新型Ciric類廣義集值F－壓縮映射不動點定理*

沈 潔，陳 穎，趙 睿

(遼寧師范大學數(shù)學學院，遼寧大連116029)

新型Ciric類廣義集值F－壓縮映射不動點定理*

沈 潔，陳 穎，趙 睿

(遼寧師范大學數(shù)學學院，遼寧大連116029)

文章定義了一種新的廣義集值F－壓縮映射，同時，借助于廣義比較函數(shù)，增加了一些相對較弱的條件，深入研究了新型映射不動點的存在性問題，最后得出在一定條件下兩種不同映射存在不動點的結(jié)論.

不動點;廣義集值F－壓縮映射;完備度量空間;廣義比較函數(shù)

眾所周知，最基本的不動點理論是巴拿赫不動點定理，它是解決不動點存在性問題的一種常用工具，并且已經(jīng)被拓展到度量空間中許多單值和集值映射的情況［1－9］.Wardowski等人［1］引進了一種Ciric類型的廣義F－壓縮映射，并給出其不動點的存在性結(jié)論，是巴拿赫不動點定理的推廣.沈潔等人［2］在Wardowski的研究成果基礎(chǔ)上，引入了單值映射g，研究了新增加的映射g和原有映射不動點的存在性問題.本文利用文獻［2］中討論的映射對T 與g存在公共不動點的思想，將不動點的存在性結(jié)論進一步推廣到具有相關(guān)性的映射對的情況.此外，還將Ciric類型的廣義F－壓縮映射進行推廣，定義了一種新的關(guān)于映射g的Ciric類廣義集值F－壓縮映射，將單值映射推廣到集值映射上，再利用沈潔等人在文獻［2］中的結(jié)論，討論了更一般的集值映射不動點的存在性問題.

1 預(yù)備知識

定義1 Φ是所有映射F的集合，F(xiàn):(0，+∞)→R滿足以下條件

1)F是嚴格增函數(shù)，即?α，β∈(0，+∞)，α＜β?F(α)＜F(β).

2)對每一個正數(shù)序列{αn}n∈N，=0，當且僅當F(αn) =－∞.

定義2 設(shè)(X，d)是度量空間，K(X)是X的所有非空緊子集的全體構(gòu)成的集合，CB(X)是X所有非空閉的有界集的全體構(gòu)成的集合，對于A、B∈CB(X)，定義

D(a，β)=inf{d(a，b):b∈B}，

定義3 (X，d)是一個度量空間，T:X→X是單值映射，F(xiàn)∈Φ，?x，y∈X，如果存在τ＞0，有d(Tx，Ty)＞0?τ+F(d(Tx，Ty))≤F(d(x，y))，那么稱T是F－壓縮映射.

2 主要結(jié)果

定義4 設(shè)(X，d)是度量空間.T:X→CB(X)，g:X→X是單值映射，T稱作關(guān)于g的廣義集值F－壓縮映射，如果F∈Φ且存在τ＞0，當H(Tx，Ty)時，有

其中 m(x，y) = max{d(gx，gy)，D(gx，Tgx)， D(gy，Tgy)［D(gx，Tgy)+D(gy，Tgx)］} .

定義5 (X，d)是度量空間，g:X→X是一個映射，若存在一個函數(shù)φ:R+→R+，使得d(gx，gy)≤φ(d(x，y))，?x，y∈X，則φ稱為g的一個廣義比較函數(shù).

定義6 (X，d)是度量空間.T:X→CB(X)，g:X→X是一個映射，若對于?x∈X，有g(shù)Tx?Tgx，則稱T與g是相關(guān)的.

定理1 (X，d)是完備度量空間，T:X→K(X)是關(guān)于g的廣義集值F－壓縮映射，T與g是相關(guān)的，且存在g的一個廣義比較函數(shù)φ(t)=λt，λ∈(0，1］.如果T，F(xiàn)是連續(xù)的，且對于?x∈X，Tx是閉的，那么T在X中有不動點.進一步，利用迭代公式xn+1∈Tx，當對于?n∈N，xn?Txn時，T與g在X中均存在不動點.

證明 用迭代方式產(chǎn)生序列{xn}?X，令gxn=xn－1，xn+1∈Txn，?n＞0.選定xn∈Txn－1，如果xn∈Txn，則xn是T的不動點.假設(shè)對每一個n∈N，xn?Txn，則有D(xn，Txn)＞0.因為Txn是閉的，又由于D(xn，Txn)?H(Txn－1，Txn)，得 F(D(xn，Txn)) ≤F(H(Txn－1，Txn)).于是根據(jù)(1)式得

因為Txn是緊的，可知xn+1∈Txn，所以d(xn，xn+1)= D(xn，Txn)，故

下面對(3)式分兩種情況討論:

①當 τ+F(d(xn，xn+1))≤ F(d(xn－2，xn－1))時，有

定義an=d(xn，xn+1)，n=0，1，2，…，且an＞ 0，故有

②當τ+F(d(xn，xn+1))≤F(d(xn－1，xn))時，有

定義an=d(xn，xn+1)，n=0，1，2，…，且an＞0，故有

矛盾.故z=gz，即z是g的不動點.

3 結(jié)論

在已有新型Ciric類F－壓縮映射的基礎(chǔ)上，將前人的單值壓縮映射推廣到集值壓縮映射的情況，得到了在一定條件下，相對于g的廣義集值F－壓縮映射與g映射本身不動點的存在性，且二者不動點相同.本文所得結(jié)果對解決帶有廣義集值映射的映射對的不動點存在性問題具有重要作用，為以后集值映射的不動點的存在性問題的研究開辟了新思路.

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［2］沈潔.新型ciric類F－壓縮映射不動點定理［J］.遼寧師范大學學報，2016，39(1):7－10.

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［8］劉波，李承耕.不動點定理的相關(guān)應(yīng)用［J］.長江大學學報，2011，8(12):14－15.

［9］王美娜.巴拿赫不動點定理的應(yīng)用［J］.吉林省教育學院學報，2010，26(1):153－154.

(責任編輯:陳衍峰)

圖1 數(shù)值解圖像

圖2 精確解圖像

3 結(jié)論

由圖1及圖2可以看出，數(shù)值解能夠很好的仿真精確解，因而表明了二維熱傳導(dǎo)方程在改變系數(shù)時采用以上交替方向隱格式數(shù)值計算的有效性，計算精度較高.我們可以采用能量分析方法對ADI格式數(shù)值計算方法的穩(wěn)定性進行分析和驗證，結(jié)果表明ADI格式在解決一類拋物型方程的二維初邊值問題上有著計算量較小、精度較高的優(yōu)點.

參考文獻:

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(責任編輯:陳衍峰)

O177.91

A

1008－7974(2016)06－0041－03

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.013

2016－03－20

國家自然科學基金資助課題“非光滑Lipschitz連續(xù)函數(shù)優(yōu)化束方法與應(yīng)用”(11301246)

沈潔，女，遼寧大連人，碩士生導(dǎo)師，副教授;陳穎，女，遼寧朝陽人，2014級研究生;趙睿，遼寧沈陽人，2015級研究生.