán)域在任意小擾動(dòng)下分支出極限環(huán)的個(gè)數(shù).

退化中心；極限環(huán)；Abel積分

平面微分系統(tǒng)的一個(gè)奇點(diǎn)E稱為一個(gè)中心,如果E的一個(gè)鄰域全由圍繞它的周期軌道組成.這樣最大的鄰域稱為中心的周期環(huán)域，通常記為P.對(duì)一般的可積微分系統(tǒng)

不妨設(shè)原點(diǎn)O（0，0）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)中心，設(shè)H（x，y）是其首次積分.圍繞O（0，0）的周期環(huán)域記為P：={γh：H（x，y）=h，h∈Σ}，其中Σ為h的極大區(qū)間，使得軌道γh：H（x，y）=h是系統(tǒng)（1）的周期軌道.孤立的周期軌道稱為極限環(huán)，極限環(huán)個(gè)數(shù)問題的研究涉及到Arnold［1］提出弱化Hilbert第十六問題：考慮如下的哈密頓系統(tǒng)擾動(dòng)

其中H是變量x，y的m次多項(xiàng)式，{（x，y）|H（x，y）=h，h∈（α，β）}定義了一族圍繞中心的周期軌道，α、β是周期環(huán)域邊界對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)值，ε是充分小的正參數(shù)，其pn（x，y）和qn（x，y）是變量x、y的次數(shù)至多為n的多項(xiàng)式.問A-bel積分

孤立零點(diǎn)的最大個(gè)數(shù)Z（m，n）？Z（m，n）則是系統(tǒng)（2）ε=0的周期環(huán)域在n次小擾動(dòng)下分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的最小上界.弱化Hilbert第16問題只對(duì)n=2［2］的情形得到了徹底的解決，即Z（2，2）= 2.本文考慮下面多項(xiàng)式系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題

其中fk（x，y）和gk（x，y）是變量x和y的k次齊次多項(xiàng)式，μ為一實(shí)數(shù)，0＜ε＜1.文獻(xiàn)［3］證明了下面微分系統(tǒng)

解析可積當(dāng)且僅當(dāng)它形式等價(jià)于系統(tǒng)（3）ε=0.系統(tǒng)（3）ε=0的首次積分為

當(dāng)-1＜μ≤1時(shí)，原點(diǎn)O（0，0）是系統(tǒng)（3）ε=0的退化中心，其周期環(huán)域

主要結(jié)論的證明

定理1的證明需用到下面類型的廣義三角函數(shù)，其性質(zhì)如下：

Csθ、Snθ是有相同周期的周期函數(shù)，設(shè)其周期為T.

要解決系統(tǒng)（3）ε=0的周期環(huán)域的極限環(huán)分支問題，首先需要研究下面這些Abel積分

由分部積分有

定理1的證明:我們分兩種情況討論，第一種情況：-1＜μ＜1，這時(shí)令

由式子（4）和（5）可知只需要考慮如下類型的Abel積分

其中

因此

第二種情況：μ=1，這時(shí)系統(tǒng)（3）ε=0的首次積分為

其中ak是一個(gè)與參數(shù)k有關(guān)，與h無關(guān)的實(shí)數(shù). Abel積分

綜合以上兩種情況討論，定理1得證.

［1］V.I.Arnold,Arnold.s problems,Berlin Heidel-berg and PHASIS Moscow［M］,Springer-Verlag,2004.

［2］F.Chen,C.Li,A unified proof on the weak Hilbert 16th problem for n=2［J］,J.Diff.Eqns.,221（2）, 2006,309-342.

［3］A.Algaba,C.Garc1a,J.Gine,Analytic integrability for some degenerate planar systems［J］,Commun.Pure Appl.Anal.12（6）（2013）2797-2809.

［4］A.Buic?,J.Giné,J.Llibre,Bifurcation of limit cycles fromapolynomialdegeneratecenter［J］,Advanced Nonlinear Studies 10（2010）,597-609.

［5］J.Llibre,C.Pantazi,Limit cycles bifurcating from a degenerate center［J］,Mathematics and Computers in Simulation 120（2016）,1-11.

［責(zé)任編輯：劉向紅］

Bifurcation of Limit Cycles from a Cubic Degenerate Center

WU Kuilin

（Department of Mathematics,Guizhou University,Guiyang,550025.）

In this paper,we deal with the bifurcation problem of limit cycles of a class of cubic degenerate centers.By computing the first order Melnikov function,we obtain that the number of limit cycles bifurcating from the period annulus of the cubic degenerate centers.

Degenerate center;Limit cycle;Abelian integral

O 123.4

A

1672-402X（2016）11-0006-02

2016-04-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（編號(hào)：11301105，主持人：吳奎霖），貴州省科學(xué)基金基金［黔科合J字(2015) 2036號(hào)］

吳奎霖（1981-），男，貴州貴陽人，博士，貴州大學(xué)數(shù)學(xué)系教師.研究方向：常微分方程及應(yīng)用.