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    等效重力法有妙用求單擺周期顯奇能

    2017-01-09 15:07:42華峰
    廣東教育·高中 2016年11期
    關(guān)鍵詞:擺球單擺小球

    華峰

    大家都知道,在地球重力場中單擺的振動周期公式是T =2π.可是我們遇到的問題常常是求解單擺在不同條件下的周期,要簡捷、順利地求解此類問題,采用類比的方法,利用等效重力求解有奇效.下面舉例分析,希望同學(xué)們能夠從中受到有益的啟示.

    一、由于重力加速度變化而引起的周期變化

    【例1】單擺在半徑為R1、質(zhì)量為m1的地球表面的周期為T1,若通過宇宙飛船帶到半徑為R2的另一顆星球表面時,其周期為T2,試求兩種情況下的周期之比.

    解析:根據(jù)萬有引力定律有= m′g,再根據(jù)單擺周期公式T =2π可得,=.

    一般來說引起重力加速度變化的原因有:緯度的變化、高度的變化、場環(huán)境的變化,為此可將單擺運動知識與萬有引力知識、天體運動知識結(jié)合起來求解.

    二、由于擺球受到浮力而引起的周期變化

    【例2】用一根長為l的細(xì)線懸掛一個密度為ρ的小球,并將其放在密度為ρ0(ρ0 < ρ)的液體中,不計液體對小球的運動阻力,試求小球在平衡位置附近做小幅振動的周期.

    解析:將重力mg = ρgV和浮力F = ρ0gV(V為小球的體積)合成一個等效重力mg′,則有mg′= ρgV- ρ0gV,即g′= (1-)g.

    由此可得小球的振動周期為T =2π=2π.

    三、由于單擺處于非慣性系中而引起的周期變化

    【例3】如圖2所示,沿平直軌道以加速度a做勻速直線運動的車廂中,用一根長為l的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球,求小球在平衡位置附近做小幅振動的周期.

    解析:小球在相對車廂靜止時,根據(jù)物體受力平衡得到等效重力mg′為mg′=,即mg′=m,則g′=.

    故此可得小球的振動周期為T=2π=2π.

    【例4】如圖3所示,將一單擺掛于小車上,將小車放于一輛傾角為θ的斜面上,當(dāng)小車在斜面上加速下滑時,擺線與豎直方向的夾角也為θ.已知擺球直鏈狀為m,擺長為l,重力加速度為g,求此單擺的周期及小車與斜面間的動摩擦因數(shù).

    解析:由圖示可知小車運動過程中,擺線的拉力F = mgcosθ,則g′ = gcosθ,故T =2π.

    再由受力分析可知,動摩擦因數(shù)μ = 0.

    一般這些階段的非慣性系系統(tǒng)指處于勻變速直線運動的力學(xué)裝置,在此前提下就可用類比法快速求解此類問題.

    四、由于單擺處于勻強電場中而引起周期的變化

    【例5】將一帶電擺球置于一水平向右的勻強電場中,如圖4所示.擺球靜止時與豎直方向之間的夾角為α,已知擺球質(zhì)量為m,擺長為l,帶電荷量為Q.現(xiàn)若將擺球拉離靜止位置一個很小的角度釋放,求其振動周期;若要使擺球擺到豎直方向時速度為零,應(yīng)將擺球拉離豎直方向一個多大的角度?

    解析:擺球靜止在平衡位置時的拉力F=,則g′=,故此擺球的振動周期為T=2π=2π.

    一般當(dāng)單擺處于勻強電場中時,由于所受的電場力為恒力,與重力的合力仍為恒力,運用類比法求解簡捷、快速.

    五、單擺周期公式的拓展運用

    【例6】有一擺鐘在地面上走時準(zhǔn)確,其標(biāo)準(zhǔn)周期T0 = 2s,現(xiàn)將其移到高山上,發(fā)現(xiàn)它一晝夜慢了1min,求此山的高度.已知地面重力加速度g0=9.8m/s2,地球半徑R0=6400km.

    解析:設(shè)擺鐘在標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)的振動次數(shù)為N,則其在標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)指示的時間t=N·T,在標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)慢的時間就應(yīng)為△t=N·△T,其中N=,△T=T-T0.

    再由=(),代入已知數(shù)據(jù)可解得h=4450m.

    由上述解題過程可歸納出一個有用的結(jié)論:鐘在標(biāo)準(zhǔn)時間里指示的時間與擺振動的次數(shù)成正比,跟鐘擺的振動頻率成正比.寫成比例關(guān)系式為:=====.據(jù)此可根據(jù)題目的特點,達(dá)到快速、簡捷求解的目的.

    【例7】豎直放置的光滑圓弧形球面半徑R較大,在弧面中心O正上方高h(yuǎn)處放置一個小球A,當(dāng)A自由下落的同時,另一個小球B從球面某處C(OC弧遠(yuǎn)小于半徑R)由靜止開始滾下,為時兩球相碰,h應(yīng)滿足什么條件?

    解析:根據(jù)題意,小球B在光滑圓弧面上滾動等效于單擺,擺長即為圓弧半徑,周期T=2π,考慮到單擺運動的周期性,由相碰的條件有(2n-1)=,解得h=R(n= 1,2,3,…).

    一般類單擺模型的計算,主要是求解其等效擺長或等效重力加速度.

    練習(xí)

    1. 已知北京的重力加速度g1=9.812 m/s2,南京的重力加速度g2=9.795 m/s2,在北京準(zhǔn)確的鐘擺,如果放在南京,鐘將走慢還是走快?一晝夜差多少?要使其走時準(zhǔn)確,如何調(diào)整擺長?

    2. 如圖5所示,一個質(zhì)量為2m的球體A套在光滑水平桿上,用一長為l的小球B與A連接,約束A球,將B球拉離豎直方向一個很小的角度,釋放B球的同時撤去A球的約束,之后A、B兩球都將做簡諧運動,試求A球和B球的周期.

    3. 如圖6所示,半徑為R=10m的光滑凹球面容器固定在地面上,有一小木塊在距容器最低點P=10cm的C點,由靜止無摩擦滑下,則小木塊自靜止滑下到第二次通過P點時所經(jīng)歷的時間為多少?若此裝置放在以加速度a向上運動的實驗艙里,上述所求的時間又是多少?

    責(zé)任編輯 李平安

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