巧用極值不等式 定和求積覓極值

李棟

【中圖分類號】G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2016）11-0205-02

極值問題是物理應(yīng)用中常見問題之一，解決這類問題的方法有幾種，如二次函數(shù)配方法、二次方程判別法、三角函數(shù)法、幾何作圖法，對于同一問題采取方法不同，其效果往往并一樣。

數(shù)學(xué)中有兩個(gè)重要極值不等式，它們是：

（1）均值不等式為：

（可變形為，當(dāng)a=b時(shí)取等號）

（2）重要不等式為：

（可變形為，當(dāng)a=b時(shí)取等號）

在物理極值問題的討論計(jì)算中恰當(dāng)運(yùn)用以上結(jié)論，是必簡便快捷，現(xiàn)舉幾例。

【例1】一正方形木塊邊長為H，在其右上方做成一個(gè)1/4圓形光滑軌道，半徑為R，讓質(zhì)量為M的小球從A點(diǎn)自由釋放離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，問：

（1）小球在B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力多大？

（2）要使小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程最大，軌道半徑R與H應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

析與解：（1）小球從A點(diǎn)自由釋放滑到B點(diǎn)的過程中，只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，，而小球在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，所受支持力F與G應(yīng)滿足，由此得：支持力F=3mg，小球?qū)壍赖膲毫?mg;

（2）小球從A點(diǎn)自由釋放滑到B點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，小球離開B點(diǎn)時(shí)的速度為;小球離開B點(diǎn)之后做平拋運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)間為，由此得：小球水平射程，由極值不等式有：當(dāng)H-R= R時(shí)，即時(shí)，射程最大，最大射程為H。

【例2】如圖所示，光滑水平面右端連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去外力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)處以正好落回A點(diǎn)，求：

（1）推力對小球所做的功;（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最小？最小的功為多少？（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所用的力最小？最小的力為多少？

【析與解】（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓軌道運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為vc，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用時(shí)間為t，則：

在水平方向上x=vct，在豎直方向上2R=gt2/2，可得：，對質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有：，解得：

（2）由知，要使力F做的功最少，只需質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，設(shè)質(zhì)點(diǎn)恰好通過C點(diǎn)的速度為v，由牛頓第二定律得mg=mv2/R，則，則有，可得x=2R時(shí)，力F做的功最少，

（3）由=Fx，得，由極值不等式有：當(dāng)16R/x=x/R時(shí)，即x=4R時(shí)，力F最小，，最小的力為F=mg。

【例3】如圖，粗細(xì)均勻的玻璃管長L=100厘米，開口向上豎直放置時(shí)，上 端齊管口有一段h=25厘米的水銀柱封閉著27℃空氣柱，大氣壓強(qiáng)為P=75厘米汞柱，現(xiàn)使空氣柱溫度逐漸升高，問欲使管內(nèi)水銀全部溢出，溫度至少升到多高？

析與解：設(shè)管內(nèi)空氣柱溫度升高到T（開），管內(nèi)尚有水銀柱 ?厘米，管的橫截面積為S，則有

將數(shù)據(jù)代入，整理得：

如果再變?yōu)橛嘘P(guān)的二次函數(shù)求極值，解答就較為復(fù)雜，由于為常數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng) 厘米時(shí)，T有極大值為（K）。

【例4】如圖所示電路中，已知電源電動(dòng)勢內(nèi)阻，定值電阻，，是總阻值為的滑動(dòng)變阻器，閉合電鍵K，調(diào)節(jié)變阻觸點(diǎn)，求通過電源的最小電流？

析與解：與電源組成的電路實(shí)際上是雙臂環(huán)路，通過電源電流最小時(shí)，實(shí)際對應(yīng)總電阻最大，設(shè)AP段阻值為X，那么：

由于（定值），

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值，，因此通過電源電流

（A）

物理中經(jīng)常遇到求極值的問題，如果一類問題，涉及到兩個(gè)變量和為定值，求相應(yīng)量極值問題，即定和求積覓極值，就可用數(shù)學(xué)中的極值不等式求極值，收到事半功倍的效果。