王 晶
(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系,安徽 蚌埠 233030)
數(shù)學(xué)建模及仿真在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究
王 晶
(蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系,安徽 蚌埠 233030)
討論了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想和仿真方法的必要性,通過案例分析闡述了如何在教學(xué)過程中融入建模思想和仿真方法。進(jìn)而提出了幾點(diǎn)注意事項(xiàng),以便更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模思維和應(yīng)用能力。
高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;數(shù)值仿真;教學(xué)研究;建模案例
數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題,是一個(gè)建立數(shù)學(xué)模型,求解模型,分析和驗(yàn)證結(jié)論的過程。所以,在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,教師不僅要講授基本的數(shù)學(xué)概念和計(jì)算方法,還要把數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)值仿真方法貫穿其中。通過數(shù)學(xué)建模使學(xué)生認(rèn)識到,數(shù)學(xué)能夠解決社會生活中的實(shí)際問題。通過數(shù)值仿真能夠使學(xué)生更加直觀的觀察參數(shù)的變化對問題解的影響。教學(xué)中,教師可以利用建模案例加深學(xué)生對概念的理解和方法的掌握,提升他們對高等數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識,提高他們的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力[1]。
傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)以教師為主,采取灌輸式的教學(xué)方法,教師側(cè)重對教材中例題和習(xí)題的講解,通過題海戰(zhàn)術(shù)培養(yǎng)學(xué)生做題的能力和水平。但往往忽視數(shù)學(xué)知識在解決實(shí)際問題中的作用,給學(xué)生一種數(shù)學(xué)知識只能用來做題的錯(cuò)覺,毫無學(xué)習(xí)動力。所以,教學(xué)過程顯得枯燥乏味,死板單一,教學(xué)效果較差。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性,應(yīng)該轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,以問題為導(dǎo)向,讓學(xué)生在對問題的解決中加深對知識的理解,增強(qiáng)他們的應(yīng)用能力[2]。
目前的數(shù)學(xué)教學(xué),不但要讓學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維,而且更要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力,學(xué)以致用。因此,教學(xué)過程中,讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想及仿真方法對實(shí)際問題進(jìn)行綜合分析、抽象、歸納、推理和計(jì)算,構(gòu)建最優(yōu)的數(shù)學(xué)模型并求解。若模型無解析解,則可采用Matlab軟件求數(shù)值解[3]。由此可見,數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的一個(gè)有效途徑,數(shù)值仿真則是展現(xiàn)模型解的一個(gè)具體化、形象化的有效工具。它們都是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的正確措施。
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師往往輕視建模思想的融入和仿真方法的使用,只注重基礎(chǔ)理論的傳授和解題技巧及方法的訓(xùn)練。這樣的教學(xué)模式導(dǎo)致理論與實(shí)踐脫節(jié),使學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)為一支筆和一張紙就是高等數(shù)學(xué),學(xué)習(xí)的目標(biāo)就是做題。對于為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?學(xué)這門課有何作用?怎樣才能學(xué)好這門課?等等。對這些問題,學(xué)生沒有清醒的認(rèn)識,始終處于迷茫之中。針對學(xué)生眼中“無用武之地”的高等數(shù)學(xué),教師在日常的教學(xué)活動中必須把實(shí)用性潛移默化地傳授給學(xué)生,讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)的目標(biāo)。因此,教師必須把建模思想及仿真方法融入教學(xué)中,以解決實(shí)際問題促進(jìn)知識的傳授和能力的培養(yǎng)。同時(shí),更要讓學(xué)生明白高等數(shù)學(xué)也可以借助信息技術(shù)展現(xiàn)更加直觀的數(shù)值結(jié)果,而不僅僅是筆與紙的簡單交互。
根據(jù)自身高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),結(jié)合社會生活中的實(shí)際問題,給出兩個(gè)具體建模案例來說明建模思想及仿真方法在教學(xué)過程中的應(yīng)用。
案例1:金融系統(tǒng)的微分方程模型。
提出問題:現(xiàn)實(shí)金融系統(tǒng)中,利率、投資需求和價(jià)格指數(shù)之間存在一種相互制約、相互影響的關(guān)系。并且以上三者還受到儲蓄量和單位投資成本等因素的制約??紤]它們之間量化關(guān)系的基礎(chǔ)上,在給定變量值的前提下,觀察該金融系統(tǒng)在運(yùn)行過程中的穩(wěn)定性問題,以及參數(shù)的變化是否會引起系統(tǒng)的動蕩?
針對這個(gè)實(shí)際問題,首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,使學(xué)生意識到一般的數(shù)值運(yùn)算很難解決此類問題。其次,再構(gòu)建模型,并利用數(shù)值仿真的方法才能較完美的解決此問題。
建立模型:設(shè)利率為x,投資需求為y,價(jià)格指數(shù)為z,儲蓄量為a,單位投資成本為b,商品需求彈性為c(a,b,c均為正常數(shù))。則建立的微分方程模型如下[4]:
(1)
高等數(shù)學(xué)中所講授的微分方程組的求解方法,一般針對特定的幾種類型,而現(xiàn)實(shí)中的微分方程模型往往比較復(fù)雜,不一定符合某一種特定的類型。所以,教材中的求解方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際需求,在微分方程組無解析解時(shí),可以利用Matlab軟件求得數(shù)值解,并借助圖形展示求解結(jié)果。
下面,對模型(1)利用Matlab軟件進(jìn)行求解和仿真[5]。變量取值為:a=0.9,b=0.2,c=0.5;初值分別為x(0)=0.5,y(0)=0.2,z(0)=0.6。仿真結(jié)果如圖1-圖3所示。
通過圖1和圖2可以讓學(xué)生很直觀的得知,利率x,投資需求y和價(jià)格指數(shù)z,在系統(tǒng)運(yùn)行過程中一直處于周期波動狀態(tài),即呈現(xiàn)周期解。通過圖3可以使學(xué)生更形象地觀察到,隨著儲蓄量a和單位投資成本b的增加,利率x上下波動較大,動蕩明顯。
圖1 利率x,投資需求y和價(jià)格指數(shù)z的時(shí)間序列圖
通過案例1的講解,可以使學(xué)生對建模和仿真有一個(gè)直觀的認(rèn)識和深刻的體會,能夠大大激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的好奇心和求知欲,增強(qiáng)對高等數(shù)學(xué)實(shí)用性的理解。
案例2:漁業(yè)生物經(jīng)濟(jì)模型。
提出問題:漁業(yè)市場中,漁業(yè)資源的總量、工人的捕撈努力量和魚價(jià)之間存在著密切的關(guān)系。當(dāng)魚價(jià)較高時(shí),為了追求利潤,捕撈量增加必然導(dǎo)致魚資源量減少;而當(dāng)魚價(jià)較低時(shí),無利可圖,捕撈量減少將導(dǎo)致魚資源量增加。這是一個(gè)復(fù)雜的博弈過程,隨著博弈的進(jìn)行,二者將最終趨于穩(wěn)定,達(dá)到彼此都可以接受的平衡狀態(tài)??紤]漁業(yè)資源的總量、工人的捕撈努力量之間的關(guān)系,在給定變量值的基礎(chǔ)上,量化魚價(jià)對漁業(yè)資源量和捕撈努力量的影響。
(2)
為了說明魚價(jià)p對漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的影響,借助Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真。
圖4 p=1時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的時(shí)間序列 圖5 p=1時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的吸引子
學(xué)生從圖4可以形象的看出,隨著時(shí)間的延長,漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z由不穩(wěn)定的波動狀態(tài)都逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài),最后分別穩(wěn)定在約0.3和約0.7。圖5則更明確的說明二者經(jīng)過長期博弈后,最終穩(wěn)定在了S=0.3001,Z=0.7003。
(2)設(shè)p=0.5,其他變量值不變。則數(shù)值仿真如圖6和圖7所示。
圖6 p=0.5時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的時(shí)間序列 圖7p=0.5時(shí)漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的吸引子
學(xué)生通過圖6很容易看出,隨著時(shí)間的增加,漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z也都由不穩(wěn)定的波動狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài),最后分別穩(wěn)定在約0.6和約0.4。與圖4相比可以看出,在魚價(jià)較高時(shí)(p=1),剛開始捕撈努力量增加明顯,導(dǎo)致漁業(yè)資源量加速減少;在魚價(jià)較低時(shí)(p=0.5),則恰恰相反。圖7則更準(zhǔn)確的說明二者經(jīng)過博弈,最終穩(wěn)定在了S=0.5996,Z=0.4003,此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)是平衡的,漁業(yè)生態(tài)是良好的。
學(xué)生從圖8則可以看出,隨著魚價(jià)p的增加,捕撈努力量Z逐漸增大,而漁業(yè)資源量S則逐漸減少,這符合基本的生活常識。圖形顯示,可以讓學(xué)生更直觀、更具體的感受到結(jié)論的真實(shí)性。
圖8 魚價(jià)p對漁業(yè)資源量S和捕撈努力量Z的影響
通過以上兩個(gè)建模案例的講解,不但讓學(xué)生體會到了建模的思想和數(shù)值仿真的方法,而且在解決實(shí)際問題的過程中,加深了學(xué)生對微分方程的理解和應(yīng)用,明確了高等數(shù)學(xué)是實(shí)用性很強(qiáng)的課程,增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)信心。
在教學(xué)過程中,適當(dāng)引入建模案例可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的巨大作用,有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力。同時(shí),還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、分析問題與解決問題的能力[7]。
(1)授課過程中,教師在講解基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,再適當(dāng)引入生活中的建模案例比較恰當(dāng)。在講解案例時(shí),最初不要過于重視細(xì)節(jié),讓學(xué)生從整體上體會建模的過程和數(shù)值仿真的效果。這可以有效地向?qū)W生傳輸建模的思想和數(shù)值仿真的方法,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。
(2)講解案例要有明確的目的性和針對性。應(yīng)選取高等數(shù)學(xué)中典型的教學(xué)內(nèi)容,有針對性的選擇或設(shè)計(jì)案例,通過案例的講解使學(xué)生加深對專業(yè)知識的理解,引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題。
(3)處理好授課內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模之間的關(guān)系。建模思想的融入和數(shù)值方法的使用,是建立在學(xué)生掌握扎實(shí)基礎(chǔ)知識之上的,因此,教師應(yīng)該在教授基礎(chǔ)知識和基本技能的前提下,借助建模案例加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識實(shí)用性的理解。切記在教學(xué)過程中,把建模思想和仿真方法作為重點(diǎn)內(nèi)容來講,而無視正常的教學(xué)內(nèi)容。
本文通過案例討論了在教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想和仿真方法的必要性和可操作性,優(yōu)化了教學(xué)方法和手段。教學(xué)實(shí)踐證明,這種轉(zhuǎn)變不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,而且能夠提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動性,取得了良好的教學(xué)效果。
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[責(zé)任編輯:崔海瑛]
王晶(1981-),女,湖北廣水人,講師,從事微分方程及高等數(shù)學(xué)教學(xué)方面研究。
安徽省省級教學(xué)研究項(xiàng)目(2015jyxm386)
G642.0
A
2095-0063(2016)06-0138-04
2016-05-22
DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.06.030