決策方案中的成本與結(jié)果的平衡問(wèn)題

劉樂(lè)然

摘要：當(dāng)面臨多個(gè)選擇時(shí)，人們往往需要進(jìn)行決策。在可以自主選擇的前提下，決策通常是根據(jù)個(gè)人對(duì)事物的分析、判斷和興趣來(lái)作出決定。兩種極端的決策準(zhǔn)則是：

“決策的結(jié)果最好”和“決策的成本最小”。在做決策的時(shí)候，這兩種準(zhǔn)則都需顧及，但事實(shí)上兩者往往并非是簡(jiǎn)單的正比關(guān)系，即結(jié)果最好未必意味著成本最小。這兩者之間的關(guān)系還需我們調(diào)和，以?xún)?yōu)化決策。

圍繞實(shí)際問(wèn)題中的成本與利潤(rùn)的平衡，本文由工廠零件的加工模型入手，探討決策成本與決策結(jié)果的平衡關(guān)系。

本文分為四個(gè)部分，首先，建立工廠的實(shí)際背景，對(duì)零件加工的情況進(jìn)行概述；其次，對(duì)該模型中決策成本與結(jié)果的表現(xiàn)進(jìn)行分析；接著，針對(duì)其中的不確定因素進(jìn)行探討與控制；最后，通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)該模型的魯棒性進(jìn)行檢測(cè)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；概率分布；回歸分析

一、背景構(gòu)建

1.廠長(zhǎng)同學(xué)的加工廠開(kāi)業(yè)啦！他從外地購(gòu)買(mǎi)了一些半成品但苦于難以區(qū)分其優(yōu)劣程度，每臺(tái)機(jī)器中有許許多多不同的零件，為此他向hey老板購(gòu)進(jìn)檢測(cè)機(jī)器。檢測(cè)機(jī)器需要花費(fèi)一定的時(shí)間金錢(qián)判斷零件是否損壞，從而判斷半成品等級(jí)，而等級(jí)又決定了將來(lái)加工成成品需要的時(shí)間金錢(qián)及將帶來(lái)的利潤(rùn)，于是為了獲取最大利潤(rùn)他不得不冒風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行處理，請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的知識(shí)，圍繞檢查零件及加工過(guò)程，設(shè)計(jì)加工參數(shù)，對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化使得廠長(zhǎng)同學(xué)獲取更多利潤(rùn)。

二、問(wèn)題的提出

給定該工廠的標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品為n個(gè)零件，檢測(cè)和生產(chǎn)的時(shí)間分配需要由廠長(zhǎng)決定。由于總時(shí)間有限，廠長(zhǎng)同學(xué)只能盡量找到最優(yōu)的時(shí)間成本安排

由于工件的合格性檢驗(yàn)是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因此不可避免的會(huì)與實(shí)際抽樣產(chǎn)生誤差，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式，探討如何預(yù)測(cè)并控制該誤差。

不同的工件由于等級(jí)不同會(huì)有不同的受歡迎程度，產(chǎn)生不同的效益，同時(shí)它們的生產(chǎn)成本也各不相同。

綜合以上三點(diǎn)，我們需建立描述工件生產(chǎn)的利潤(rùn)模型，并在此基礎(chǔ)上討論如何平衡結(jié)果與成本的關(guān)系。三、模型假設(shè)

（1）假設(shè)所有的工件標(biāo)準(zhǔn)都是真實(shí)的

（2）假設(shè)工件的定價(jià)是已知的

（3）假設(shè)零件的測(cè)量精度范圍為已知

（4）假設(shè)工件的等級(jí)對(duì)于廠長(zhǎng)同學(xué)是未知的，而實(shí)際上根據(jù)零件損壞的個(gè)數(shù)近似成正態(tài)分布

（5）為了與最大利益比較，我們假設(shè)規(guī)定的時(shí)間為理想狀態(tài)下的設(shè)定時(shí)間。隨著理想狀態(tài)下零件數(shù)目變化而變化。

五、問(wèn)題分析

某工廠廠房在一定時(shí)期（T）內(nèi)加工一些半成品（n個(gè)），已知該批產(chǎn)品已經(jīng)有r個(gè)零件，題目要求我們根據(jù)檢測(cè)零件做出一定的判斷，判斷半成品的等級(jí)。但檢測(cè)是需要時(shí)間和金錢(qián)的雙重的成本，每檢測(cè)一個(gè)零件所需時(shí)間為tl，檢測(cè)一個(gè)的成本為w，檢測(cè)的零件數(shù)在二分之r到r之間，這里我們?cè)O(shè)為r。利用公式得到這樣的精度區(qū)間。

根據(jù)零件損壞率可以將這些產(chǎn)品分為不同的等級(jí)（v個(gè)），我們要根據(jù)這些等級(jí)將這些產(chǎn)品送入不同的y個(gè)廠房進(jìn)行進(jìn)一步加工成品。每個(gè)廠房加工的成本（Xi）與時(shí)間（Ti）都是不同的，效益也不同（Wi）。我們由以上的敘述得到最終的利潤(rùn)表達(dá)。

六、模型的建立與求解

6.1函數(shù)假設(shè)

當(dāng)選擇檢測(cè)n個(gè)零件時(shí)，真實(shí)情況下的工件的等級(jí)是大致遵循正態(tài)分布的

Yi=11-x

由表格得到對(duì)應(yīng)變量的關(guān)系，設(shè)為

Wi=f2（yi）

Xi=f3（yi）

將工件中合格零件的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

即工件中平均有八個(gè)合格零件，x=8，零件分布的標(biāo)準(zhǔn)差為一個(gè)6=1。此時(shí)，f（x）表示的即為工件中有x個(gè)合格零件的概率，我們用這個(gè)概率，表示實(shí)際抽測(cè)工件得到的等級(jí)分布，并在假設(shè)無(wú)誤判的前提下，得到應(yīng)有的利潤(rùn)表示。

W0=∑f（x）*n*wi-n*w

這是理想的最大利潤(rùn)表述。

我們?cè)O(shè)定加工總時(shí)間為理想狀態(tài)下的時(shí)間：

T=∑ti（x）*f（x）*n+n*t0

6.2模型建立

（1）目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)廠長(zhǎng)同學(xué)的意愿，他對(duì)該批零件的等級(jí)預(yù)判的精準(zhǔn)度可以表示為一個(gè)范圍，

由于廠長(zhǎng)同學(xué)的心情指數(shù)有變化，抽樣標(biāo)準(zhǔn)也有偏差。計(jì)算機(jī)模擬時(shí)，我們將這種分布近似認(rèn)為是t分布，也就是說(shuō)，將心情算作偶然誤差，并將以上的精確度區(qū)間記為E={1-&

將區(qū)間E改動(dòng)到圖示范圍內(nèi)，并隨機(jī)模擬給出廠長(zhǎng)同學(xué)今天的心情指數(shù)。

（2）約束條件

由于我們只能得到一個(gè)置信區(qū)間，因此，不妨將這個(gè)置信區(qū)間所對(duì)應(yīng)的概率記為pi即正態(tài)分布所對(duì)應(yīng)的區(qū)間。廠長(zhǎng)同學(xué)根據(jù)心情得到的結(jié)論可由t分布得出，記心情指數(shù)為t并由此得到一個(gè)函數(shù)，以（-&，&）為標(biāo)準(zhǔn)，則工件檢驗(yàn)的零件數(shù)為n0=n+t。

6.3模型解決

6.3.1修改以上的公式為

Wi=pi*（∑f（x）*n*wi-n*w）；

并計(jì)算出最終的利潤(rùn)曲線比較得到最大值

七、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

7.1模型評(píng)價(jià)

優(yōu)點(diǎn)決策成本的表示，由于題目中alphago與李世石的決戰(zhàn)中，alphago的決策主要分為擇優(yōu)篩選、行棋，兩者配比在一定程度上決定了決策的優(yōu)化程度。我們使用費(fèi)用作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，將決策的成本與決策實(shí)施所需成本分別用兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的量來(lái)表示。其中隨機(jī)成本的引入，使得問(wèn)題不失實(shí)際性與隨機(jī)性，廠長(zhǎng)的心情作為主觀因素，根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)變?yōu)榭刹僮鞯牧俊?/p>

本文建立了對(duì)于該問(wèn)題的回歸分析，并可以計(jì)算出實(shí)際情況對(duì)應(yīng)的常數(shù)。見(jiàn)附錄。

缺點(diǎn)：本文建立心情指數(shù)這一變量，目的是描述操作人員的主觀判斷引起的誤差，并使用t分布來(lái)擬合這一變化。而實(shí)際情況中，由于人員主觀失誤誤判的偏差情況極為復(fù)雜，應(yīng)該進(jìn)行更為廣泛的研究調(diào)查得出結(jié)論。

7.2模型改進(jìn)

另外，我們?cè)诮５臅r(shí)候，忽略了政府的宏觀調(diào)控對(duì)價(jià)格的影響，而是簡(jiǎn)單地將工件數(shù)量理想化。但事實(shí)上，工廠每個(gè)月能購(gòu)買(mǎi)到的工件數(shù)量也不一定是充足的，因此每月購(gòu)買(mǎi)的工件數(shù)也是一個(gè)動(dòng)態(tài)變量，模型的改進(jìn)也要考慮政策的影響。模型的進(jìn)一步優(yōu)化也包括考慮周期成本以及政府政策在其中起到的不確定性影響。應(yīng)該根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，進(jìn)行曲線擬合，得到可靠的回歸方程。

問(wèn)題一中，我們?cè)O(shè)立了零件的等級(jí)抽測(cè)背景，將決策成本、實(shí)施成本、決策結(jié)果剝離看待，利用時(shí)間金錢(qián)進(jìn)行限制。并充分考慮抽樣誤差，根據(jù)正態(tài)分布、t分布進(jìn)行模型建立；并得到了檢測(cè)中主觀因素對(duì)結(jié)果的影響。進(jìn)行共線性檢測(cè)，得到所得函數(shù)系數(shù)的精確度，對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化；

八、結(jié)語(yǔ)

在生活中我們會(huì)遇到豐富的選擇，選擇的過(guò)程的實(shí)質(zhì)即為決策問(wèn)題的處理。我們處理決策問(wèn)題不僅需要考慮優(yōu)化決策的結(jié)果，還需要關(guān)注決策的成本。我們的目標(biāo)即為平衡和調(diào)和兩者的關(guān)系。下面我們將借助具體事例分析兩種關(guān)系的平衡以及如何決策的問(wèn)題，并試圖將問(wèn)題推廣到更加一般的情形，為解決一般的決策問(wèn)題來(lái)提供幫助。