用彎矩分量求三次樣條插值函數(shù)的彎矩

劉遠(yuǎn)鵬，劉光好，金少華

（1.河北工業(yè)大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300401；3.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401）

用彎矩分量求三次樣條插值函數(shù)的彎矩

劉遠(yuǎn)鵬1，劉光好2，金少華3

（1.河北工業(yè)大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300401；3.河北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，天津 300401）

根據(jù)參考彎矩圖解法原理，將相鄰節(jié)點(diǎn)函數(shù)差和節(jié)點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變換為側(cè)移分量和轉(zhuǎn)角分量．利用各區(qū)間轉(zhuǎn)角分量、側(cè)移分量與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)形成彎矩-位移方程，以及連續(xù)梁支座相鄰兩跨轉(zhuǎn)角方程，結(jié)合連續(xù)梁彎矩圖的性質(zhì)分析樣條插值函數(shù)，做參考彎矩圖；由此得到三次樣條插值函數(shù)的支座彎矩．通過(guò)算例說(shuō)明未知量參考彎矩圖、荷載參考彎矩圖、轉(zhuǎn)角分量圖和側(cè)移分量圖的使用方法．

特征點(diǎn)；轉(zhuǎn)角分量；側(cè)移分量；參考彎矩圖；三次樣條插值函數(shù)

三次樣條插值函數(shù)有廣泛應(yīng)用[1-3]，且有各種表達(dá)方法[4-5]，計(jì)算方法也多種．文獻(xiàn) [4]則采用構(gòu)造三角陣的逆陣方法簡(jiǎn)化節(jié)點(diǎn)等距問(wèn)題．通?？梢詫⑷螛訔l插值函數(shù)比擬為連續(xù)梁的撓曲線；其二階導(dǎo)數(shù)視為連續(xù)梁的彎矩．因此三次樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)分布就相當(dāng)于無(wú)荷載作用有支座沉陷的抗彎剛度EI=1（本文采用無(wú)量綱）的連續(xù)梁彎矩圖．用力學(xué)計(jì)算這種連續(xù)梁方法很多，可以利用廣義圖乘法及其彎矩分量[4-7]分析連續(xù)梁的原理．利用連續(xù)梁彎矩圖和單跨梁彎矩圖（分別是結(jié)點(diǎn)位移彎矩圖和桿端位移彎矩圖．在不致混淆時(shí)的也簡(jiǎn)稱為彎矩圖）的性質(zhì)；求彎矩圖從而獲得結(jié)點(diǎn)彎矩，從而產(chǎn)生插值函數(shù)．整體計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，力學(xué)意義清楚．其計(jì)算量也得到優(yōu)化．

1 彎矩分量與連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角方程

首先分析節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的插值函數(shù)（這相當(dāng)于單跨梁的撓曲線）．如下常見(jiàn)表達(dá)式：

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)常用方式，對(duì)三次樣條函數(shù)的連續(xù)梁稱弦轉(zhuǎn)角為：

左右兩端的轉(zhuǎn)角分量[5-6]

統(tǒng)稱這3個(gè)量為梁彎矩的位移分量，即彎矩分量．稱梁內(nèi)1/3點(diǎn)和2/3點(diǎn)分別為左特征點(diǎn)和右特征點(diǎn)[5-6]；設(shè)為L(zhǎng)點(diǎn)和R點(diǎn)．利用式 (1)計(jì)算特征點(diǎn)的彎矩，與位移分量比較：

這2個(gè)方程是梁的彎矩-位移方程，是梁的普遍形式的簡(jiǎn)化[5]．

因連續(xù)梁相鄰兩跨的桿端轉(zhuǎn)角分量表達(dá)式不同，但是桿端連接有相同轉(zhuǎn)角，則：

這個(gè)方程為連續(xù)梁的結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角方程[7]．

根據(jù)樣條函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，相鄰兩跨的特征點(diǎn)彎矩Mk1+1/3、Mk1+2/3與桿端的彎矩Mk1、Mk有如下的關(guān)系：

由此可知，彎矩分量有2種，它們是特征點(diǎn)的彎矩分解．若梁的弦轉(zhuǎn)角和桿端轉(zhuǎn)角為正方向，那么彎矩分量可用圖1方法表示．

連續(xù)梁彎矩圖的性質(zhì)：

1）區(qū)間內(nèi)2個(gè)特征點(diǎn)的側(cè)移分量數(shù)值相同，分別在桿的上下兩側(cè)，與弦轉(zhuǎn)角方向一致．如圖1a）．

圖1 特征點(diǎn)上的彎矩關(guān)系Fig.1 Relationship ofmomenton characteristic point

2）轉(zhuǎn)角分量的方向分別與其所表示的轉(zhuǎn)角方向一致．如圖1b）．

3）在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，彎矩圖是直線，如圖1c）．

4）特征點(diǎn)的彎矩及其分量滿足梁的彎矩-位移方程和連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角方程．連續(xù)梁相鄰兩跨的轉(zhuǎn)角分，如圖1d）．

只要區(qū)間內(nèi)插值函數(shù)是三次多項(xiàng)式；無(wú)論采用那種表達(dá)式等，上述性質(zhì)都成立．而分析樣條函數(shù)過(guò)程中，對(duì)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角的估計(jì)相當(dāng)于對(duì)特征點(diǎn)的轉(zhuǎn)角分量的估計(jì)．

2 參考彎矩圖分解與彎矩分量圖

2.1 參考彎矩圖分解

計(jì)算過(guò)程中連續(xù)梁彎矩圖是用已知量和未知量共同表示的，則為區(qū)別稱其為參考彎矩圖（用M表示）．那么據(jù)線性關(guān)系，將參考彎矩圖M分解為[6]：

荷載參考彎矩圖是利用連續(xù)梁的支座位移和一個(gè)已知條件（一端的已知彎矩或轉(zhuǎn)角）計(jì)算形成；且表達(dá)式不含未知量．而未知量參考彎矩圖根據(jù)參考彎矩圖的未知量計(jì)算形成的彎矩圖；不含已知條件（位移條件或桿端彎矩條件）．其各彎矩表達(dá)式是x的一次齊次式．

荷載參考彎矩圖和未知量參考彎矩圖都是桿內(nèi)無(wú)荷載的連續(xù)彎矩圖，則在每個(gè)彎矩圖內(nèi)分別具有連續(xù)梁彎矩圖的上述4條性質(zhì)．對(duì)于具體的計(jì)算過(guò)程來(lái)說(shuō)，的值由已知的邊界條件和0到n的xk，yk的值確定；這樣對(duì)于來(lái)說(shuō)yk的值全為0，則也全為0，帶入式 (6)、式 (7)后得，，根據(jù)公式后得．

根據(jù)三次樣條插值函數(shù)連續(xù)梁彎矩圖的上述性質(zhì)，通過(guò)作參考彎矩圖方法求支座彎矩．將支座彎矩代入公式 (1)就生成區(qū)間內(nèi)三次插值樣條函數(shù)．

2.2 彎矩分量圖與算例

已知函數(shù)值分布如表1所示[8]．

表1 節(jié)點(diǎn)數(shù)值Tab.1 Digiton point

根據(jù)支座位移計(jì)算側(cè)移分量：

將它們標(biāo)在連續(xù)梁上形成側(cè)移分量圖，如圖2a）．

提取圖2a）和圖2b）的位移分量和轉(zhuǎn)角分量，根據(jù)式 (6)計(jì)算第1跨的L點(diǎn)彎矩：

作荷載參考彎矩圖．將1跨 L點(diǎn)彎矩標(biāo)在連續(xù)梁上，如圖3a）．因最左端彎矩等于0，根據(jù)式 (9)、式 10，作第1跨參考彎矩圖直線，產(chǎn)生R特征點(diǎn)和右端的彎矩，如圖3a）．

根據(jù)式 (7)轉(zhuǎn)角分量

將其標(biāo)在轉(zhuǎn)角分量圖上，如圖2b）．

利用結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角方程計(jì)算第2跨左端轉(zhuǎn)角分量，如圖2b）．

同理依次分析第2跨和第3跨的桿端彎矩和特征點(diǎn)的彎矩；依次產(chǎn)生各跨參考彎矩圖直線．同時(shí)得到轉(zhuǎn)角分量的分布．如圖2b）（稱其為轉(zhuǎn)角分量圖）．因此荷載參考彎矩圖如圖3a）所示．

根據(jù)未知量假設(shè)作未知量參考彎矩圖．

這個(gè)圖的A端轉(zhuǎn)角等于0，且無(wú)側(cè)移；則各個(gè)特征點(diǎn)彎矩等于轉(zhuǎn)角分量．

利用A端彎矩等于未知量x，A端轉(zhuǎn)角分量等于0作第1跨彎矩圖，如圖3b）．

利用特征點(diǎn)未知量參考彎矩與桿長(zhǎng)成反比關(guān)系，則

圖2 彎矩分量的分布圖Fig.2 Distribution ofmomentcomponent

圖3 參考彎矩圖求三次樣條插值函數(shù)Fig.3 Reference BMD for cubic spine interpolation function

依次作第2跨、第3跨和第4跨的未知量參考彎矩圖，如圖3b）．

荷載參考彎矩圖與未知量參考彎矩圖相加形成參考彎矩圖．因第4跨的右轉(zhuǎn)角分量和側(cè)移分量是已知量，其和是R特征點(diǎn)彎矩；與參考彎矩圖的特征點(diǎn)彎矩比較表達(dá)式建立方程：

因此x=-2.028 6，計(jì)算各桿端的彎矩值，用式 (11)計(jì)算各桿端的支座彎矩：

最后結(jié)果與其它方法一致．

具體計(jì)算過(guò)程中，由于各個(gè)分量均有系數(shù)2，可以先將系數(shù)2提出，最后得到的數(shù)值乘以2以獲得各段點(diǎn)彎矩．這樣可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．

如果左端邊界條件與此例相同，那么所需未知量以及建立的參考彎矩圖的形式可不變；而依據(jù)右端邊界條件建立不同的方程．對(duì)于第2種邊界條件和第3種邊界條件也可以用類似的方法求解．

2.3 算例的MATLAB程序

S為邊界條件，com_la為側(cè)移分量，com_l為左端轉(zhuǎn)角分量，com_r為右端轉(zhuǎn)角分量，MF為荷載彎矩（l為左端，r為右端），Mx為未知量彎矩（l為左端，r為右端），M為每個(gè)結(jié)點(diǎn)的彎矩．

3 結(jié)論

本文利用連續(xù)梁參考彎矩圖解法形成分析計(jì)算三次插值樣條函數(shù)的連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)彎矩方法．其中利用參考彎矩圖的兩個(gè)層次分解：荷載 未知量圖分解，以及彎矩位移分量圖分解．利用了梁的特征點(diǎn)的彎矩的側(cè)移分量、轉(zhuǎn)角分量，以及彎矩 位移方程和連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角方程．通過(guò)未知量參考彎矩圖、荷載參考彎矩圖、轉(zhuǎn)角分量圖和側(cè)移分量圖分析產(chǎn)生未知量方程，進(jìn)一步得到三次插值樣條函數(shù)的連續(xù)梁結(jié)點(diǎn)彎矩．計(jì)算過(guò)程僅需一個(gè)未知量，具有明顯的并行計(jì)算特點(diǎn)．

[1]陳盛，趙東標(biāo)，陸永華，等．基于二維輪廓點(diǎn)云的螺紋中徑計(jì)算 [J]．光學(xué)精密工程，2015，23（6）：1791-1799．

[2]常景娜，高慧斌，喬冠宇．一種基于傳感器的測(cè)量目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)方法研究 [J]．傳感器與微系統(tǒng)，2015，34（11）：19-22．

[3]梁棟，劉良棟，何英姿．月球精確軟著陸最優(yōu)標(biāo)稱軌跡在軌制導(dǎo)方法 [J]．中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2011（6）：27-35．

[4]Moon BS．Anexplicitsolution for thecubic spline interpolation for functionofasinglevariable[J]．Applied Mathematicsand Computation，2001，117（2-3）：251-255．

[5]劉光好，趙光鑒．剛架參考彎矩圖解法的側(cè)移問(wèn)題 [C]//崔京浩．第十一屆全國(guó)結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集（VolⅠ）．長(zhǎng)沙，2002：395-398．

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[7]Liu Guanghao，Yang Shaobin，LiuYuanpeng．Three-columniationendmomentequationof framewithsupportsinkageand angle[C]//2011INternationA l Conferenceon Remote Sensing，Environmentand Transportation Engineering（Vol5）．Nanjing,2011：4670-4682．

[8]朱曉臨．?dāng)?shù)值分析 [M]．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010：148-150．

[責(zé)任編輯 楊 屹]

Themomentcomponent formomentof cubic spline interpolation function

LIU Yuanpeng1，LIU Guanghao2，JIN Shaohua3

(1.Engineering Training Center,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;2.SchoolofCivilEngineering and Transportation,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;3.Schoolof Sciences,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China)

According to theory of referencebendingmoment,the difference of function atpointbetween neighbor points and derivative of function atnodeare translated into sideway componentand angle component.The sideway component, angle componentand the second derivativeof the function assemblemoment-deflection formula in each section.Themoment-deflection formulaand the cornerequation between adjacentspan on continuousbeam combinedw ith referencebendingmomentdiagram are used for solving Cubic Spline Interpolation function.The example in article illustrates using methodsof the load referencebendingmomentdiagram,theunknown referencebendingmoment,thesideway component and the angle componentdiagram for solving.

characteristic point;angle component;sideway component;reference bendingmomentdiagram;cubic spline interpolation function

TU311.4

A

1007-2373(2016)04-0093-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2016.04.015

2015-11-19

河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（ZD2014051）

劉遠(yuǎn)鵬（1984-），男（漢族），實(shí)驗(yàn)師．

：劉光好（1948-），男（漢族），副教授．