一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性*

康文彥，高巧琴

(呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西呂梁033000)

一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性*

康文彥，高巧琴

(呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西呂梁033000)

通過運(yùn)用Avery－Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題至少有三個(gè)正解的充分條件.最后，通過一個(gè)具體實(shí)例驗(yàn)證了給出的充分條件的正確性.

分?jǐn)?shù)階微積分;分?jǐn)?shù)階邊值問題;格林函數(shù);Avery－Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理;錐

近些年來對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究被許多學(xué)者所關(guān)注［1］.在文獻(xiàn)［2］中，通過運(yùn)用Amann定理和上下解的方法研究了一類帶有非線性邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，得到了其存在多解的新結(jié)果.在文獻(xiàn)［3］中，通過運(yùn)用半序集上的不動(dòng)點(diǎn)理論，證明了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題解的存在性和唯一性.在文獻(xiàn)［4］中，應(yīng)用Leray－Shauder非線性擇決和錐上的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)理論，證明了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題正解的存在性.在文獻(xiàn)［5］中，通過運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了的正解的存在性，其中Dα表示標(biāo)準(zhǔn)的Riemann－Liouville型分?jǐn)?shù)階微分.在文獻(xiàn)［6］中，應(yīng)用錐上Avery－Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了一類非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題至少有三個(gè)解的存在性問題.

本文通過運(yùn)用格林函數(shù)的性質(zhì)和錐上Avery－Peterson不動(dòng)點(diǎn)定理，得到邊值問題至少有三個(gè)正解存在的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)α＞0，函數(shù)(0，+∞)→R連續(xù)，則分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2 設(shè)α＞0，函數(shù)(0，+∞)→R連續(xù)，則分?jǐn)?shù)階右側(cè)Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

其中n=［α］+1.

引理1［4］令α＞0，若u(t)∈ACn［0，1］或u(t)∈Cn［0，1］，那么

其中n=［α］+1

引理2［5］令g(t)∈C［0，1］，則邊值問題

有唯一解u(t)=∫10G(t，s)g(s)d s，其中G(t，s)=

這里G(t，s)是邊值問題(2)的格林函數(shù).

引理3 格林函數(shù)G(t，s)有如下性質(zhì):

(i)G(t，s)∈C(［0，1］×［0，1］)且對(duì)任意的t，s∈(0，1)，G(t，s)＞0;

定義3 稱映射φ是Banach空間E中錐P上的非負(fù)連續(xù)的凸函數(shù)，若φ滿足:φ:P→［0，∞)是連續(xù)的且φ(tx+(1－t)y)≥tφ(x)+(1－t)φ(y)，其中x，y∈P，t∈［0，1］.

令γ，θ是錐P上非負(fù)連續(xù)的凸函數(shù)，φ是錐P上非負(fù)連續(xù)的凹函數(shù)，ψ是錐P上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則對(duì)正數(shù)a，b，c，d，定義下面的凸集:

引理4 令P是Banach空間E中的一個(gè)錐，γ，θ是錐P上非負(fù)連續(xù)的凸函數(shù)，φ是錐P上非負(fù)連續(xù)的凹函數(shù)，ψ是錐P上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，滿足:

ψ(λx)≤λψ(x)，λ∈［0，1］

(S1)當(dāng)x∈P(γ，θ，φ，b，c，d)時(shí)，{x∈P(γ，θ，φ，b，c，d)|φ(x)＞d}≠?，且φ(Tx)＞b;

(S2)當(dāng)x∈P(γ，θ，φ，b，d)且θ(Tx)＞c時(shí)，φ(Tx)＞b;

(S3)當(dāng)x∈R(γ，θ，a，d)，且ψ(x)=a時(shí)，0?R(γ，φ，a，d)且ψ(Tx)＜a成立.那么T至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，x3∈P(β，d)使得γ(xi)≤d，i=1，2，3;b＜φ(x1);a＜ψ(x2);φ(x2)＜b;ψ(x3)＜a.

2 主要結(jié)果

引理5 假設(shè)f(t，u(t)，u'(t))＞0，u(t)是邊值問題(1)的一個(gè)解，那么‖u‖≤‖u'‖.

定義算子T:K→E為

引理6 假設(shè)f(t，u，u')在［0，1］×［0，+∞)× R是連續(xù)的，那么映射T:K→K是全連續(xù)的.

證明 由f:［0，1］×［0，+∞)×R→［0，+∞)和引理3可知Tu(t)＞0.又因?yàn)?/p>

所以T(K)?K，則T是全連續(xù)的.

令α是非負(fù)連續(xù)的凹函數(shù)，β、θ是非負(fù)連續(xù)的凸函數(shù)，φ、ψ是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，它們?cè)阱F上定義如下:β(u)=‖u'‖，θ(u)=ψ(u)=‖u‖，φ(u)=|u(t)|.由引理5和6可知，以上定義的函數(shù)滿足θ(u)≤ φ(u)≤ θ(u) =ψ(u)，‖u‖ ≤β(u)，u∈K.

假設(shè)存在正的常數(shù)a，b，d且a＜b＜d，c=4b使得

定理1 假設(shè)(H1)～(H3)成立，則邊值問題至少有三個(gè)正解u1，u2，u3滿足u1(t)

證明 該邊值問題有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是算子方程

事實(shí)上常函數(shù)u(t)=4b∈P(β，θ，φ，b，c，d)和φ(4b)＞b暗含{u∈P(β，θ，φ，b，c，d)|φ(u)＞b}≠?.對(duì)u∈P(β，θ，φ，b，c，d)，有b≤u(t)≤4b，且對(duì)t∈有|u'(t)|＜d.由假設(shè)(H2)知暗含對(duì)任意的u∈P(β，θ，φ，b，c，d)有φ(Tu)＞b.

由ψ(0)=0可知0?R(β，ψ，a，d)，假設(shè)u∈R(β，ψ，a，d)，ψ(u)=a，那么由假設(shè)H3可知

因而，引理4的所有條件都滿足.所以該邊值問題至少有三個(gè)正解u1，u2，u3滿足‖ui‖ ＜d，i=1，＜b;‖u3‖ ＜a.

3 例子

考慮下面FBVP

其中α=1.5，t∈［0，1］.選擇a=1，b=10，d=104，于是.則非線性項(xiàng)f(t，u，u')滿足

由定理1知邊值問題(2)至少有三個(gè)正解u1，u2，u3滿足

［1］V Lakshmikantham，A S Vatsala.Basic theory of fractional differential equations［J］.Nonlinear Anal，2008，69:2677－2682.

［2］Liu Xiping，Jia Mei.Multiple solutions for fractional differential equations with nonlinear boundary conditions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2010，59:2880－2886.

［3］Mena J C，Harjani J.Existence and uniqueness of positive and nondecreasing solutions for a class of singular fractional boundary value problems［J］.Boundary Value problems，2009，43:1011－1016.

［4］Bai Zhanbing，Qiu Tingting.Existence of positive solution for singular fractional differential equation［J］.Applied Mathematics and Computation 2009，215:2761－2767.

［5］Xiong Yang，Zhongli Wei，Wei Dong.Existence of positive solutions for the boundary value problem of nonlinear fractional differential equations［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17(1):85－92.

［6］Liu Yang.Application of Avery－Peterson fixed point theorem to nonlinear boundary value problem of fractional differential equation with the Caputo's derivative［J］.Commun Nonlinear Sci NumerSimulat，2012，17:4576－4584.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

O175

A

1008－7974(2016)06－0028－03

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.009

2016－07－12

國(guó)家青年科學(xué)基金項(xiàng)目“糾纏及糾纏之外的量子關(guān)聯(lián)刻畫”(11301312);校內(nèi)青年基金項(xiàng)目“三維空間一類齊次Moran集的Hausdorff維數(shù)”(ZRQN201521);校級(jí)科研基金項(xiàng)目“分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問題解的存在性”(2014Q10)

康文彥，女，山西呂梁人，教師.