基于Theil不等系數(shù)和廣義誘導(dǎo)算子的組合預(yù)測(cè)

王玉梅，張 艷

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233000)

基于Theil不等系數(shù)和廣義誘導(dǎo)算子的組合預(yù)測(cè)

王玉梅，張 艷

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233000)

Theil不等系數(shù)極小化組合預(yù)測(cè)方法是基于相關(guān)性的組合預(yù)測(cè)方法的一種，把Theil不等系數(shù)及廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子結(jié)合起來(lái)，介紹了基于Theil不等系數(shù)及幾種誘導(dǎo)算子相關(guān)的概念，并建立了基于Theil不等系數(shù)及幾種誘導(dǎo)算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，研究了最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的相關(guān)性質(zhì)及模型有效性的評(píng)價(jià)方法。

Theil不等系數(shù)；廣義誘導(dǎo)算子；組合預(yù)測(cè)；優(yōu)性組合預(yù)測(cè)

0 引言

我們對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)可能會(huì)利用某一單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，而社會(huì)系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)通常是由各種相互聯(lián)系、制約的因素組成。某單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法只能從某一特定角度提供相對(duì)有效的信息，這樣信息源就缺乏廣泛性。又因?yàn)楦鲉雾?xiàng)預(yù)測(cè)方法之間又是相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充的。我們要充分利用各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法建立合理的組合預(yù)測(cè)模型來(lái)提高擬合精度和預(yù)測(cè)能力。最初的組合預(yù)測(cè)模型只能在一定程度上改善擬合誤差，后來(lái)的組合預(yù)測(cè)模型中增加了權(quán)重的影響，但權(quán)數(shù)只與單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法有關(guān)，而與時(shí)間序列無(wú)關(guān)。為了能根據(jù)不同時(shí)間點(diǎn)上的精度進(jìn)行合理賦權(quán)，本文介紹了基于 Theil 不等系數(shù)及誘導(dǎo)算子的組合預(yù)測(cè)模型，該模型并不是直接考慮預(yù)測(cè)誤差的大小，而是從Theil不等系數(shù)的角度進(jìn)行組合預(yù)測(cè)方法的研究，結(jié)合 IOWA, IOWGA，IOWHA三種誘導(dǎo)算子，建立組合預(yù)測(cè)模型，并分析各模型性質(zhì)。

有關(guān)組合預(yù)測(cè)的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用許多模型定量的對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了探討。Bates 和 Granger在1969年第一次提出了組合預(yù)測(cè)的概念。就是充分利用各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法所得到的各種有效信息，對(duì)每種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法賦予適當(dāng)?shù)臋?quán)重，利用合理的加權(quán)平均形式建立組合預(yù)測(cè)模型從而提高預(yù)測(cè)精度，因此受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度重視[1-12]。2002年，王應(yīng)明介紹了四種基于相關(guān)性的組合預(yù)測(cè)方法：關(guān)聯(lián)度極大化、相關(guān)系數(shù)極大化、夾角余弦極大化和Theil不等系數(shù)極小化組合預(yù)測(cè)方法。2003年，陳華友，劉春林在有序加權(quán)平均算子的基礎(chǔ)上，以誤差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)研究了IOWA算子的組合預(yù)測(cè)方法。2004年，陳華友，劉春林，盛昭瀚對(duì)Theil不等系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及IOWHA算子的相關(guān)應(yīng)用做了分析。2005年，陳華友，盛昭瀚提出了誘導(dǎo)有序幾何加權(quán)平均(IOWGA)算子，并給出了權(quán)數(shù)確定的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。2010年，周禮剛，陳華友，丁子千，艾全達(dá)定義了優(yōu)性組合預(yù)測(cè)和非劣性組合預(yù)測(cè)并通稅收收入的預(yù)測(cè)實(shí)例驗(yàn)證了其有效性與合理性。2011年，劉家軍，王明軍，薛美娟，李洪巖，陳華友將Theil不等系數(shù)分別與IOWHA算子和IOWA算子結(jié)合建立組合預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行相關(guān)實(shí)證研究，得到優(yōu)性組合預(yù)測(cè)模型。

綜上所述，有關(guān)組合預(yù)測(cè)模型的研究中，大部分集中在某相關(guān)性預(yù)測(cè)方法和某種算子結(jié)合在一起來(lái)建立組合預(yù)測(cè)模型。本文把Theil不等系數(shù)及誘導(dǎo)算子結(jié)合起來(lái)，提出了基于Theil不等系數(shù)及幾種不同的誘導(dǎo)算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，并研究了最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的相關(guān)性質(zhì)。

1 Theil不等系數(shù)

2 廣義誘導(dǎo)算子的定義

根據(jù)計(jì)算均值的三種方法誘導(dǎo)算子也可以分為三種：誘導(dǎo)有序加權(quán)算術(shù)平均算子(IOWA)、誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均算子(IOWHA)、誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子(IOWGA)。

當(dāng)L=(1，0，…，0)T時(shí)，廣義有序加權(quán)平均的幾種算子化簡(jiǎn)為max算子，即fL(b1，b2，…，bm)=max1≤i≤mbi；

當(dāng)L=(0，…，0，1)T時(shí)，廣義有序加權(quán)平均的幾種算子化簡(jiǎn)為min算子，即fL(b1，b2，…，bm)=max1≤i≤mbi；

3 基于Theil不等系數(shù)與廣義誘導(dǎo)算子的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型

基于有序加權(quán)平均三種算子的組合預(yù)測(cè)模型中的權(quán)數(shù)只與單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法有關(guān)，而與時(shí)間序列無(wú)關(guān)。為了能根據(jù)不同時(shí)間點(diǎn)上的精度進(jìn)行合理賦權(quán)，本文介紹了基于 Theil 不等系數(shù)及廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子的組合預(yù)測(cè)模型。

定義3 令

其中bti是t時(shí)刻第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度。bti滿足bti∈[0，1]，bti是擬合值(預(yù)測(cè)值)Xti的誘導(dǎo)值，這樣m種預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度序列(bt1，bt2，…，btm)和其在樣本區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值序列(Xt1，Xt2，…，Xtm)就組成m個(gè)二維數(shù)組〈bt1，Xt1〉，〈bt2，Xt2〉，…，〈btm，Xtm〉。令b-index(ti)是(bt1，bt2，…，btm)中按從大到小的順序排列的第i個(gè)大的預(yù)測(cè)精度的下標(biāo)，令

定義4.1(預(yù)測(cè)誤差)

定義4.2(預(yù)測(cè)倒數(shù)誤差)

定義4.3(預(yù)測(cè)對(duì)數(shù)誤差)

則cti是t時(shí)刻第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)的實(shí)際值和對(duì)應(yīng)的擬合值間的對(duì)數(shù)誤差，ct則是組合預(yù)測(cè)在t時(shí)刻的實(shí)際值和對(duì)應(yīng)的擬合值間的對(duì)數(shù)誤差。

令cb-index(ti)=LnXt-LnXb-index(ti)則聯(lián)立方程

根據(jù)Theil不等系數(shù)的定義，下面對(duì)基于Theil不等系數(shù)和廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子建立組合預(yù)測(cè)模型：

所以基于廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子的Theil不等系數(shù)可以寫(xiě)成：

第(1)種情況表示定義5中的組合預(yù)測(cè)模型為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)，第(2)種情況表示非劣性組合預(yù)測(cè)，第(3)種情況表示劣性組合預(yù)測(cè)。因此當(dāng)且僅當(dāng)廣義誘導(dǎo)算子組合預(yù)測(cè)方法擬合值的對(duì)應(yīng)序列和實(shí)際值的對(duì)應(yīng)序列的Theil不等系數(shù)小于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)中Theil不等系數(shù)的最小者，合預(yù)測(cè)模型才是優(yōu)性組合預(yù)測(cè)。

4 基于Theil不等系數(shù)與廣義誘導(dǎo)算子的組合預(yù)測(cè)模型的性質(zhì)

引理1 設(shè)由m種預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度序列bt1，bt2，…，btm產(chǎn)生的廣義誘導(dǎo)算子的預(yù)測(cè)誤差向量Ci=[cb-index(1i)，cb-index(2i)，…，cb-index(ni)]T。

證明：∵Ci=[cb-index(1i)，cb-index(2i)，…，cb-index(ni)]T

令A(yù)=(C1，C2，…，Cm)，則ATA=C∴CT=C，令Y=(y1，y2，…，ym)T。若Y≠0，則AY≠0；否則，至少存在一個(gè)不為零的數(shù)yi，使AY=0，這與C1，C2，…，Cm線性無(wú)關(guān)相矛盾。所以Y≠0，此時(shí)二次型為YTCY=YTATAY=(AY)TAY>0，即二次型正定，所以廣義誘導(dǎo)算子的組合預(yù)測(cè)誤差信息矩陣C是正定矩陣。

證明：因?yàn)閷?shí)際值對(duì)應(yīng)序列給定后分母就是固定不變的常數(shù)項(xiàng)，所以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

F(L，λ)=LTCL-λ(RTL-1)

定理3簡(jiǎn)單平均組合預(yù)測(cè)方法至少是非劣性的。

又因?yàn)樵趖時(shí)刻的最大預(yù)測(cè)精度為xb-index(ti)，而xb-index(t1)不是恒為最大的預(yù)測(cè)精度，對(duì)于?t∈{1，2，…，n}，根據(jù)定義3得：

所以

5 組合預(yù)測(cè)的效果評(píng)價(jià)

6 結(jié)束語(yǔ)

將Theil不等系數(shù)和廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子相結(jié)合，提出了基于Theil不等系數(shù)的廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，并對(duì)組合預(yù)測(cè)模型的性質(zhì)進(jìn)行探討。另外，對(duì)基于Theil不等系數(shù)的廣義誘導(dǎo)算子最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的理論問(wèn)題如優(yōu)性組合預(yù)測(cè)、非劣性組合預(yù)測(cè)的存在性以及預(yù)測(cè)效果的判定等問(wèn)題進(jìn)行了介紹。

[1]BatesJM，GrangerCWJ．Combinationofforecasts[J]．OperrationsResearchQuarterly，1969，20(4)：451-468．

[2]GuerardJB，ClemenRT．CollinearityandtheuseoflatentrootregressionforcombiningGNPforecasts[J]．JournalofForecasting，1989，8(3)：231-238．

[3]BischoffCW．Thecombinationofmacroeconomicforecasts[J]．JournalofForecasting，1989，8(3)：293-314．

[4] 王應(yīng)明．基于相關(guān)性的組合預(yù)測(cè)方法研究[J]．預(yù)測(cè)，2002，(2)：85-62．

[5] 陳華友，劉春林．基于IOWA算子的組合預(yù)測(cè)方法[J]．預(yù)測(cè)，2003(6)：61-65．

[6] 陳華友．基于Theil不等系數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型的性質(zhì)[J]．電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，33(1)：105-108．

[7] 陳華友，劉春林，盛昭瀚．IOWHA算子及其在組合預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]．中國(guó)管理科學(xué)，2004，12(5)：35-40．

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[9] 李洪巖，陳華友．基于Theil不等系數(shù)的IOWHA算子組合預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41(11)：105-112．

[10] 劉家軍，王明軍，薛美娟，等．基于Theil不等系數(shù)的IOWA算子和馬爾科夫鏈的電量組合模型研究[J]．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2011，39(19)：30-37．

[11] 周禮剛，陳華友，丁子千，等．基于Theil不等系數(shù)的IOWGA算子組合預(yù)測(cè)模型[J]．安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，34(1)：1-6．

[12] 唐小我，曹長(zhǎng)修，金德運(yùn)．組合預(yù)測(cè)最優(yōu)加權(quán)系數(shù)向量的進(jìn)一步研究[J]．預(yù)測(cè)方法研究，1994(2)：48-49．

[責(zé)任編輯：崔海瑛]

(英文摘要略)

November，2016

Based on the Theil coefficient and generalized induced operator's combination forecast

WANGYu-MeiZHANGYan

(DepartmentofStatistics,AnhuiUniversityofFinanceandEconomics,Bengbu233000,China)

王玉梅(1965-)，女，山東煙臺(tái)人，教授，從事經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)分析研究。

O221.1

A

2095-0063(2016)06-0054-07

2016-04-08

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.06.012