“方程的意義”教學(xué)賞析

周瑩

對(duì)教材中呈現(xiàn)的列方程法解決問(wèn)題的例題，學(xué)生感受不到方程的優(yōu)勢(shì)，反而總感覺(jué)它書(shū)寫(xiě)過(guò)程煩瑣，沒(méi)有明確要求時(shí)不愿列方程，更喜歡用算式法解決問(wèn)題，要求列方程解決問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)用算術(shù)思路思考問(wèn)題，再在等號(hào)后面寫(xiě)“x”。很多一線教師常被這些問(wèn)題困擾著……

我跟隨京、蘇、粵、浙四省市中小學(xué)卓越教師培訓(xùn)班來(lái)到廣州中山，有幸聽(tīng)到了廣東省著名特級(jí)教師劉燕老師執(zhí)教的“方程的意義”，使我茅塞頓開(kāi)，在此與各位同仁分享。

片段一：?jiǎn)拘阉季S，悟本質(zhì)

師：數(shù)學(xué)難不難??！一起來(lái)看一看。（出示下圖）

師：難嗎？會(huì)嗎？

生：不難，很容易的，8-2=6。

師：一年級(jí)有個(gè)小朋友叫小芳，她也是這樣做的。還有一個(gè)叫小明，他想呀想，“要列一個(gè)怎么樣的算式才能表示籃子里的球呢？”他順著算式的意思，籃子里的球不知道是幾個(gè)，他就空著，又拿來(lái)兩個(gè)他就……

生：加2。

師：現(xiàn)在籃子里有……

生：等于8。

師：看著算式發(fā)現(xiàn)方框里有6個(gè)球，就寫(xiě)下了這樣一道算式（6+2=8）。他終于做出來(lái)了，不過(guò)遇到一個(gè)麻煩，你知道是什么麻煩嗎？

生：這樣列算式別人不知道誰(shuí)是答案了。

師：你能幫小明想想辦法嗎？

生1：用括號(hào)表示不知道的數(shù)，算式寫(xiě)成“（ ）+2=8”。

生2：把未知數(shù)改成x，算式寫(xiě)成“x+2=8”。

師：還可以用什么符號(hào)表示未知的“6”呢？

生：?jiǎn)柼?hào)、方框、圓圈，隨便什么符號(hào)都可以的……

師：古代有個(gè)數(shù)學(xué)家也選擇了用x表示未知數(shù)，我們把這個(gè)方法寫(xiě)下來(lái)。

師：（出示：原來(lái)盤(pán)子里有一些蘋(píng)果，吃掉了7個(gè)，還剩3個(gè)，原來(lái)盤(pán)子里有多少個(gè)蘋(píng)果？）這個(gè)問(wèn)題怎么解決？

生：7+3=10（個(gè)）。

師：小明又不知道怎么才能等于盤(pán)子里的蘋(píng)果了。他順著題目的意思列了一道有x的式子。猜一猜他的式子是怎么樣的？

生1：7+3=x。

生2：x-7=3。

師：你覺(jué)得哪個(gè)更可能是小明的式子？你是怎么想的？

生：x-7=3，盤(pán)子里有一些蘋(píng)果，小明就用x表示，吃掉了7個(gè)就是減7，還剩3個(gè)就等于3了。剛好是順著題目的意思。

師：（出示：爸爸今年36歲，小紅年齡的3倍剛好和爸爸的年齡一樣，小紅今年多少歲？）小芳會(huì)怎樣做？

生：36÷3=12。

師：小明又請(qǐng)來(lái)x，他會(huì)寫(xiě)一道怎樣的算式？

生：x×3=36。

師：小明是怎么想的？

生：用x表示小紅的年齡，她年齡的3倍就是x乘3，也就是爸爸的年齡等于36。

師：一轉(zhuǎn)眼，他們讀到了三年級(jí)。（出示：一個(gè)數(shù)加上31、減去56等于320，這個(gè)數(shù)是多少？）

師：小芳和小明各自會(huì)怎么做？把算式寫(xiě)下來(lái)，只列式不計(jì)算。

（教師巡視，兩名學(xué)生板演小芳和小明各自的做法。）

師：（指“x+31-56=320”）認(rèn)為對(duì)的同學(xué)請(qǐng)舉手，容易判斷嗎？怎么判斷？

生：順著題目，“一個(gè)數(shù)”就用x表示，加上31減去56等于320。很簡(jiǎn)單，一點(diǎn)不用動(dòng)腦筋的。

師：再來(lái)看看小芳的方法，她是怎么想的？

生：原來(lái)減去56就把它加回來(lái)，原來(lái)加上31就要把它減下去。

（學(xué)生輕聲說(shuō)：“小芳是學(xué)霸?！保?/p>

師：大家對(duì)小芳表示很欽佩！他們讀呀讀，讀到了……

生：四年級(jí)。

師：（出示：某風(fēng)景區(qū)兒童票價(jià)格的2倍多5元，剛好是成人票的價(jià)格145元再加10元。兒童票的價(jià)格是多少元？）

師：小明的方法？

生1：x×2+5=145+10。

師：同意的給他掌聲，x表示……

生：x表示兒童票價(jià)格。

師：再來(lái)看看小芳的方法。

生1：（140-5）÷2+10。

生2：這個(gè)做法不對(duì)，應(yīng)該是（145+10-5）÷2，因?yàn)椤?/p>

師：你覺(jué)得這題目誰(shuí)的算式比較容易想？

賞析：把“未知”當(dāng)作“已知”，順著題目的意思列算式，正是方程法解決問(wèn)題的思考方式。這種跟問(wèn)題情境表達(dá)一致的順向思考方式，卻隨著算術(shù)法解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的增加與訓(xùn)練的加強(qiáng)，漸漸地被學(xué)生遺忘了。教師從一年級(jí)的看圖解決問(wèn)題開(kāi)始，喚醒順向思維，突顯方程順向表達(dá)數(shù)量關(guān)系的事實(shí)。在猜測(cè)“小明會(huì)怎么做？”的過(guò)程中，激發(fā)這種因習(xí)慣于算術(shù)法而“被深埋”的思考方式，引導(dǎo)學(xué)生一步一步找回按照順向思維列算式的記憶。隨著題目難度的逐步加深，學(xué)生終于發(fā)出“小芳是學(xué)霸！”的感嘆，真切地感悟到了列方程算式在思維上的便捷。讓學(xué)生真正從心里喜歡上了方程，從而樂(lè)學(xué)、學(xué)好方程這一新知。

片段二：對(duì)比分析，明形式

師：他們的算式有什么相同和什么不同的地方？同桌之間先說(shuō)一說(shuō)。

師：（同桌互說(shuō)后反饋）有什么不同？

生1：小明一直在用未知數(shù)x，小芳的算式里沒(méi)有未知數(shù)。

生2：小明的方法只要順著題目的意思寫(xiě)出算式，不太會(huì)出錯(cuò)。小芳的方法有時(shí)候有點(diǎn)難。

師：有什么相同？

生1：都用了已知條件。

生2：算出來(lái)的答案都是一樣的。

生3：都有等號(hào)。

師：哦！他們列出來(lái)的都是等式。

師：像小明的方法這樣，有未知數(shù)的等式我們叫方程。這節(jié)課就來(lái)學(xué)習(xí)方程的意義。（板書(shū)課題）

師：其實(shí)方程在很早之前就有了。

（出示數(shù)學(xué)史，講述方程的發(fā)展過(guò)程。）

師：未知數(shù)可以用x表示，還可以用……

生：用y，或者其他的字母都可以的。

賞析：教師借助小芳和小明兩組算式的對(duì)比，揭示方程的形式定義——含有未知數(shù)的等式叫方程。借助方程文化背景的介紹完善學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí)。有人這樣形容過(guò)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系：“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育是使面包與黃油更加可口的蜂蜜。”這一環(huán)節(jié)中，方程發(fā)展過(guò)程的簡(jiǎn)要介紹，用時(shí)不多，卻讓學(xué)生知道了無(wú)論是三千多年前的古埃及還是兩千多年前的中國(guó)，都有關(guān)于方程的記載，四百多年前開(kāi)始使用字母來(lái)表示未知數(shù)，三百年前笛卡爾首次使用26個(gè)字母的后面幾個(gè)“x、y、z”表示未知數(shù)沿用至今。使學(xué)生進(jìn)一步明確現(xiàn)在我們所看到的方程只是經(jīng)過(guò)多年的改變一直沿用至今的一種外在形式。

片段三：圖符轉(zhuǎn)化，促理解

師：如果兩邊這樣放東西，你說(shuō)天平會(huì)怎樣？做個(gè)手勢(shì)！

師：當(dāng)天平左右兩邊放的重量是一樣的時(shí)候，和我們方程中左右相等的性質(zhì)是一樣的……

師：當(dāng)天平中有某一邊有物體的重量不知道，就和含有未知數(shù)的性質(zhì)是一致的，人們很喜歡借助天平來(lái)認(rèn)識(shí)方程。

師：看這個(gè)天平，你能根據(jù)這個(gè)天平來(lái)列一個(gè)方程嗎？

生：x+45=110+50。

師：把兩邊的物體對(duì)調(diào)一下，你能再列一道方程嗎？

生：110+50=x+45。

師：（出示下圖）這里有根據(jù)四個(gè)天平寫(xiě)的四個(gè)式子，你覺(jué)得哪個(gè)是方程？

生：③號(hào)是方程。

師：你們都覺(jué)得③號(hào)是方程？為什么④號(hào)不是方程呢？

生：④號(hào)里沒(méi)有未知數(shù)。

師：①號(hào)和②號(hào)都有未知數(shù)，為什么不是方程呢？

生：因?yàn)樗鼈冏笥覂蛇叢幌嗟取?/p>

師：我給你一個(gè)方程，你能不能根據(jù)一個(gè)方程畫(huà)出天平？（教師示范畫(huà)第一個(gè)方程）

師：想表示哪一道？試試第三道“x乘3等于36”。

師：畫(huà)完的同學(xué)可以試試畫(huà)第五道……

賞析：本環(huán)節(jié)教師借助看天平寫(xiě)方程和不等式以及對(duì)方程的判斷，鞏固方程的形式定義。使學(xué)生進(jìn)一步明確方程形式定義的兩個(gè)要素，“等式”和“含有未知數(shù)”。在借助天平學(xué)習(xí)方程的過(guò)程中，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)層次，先由“圖”到“符號(hào)”再由“符號(hào)”到“圖”，在圖與符號(hào)相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生對(duì)方程等價(jià)屬性的理解。

片段四：左右變化，謀深化

師：現(xiàn)在我要出一道高難度的題目考考你，你能根據(jù)它（出示下圖）來(lái)列一道方程嗎？先和同桌說(shuō)一下。

生：800+150+50=400+x+x+150+50。

師：這么難都行！再挑戰(zhàn)一下，從天平兩邊去掉一點(diǎn)東西，創(chuàng)造一個(gè)新的方程。

生：兩邊各去掉一顆草莓，方程是“800+150=400+x+x+150”。

生：把兩邊的梨也都去掉，方程是“800=400+x+x”。

師：還能再變嗎？

（學(xué)生沒(méi)有反應(yīng)）

師：老師提示一下，你們可以把西瓜……

生1：把西瓜去掉一半，把菠蘿也去掉，天平還是平衡的。

生2：對(duì)的，可以的，這時(shí)候方程是400=2×x。

師：還能再去掉嗎？

生：把西瓜再去掉一半，方程是200=x。

賞析：這是一個(gè)課堂延伸的環(huán)節(jié)，本節(jié)課旨在理解方程的本質(zhì)屬性，初步體會(huì)方程法解決問(wèn)題的思考方式——“用數(shù)學(xué)的符號(hào)把兩件事情等價(jià)表達(dá)出來(lái)”。教師在課尾利用天平的直觀，以“從天平兩邊去掉一點(diǎn)東西，創(chuàng)造新的方程”這個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生加工目前的相等關(guān)系，在不破壞平衡的前提下改變，繼而寫(xiě)出新的方程。而這正是應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程的關(guān)鍵。因?yàn)橛辛颂炱降闹庇^，學(xué)生輕而易舉地想到了“兩邊各去掉一顆草莓”“把兩邊的梨也都去掉”，在單個(gè)的水果都拿掉以后，面對(duì)左邊只有一個(gè)西瓜的天平，學(xué)生的思維受挫，經(jīng)過(guò)教師的提示，找到了解決策略。就這樣，教師借助寫(xiě)新的方程，悄無(wú)聲息地領(lǐng)著學(xué)生體驗(yàn)了一次解方程的過(guò)程。雖然教師沒(méi)有點(diǎn)破，這次體驗(yàn)卻為后面解方程的學(xué)習(xí)積累寶貴經(jīng)驗(yàn)。