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    巧用奇函數(shù)的性質(zhì)解數(shù)學(xué)題

    2017-01-05 02:53:58湖南省岳陽市第十五中學(xué)326班李博亞
    數(shù)學(xué)大世界 2016年20期
    關(guān)鍵詞:奇函數(shù)定義域分式

    湖南省岳陽市第十五中學(xué)326班 李博亞

    巧用奇函數(shù)的性質(zhì)解數(shù)學(xué)題

    湖南省岳陽市第十五中學(xué)326班 李博亞

    函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容,也是難點之一。主要體現(xiàn)在函數(shù)思想的運用,而掌握函數(shù)的一個重要手段就是分析函數(shù)的性質(zhì)。從函數(shù)的性質(zhì)入手來求解數(shù)學(xué)問題,也是解決函數(shù)問題的非常適用的工具。而我們在解決函數(shù)問題時往往容易忽視的地方主要體現(xiàn)在:一是忽視從函數(shù)的本質(zhì)特性入手,如定義域、對應(yīng)法則、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等。二是容易忽視分析題設(shè)所給式子的結(jié)構(gòu)特征。因此,我們可以從奇函數(shù)的定義出發(fā),證明出奇函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的靈魂。在解答一些類似很抽象的問題時,我們先從函數(shù)的性質(zhì)入手,認(rèn)識這個函數(shù)的本質(zhì)特征,巧用其性質(zhì)來解答,可以達到事半功倍的作用。

    一、奇函數(shù)的定義及性質(zhì)

    在我們的教材中奇函數(shù)是這樣定義的:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有x∈D,且-f(x)=f(-x),則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)。其中的關(guān)鍵詞有“D內(nèi)的任意一個x”、“都有”“-f(x)=f(-x)”。用數(shù)形結(jié)合的思想來理解奇函數(shù)的定義就是:奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,其圖形關(guān)于原點成中心對稱圖形。從這個定義出發(fā),我們很容易證明奇函數(shù)具有如下四個性質(zhì):

    性質(zhì)1 對定義在區(qū)間D上是單調(diào)遞增奇函數(shù)f(x),如果a,b∈D,

    性質(zhì)2 已知定義在區(qū)間D上的單調(diào)遞減奇函數(shù)f(x),如果a,b∈D,

    性質(zhì)3 已知在區(qū)間D上的單調(diào)奇函數(shù)f(x),如果a,b∈D,

    性質(zhì)4 如果奇函數(shù)f(x)是定義在D上的奇函數(shù),且有最大值M,那么f(x)的最小值為-M,反之亦然。即如果定義在D上的奇函數(shù)f(x)有最大值M和最小值N,那么M+N=0。

    二、奇函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用舉例

    奇函數(shù)的定義及性質(zhì)看似簡單容易,但要巧妙地運用它來解題,還是有一定難度的。首先我們要掌握題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征,就是函數(shù)值和自變量之間的關(guān)系,分析函數(shù)的性質(zhì),判斷其奇偶性,巧用這些性質(zhì)解答題目可以達到事半功倍的作用,下面舉例說明。

    分析:初看此題,首先就想到它是一個分式不等式,腦海中就浮現(xiàn)出分式不等式的解題基本思路:轉(zhuǎn)化成整式不等式求解。但冷靜一看不等式前面兩個式子和后面的似乎有某種神似。運用函數(shù)中整體代換的思想就不難想到可以用構(gòu)造法構(gòu)造一個奇函數(shù)f(x)=x3+5x,從而使問題簡化。

    解后隨筆: 這道題如果運用分式不等式的常規(guī)解法思想去把其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解,則不僅要解一個6次高次不等式,而且難度很大,很難解出。這里構(gòu)造一個函數(shù),并根據(jù)這個函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)求解,使問題得到簡化,降低了運算難度。

    解后隨筆:這個題目,我們?nèi)绻チ蟹匠探M求x和y的值,就會陷入解題的絕境。而根據(jù)題設(shè)中給出的兩個式子在結(jié)構(gòu)上的相似性,運用到函數(shù)中整體的思想,代換的思想,構(gòu)造一個函數(shù),再利用函數(shù)的性質(zhì)解決就容易多了。

    總而言之,我們還可以從定義出發(fā),推導(dǎo)出奇函數(shù)的很多性質(zhì),在解題的過程中,如果能夠熟練掌握這些性質(zhì),靈活運用,就可以達到開闊思路,簡化過程的效果。

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