“極限思想”巧妙破解超越函數(shù)圖像客觀題

曾光

綜觀高考數(shù)學(xué)試題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一道超越函數(shù)的圖像客觀題，難度中等，但往往令同學(xué)們感到比較頭疼.為什么呢？原因是這類題沒什么規(guī)律可循，題風(fēng)十分飄忽，不好捉摸.如2016年全國(guó)高考1卷理數(shù)第7題.題目如下：

【2016年全國(guó)卷理7】函數(shù)y=2x2-e|x|在[–2，2]的圖像大致為（ ）

【評(píng)析】本題的得分率較低，很容易選錯(cuò).首先，不少同學(xué)考慮用特殊值法，將x=0代入，發(fā)現(xiàn)沒有作用，繼而把x=2代入，得y=8-e2，部分同學(xué)記得e≈2.7，求得y>0，排除了A.而剩下的B，C，D就沒有什么辦法去篩選了.包括常用的函數(shù)性質(zhì)奇偶性和單調(diào)性也不起作用.很多同學(xué)這時(shí)候已經(jīng)束手無策了！這時(shí)我們可以研究一下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，y′=4x-ex，由y=4x和y=ex的圖像可知有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)x>0時(shí)，y有兩個(gè)極值點(diǎn)，第一個(gè)介于0.5～1之間，因此選B.

實(shí)際上，超越函數(shù)的圖像客觀題看起來沒有規(guī)律，然而通過探索發(fā)現(xiàn)，基本可以通過以下三步去解決：

第一. 用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)）進(jìn)行篩選.

第二. 代入特殊值進(jìn)行篩選.常代x=0和x=1.

第三. 用“極限”的思想去篩選.

注意：1.以上三步并無固定的順序，可根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選擇先用哪一步，后用哪一步.

2. 第一和第二步是同學(xué)都較熟悉的方法，接下來重點(diǎn)幫助大家掌握第三步，即如何運(yùn)用“極限思想”去篩選，熟悉掌握后往往收到十分奇妙的效果.請(qǐng)看以下例題：

示例1. 函數(shù)f（x）=2x-tanx在（-，）上的圖像大致為（ ）

【評(píng)析】法一：奇偶性方面考慮，易知函數(shù)為奇函數(shù)，從而排除B，C. 單調(diào)性方面：f′（x） =2-=2-==，當(dāng)x∈（0， ），令f′（x） >0，得x∈（0， ），因此單調(diào)遞增區(qū)間為x∈（0， ），單調(diào)遞減區(qū)間為x∈（， ），從而排除選項(xiàng)A，得到答案為D.

法二：然而當(dāng)我們用極限的思想去研究時(shí)，則解決問題更為快捷：當(dāng)x 無限趨近于時(shí)，tanx 趨近于正無窮大，2x趨近于π，這時(shí)f（x）=2x-tanx 趨近于負(fù)無窮大，從而排除A，B. 同理，當(dāng)x 無限趨近于-時(shí)，2x 趨近于-π，tanx 趨近于負(fù)無窮大，這時(shí)f（x） =2x-tanx 趨近于正無窮大，從而排除選項(xiàng)C，答案為D.

比較以上兩種解法，用極限的方法的優(yōu)點(diǎn)是用時(shí)短、運(yùn)算量少、正確率高.

示例2. 函數(shù)y=的圖像大致為（ ）

【評(píng)析】用極限方法，先考慮當(dāng)x無限趨近于正無窮大時(shí)，3x 趨近于正無窮大，-1≤sin（+4x）≤1，9x也趨近于正無窮大且比3x 增長(zhǎng)得快，因此趨近于零，從而排除選項(xiàng)C. 然后考慮當(dāng)x從右邊無限趨近于零時(shí)，3x趨近于1，sin（+4x）趨近于—1，9x趨近于1，因此3xsin（+4x）趨近于—1，9x-1趨近于零，因此趨近于負(fù)無窮大，從而排除選項(xiàng)A，D. 答案為B.

本題也可以通過考慮奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)解題，但過程較為復(fù)雜，運(yùn)算量較大，用時(shí)較長(zhǎng)，不如用極限方法快捷簡(jiǎn)單.請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手體會(huì)一下.

示例3. 函數(shù)f（x）=2x+sinx的部分圖像可能是（ ）

【評(píng)析】用極限方法，先考慮當(dāng)x無限趨近于正無窮大時(shí)，2x趨近于正無窮大，-1≤sinx≤1，因此2x+sinx趨近于正無窮大，從而排除選項(xiàng)B，C. 然后考慮當(dāng)x從右邊無限趨近于零時(shí)，2x趨近于零且大于零，sinx也趨近于零且大于零，因此f（x）=2x+sinx趨近于零且大于零，從而排除選項(xiàng)D，答案為A. 以上方法運(yùn)算量接近于零，用時(shí)少，優(yōu)勢(shì)十分突出.

示例4. 函數(shù)y=的圖像大致為（ ）

【評(píng)析】用極限方法，先把函數(shù)進(jìn)行變形：y==，然后考慮當(dāng)x無限趨近于正無窮大時(shí)，e2x趨近于正無窮大，y=趨近于1，因此排除選項(xiàng)B，D. 再考慮當(dāng)x無限趨近于零，e2x趨近于1，e2x+1趨近于2，e2x-1趨近于零，因此y=趨近于無窮大. 排除選項(xiàng)C，答案為A.

【總結(jié)】1. 極限方法比傳統(tǒng)方法有明顯優(yōu)勢(shì)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握操作步驟，優(yōu)先考慮，可以起到節(jié)省時(shí)間和提高正確率的作用.

2. 極限方法和傳統(tǒng)方法并不沖突，而是相輔相成的關(guān)系，在解題中可以靈活選用，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短的目的.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)