級數(shù)1/2i=1在魯津定理和葉果洛夫定理證明中的應(yīng)用

鄭 福，張成林

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121003)

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鄭 福*，張成林

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121003)

可測函數(shù);幾乎處處收斂；幾乎一致收斂；依測度收斂

0 引言

眾所周知，學(xué)習(xí)實變函數(shù)論難免要過可測函數(shù)這一關(guān)，但是剛剛學(xué)習(xí)實變函數(shù)的學(xué)生只對連續(xù)函數(shù)印象深刻，勢必對可測函數(shù)比較陌生，這樣在教學(xué)的過程中盡快讓學(xué)生弄清可測函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的關(guān)系就比較重要. 由可測函數(shù)的定義和拓?fù)鋵W(xué)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的等價刻畫易知連續(xù)函數(shù)必是可測函數(shù). 除此之外，在實變函數(shù)論中還給出了可測函數(shù)和連續(xù)函數(shù)更精確的關(guān)系，即可測函數(shù)必和某一連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等，說明可測函數(shù)離我們并不遙遠(yuǎn)，這就是著名的魯津定理.

學(xué)習(xí)可測函數(shù)，除了需掌握其基本性質(zhì)和等價定義外，還需掌握可測函數(shù)列的收斂性.在當(dāng)今流行的教材中都會介紹可測函數(shù)的三種收斂性：幾乎處處收斂、幾乎一致收斂和依測度收斂〔1-4〕.由定義和簡單推導(dǎo)易知幾乎一致收斂蘊含幾乎處處收斂，幾乎處處收斂蘊含依測度收斂，但反之均未必成立，這樣的反例可在文獻〔1-3〕中找到. 然而，葉果洛夫和Riesz分別給出合適條件證明了幾乎處處收斂蘊含幾乎一致收斂和依測度收斂蘊含存在子列幾乎處處收斂，這就是實變函數(shù)論中熟知的葉果洛夫定理和Riesz定理.

1 魯津定理

在本文，N代表自然數(shù)集，m(A)代表集合A的勒貝格測度.讓我們先分析魯津定理及其證明，為此先介紹一個引理.

引理1 設(shè)f(x) 是可測集E上的有界可測函數(shù)，則存在簡單可測函數(shù)列{φn(x)}使得|φn(x)|≤f(x)，且limn→∞supx∈E|φn(x)-f(x)|=0.

證明 首先假設(shè)f(x)是可測集E上的非負(fù)可測函數(shù).由于f(x)是有界的，故不妨假設(shè)f(x)≤j，其中j為某一個固定的正整數(shù).對任意的正整數(shù)k和i=1,2,…， j2k，令

則φk(x)≤f(x)且

所以limn→∞supx∈E|φn(x)-f(x)|=0,即引理結(jié)論對非負(fù)可測函數(shù)成立.對一般可測函數(shù)可將其表示成正部與負(fù)部之差，而正部與負(fù)部都是非負(fù)可測函數(shù)，由上面的證明和簡單計算易知引理結(jié)論成立.

利用此引理和可測函數(shù)的基本知識可證明如下的魯津定理.

定理1 (魯津定理)：設(shè)f(x)是可測集E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任給δ>0存在E中的一個閉集F，滿足m(EF)<δ,使得f(x)是F上的連續(xù)函數(shù).

證明 因為m(E(|f|=+∞))=0，所以不妨假定f(x)是處處有限的.首先設(shè)f(x)是簡單函數(shù)，即

其次，考慮f(x)是一般可測函數(shù)的情形.由于可作變換

(1)

因為每個{φk(x)}在F上都是連續(xù)的，由一致連續(xù)性，易知f(x)在F上連續(xù).

2 葉果洛夫定理

首先給出幾乎處處收斂和幾乎一致收斂的定義.這兩種收斂之間的關(guān)系已在引言中給出，在此不再重復(fù).設(shè)f(x),f1(x),…,fk(x),…是定義在點集E?Rn上的可測函數(shù)列.

定義1 若存在E中點集Z，有m(Z)=0，及對每個元素x∈E，有

limn→∞fk(x)=f(x)，則稱fk(x)在E上幾乎處處收斂于f(x).

定義2 若對?δ>0，?Eδ?E，使得m(EEδ)<δ，而在Eδ上序列fk(x)一致收斂到f(k)，則稱fk(x)在E上幾乎一致收斂于f(x).

定理2 葉果洛夫定理)設(shè)f(x)，f1(x)，…，fk(x)，… 是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù)集，并且m(E)<∞.若fk(x)在 上幾乎處處收斂于f(x)，則fk(x)在E上幾乎一致收斂于f(x).

(2)

(3)

(4)

(5)

因此可見在Eδ上，fk(x)一致收斂于f(x)，因此fk(x)幾乎一致收斂到f(x).

注2. 在式(2)中，我們并沒有利用比較難理解的上限集和下限集記號，有些作者〔1-3〕利用這兩個記號的目的主要是為了書寫上方便，然而卻增加了理解證明的難度.定理證明中(3)式之前部分是非?；镜模挥玫搅藬?shù)學(xué)分析中數(shù)列收斂的等價判定方法和簡單的測度理論.驗證(3)式成立時用到了對于有界單調(diào)可測集合列，取極限和取測度可交換順序，這里用到了定理中的條件m(E)<∞，若沒有這個條件，整個葉果洛夫定理就不成立，這樣的反例也可在文獻〔1-3〕中找到.

這樣，我們可以這么來分析葉果洛夫定理的證明.從證明開始到(3)式前面部分，是由條件經(jīng)過若干步推導(dǎo)得到的；從定理的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過若干步推導(dǎo)得到式(4)后面部分；(3)式到(4)式是調(diào)整部分，為使條件部分和結(jié)論部分能吻合，做了相應(yīng)調(diào)整，即(3)式和(4)式中間的那句話.從而將整個定理證明分成三小部分，先對其單獨理解，然后再整體分析，那么證明的思路就清晰了.事實上，這種思想方法在某些重要定理的證明中是普遍使用的，如果能對這種思想方法熟練掌握，既能快速理解某些定理的證明，又能培養(yǎng)自己的分析能力，為今后自己發(fā)現(xiàn)某些定理奠定基礎(chǔ).

3 結(jié)論

〔1〕程其襄,張奠宙,魏國強.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)〔M〕.高等教育出版社， 2010.

〔2〕郭懋正.實變函數(shù)與泛函分析〔M〕. 北京大學(xué)出版社， 2009.

〔3〕王聲望，鄭維行. 實變函數(shù)與泛函分析概要〔M〕. 高等教育出版社， 2005.

〔4〕W.Rudin.Real and complex analysis〔M〕. McGraw-Hill, 1973.

〔5〕吳鴻儒,趙煥光.關(guān)于可測函數(shù)中幾個著名定理的等價性〔J〕. 浙江師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1986， 10(1)： 76-80.

〔6〕李賢喻.葉果洛夫定理證明的簡化〔J〕.江西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1986, 10(1)： 27-29.

〔7〕溫華永.葉果洛夫定理的一個新證明〔J〕.四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2000， 23(6)： 576-577.

〔8〕王申，楊天茁.向量值函數(shù)的葉果洛夫定理及等價性〔J〕.吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2003, 24(2)： 68-70.

〔9〕錢偉懿. 關(guān)于交錯級數(shù)的一個審斂準(zhǔn)則〔J〕.渤海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2011, 32(1)： 1-4.

ZHENG Fu, ZHANG Cheng-lin

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013，China)

measurable function; a.e. convergence; a.e. uniform convergence; convergence with measure

2016-04-08.

國家自然科學(xué)基金項目(No:11201037).

鄭福(1977-)，男，博士，副教授，主要從事算子半群理論及其應(yīng)用方面的研究.

zhengfu@amss.ac.cn.

O174.1

A

1673-0569(2016)04-0289-04