打通算法多樣化與算法優(yōu)化的脈絡(luò)

錢金勇

摘要：課程改革以來，算法多樣化深入人心。許多一線教師熱衷于算法多樣化，但是由于缺乏對算法優(yōu)化理念的深入解析，產(chǎn)生了一些誤區(qū)：為算法多樣化而多樣化，沒有及時優(yōu)化，導(dǎo)致教學(xué)中的一些遺憾。本文力求從“多樣化”和“優(yōu)化”兩個角度去把握算法多樣化，打通它們之間的脈絡(luò)。算法多樣化是算法優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)，在尊重算法多樣化的前提下，要及時的優(yōu)化。算法多樣化走向算理上的最優(yōu)化，也是必然的趨勢。重視算法優(yōu)化，會不斷地促進算法的“多樣化”。算法的優(yōu)化，是在體驗與反思基礎(chǔ)上的內(nèi)化過程。算法優(yōu)化會促進個體的發(fā)展。只有打通算法多樣化與優(yōu)化的脈絡(luò)，給學(xué)生一個扎實有效的課堂學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，打通算法多樣化與算法優(yōu)化的脈絡(luò)，促進知識的內(nèi)化。

關(guān)鍵詞：誤區(qū)；意義；打通脈絡(luò)；知識的內(nèi)化

一、緣由

課程改革以來，對學(xué)生計算要求有所降低，也減去教材中一些偏、難、繁瑣的計算，但學(xué)生的計算能力不升反降。這是什么原因，這會跟我們所提倡的算法多樣化有關(guān)嗎？我針對自己課程改革教學(xué)多年的感受，以及與同事，同行交流的一些心得整理出來，確實我們計算教學(xué)的算法多樣化確實存在一些誤區(qū)。

二、算法多樣化的一些誤區(qū)

1、為算法多樣化而多樣化。（1）把算法多樣化等同于“一題多解”。“一題多解”是學(xué)生個體能力的表現(xiàn)，是一種很高的學(xué)習(xí)要求，在某種程度上說是很難達到的要求。算法多樣化是群體學(xué)習(xí)能力的表現(xiàn)，是學(xué)生集體的一題多解，是學(xué)習(xí)個性化的表現(xiàn)。因此，個體在解決問題時沒有必要掌握多種算法，讓個體掌握多種算法的教學(xué)定位無疑加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，違背了算法多樣化的精神實質(zhì)。（2）老師“索要”多樣化的算法。不能為了體現(xiàn)多樣化而多樣化，讓學(xué)生絞盡腦汁，想出與眾不同的、費解的算法，甚至引導(dǎo)學(xué)生尋求“低層次算法”。更不要為了湊數(shù)量，而介紹后續(xù)知識方法來充當(dāng)現(xiàn)存的算法，學(xué)生不明白道理，只能死記硬背，結(jié)果是拔苗助長，事與愿違。

2、沒有及時優(yōu)化。（1）算法是多樣化，但卻表面化。算法多的熱鬧，但都是浮于表面，造成了算法多樣化的表面化、形式化。（2）恰當(dāng)使用“你喜歡怎么算就怎么算”。計算課教學(xué)中，教師常常會用“你喜歡那種算法就用那種算法”。急于讓學(xué)生去選擇“喜歡哪種算法”，沒有要回頭對各種方法進行評價與反思，通過對各種方法的辨析，來認(rèn)識不同方法的特點與優(yōu)勢，以此來達到“去偽存真、去粗取精”的目的，實現(xiàn)“優(yōu)化選擇”。

以上情況的發(fā)生導(dǎo)致的結(jié)果是計算錯誤率的提高，以至于一些教師在懷疑算法多樣化的必要性，究其原因主要是教師對算法多樣化的認(rèn)識存在著偏差。一方面認(rèn)為要尊重學(xué)生，要讓學(xué)生的個性得到發(fā)展，另一方面又急于對算法進行歸納提升，使算法多樣化和算法優(yōu)化失去關(guān)聯(lián)脈絡(luò)不通，達不到預(yù)期的效果。如何打通算法多樣化與優(yōu)化的脈絡(luò)，需要先從了解什么是算法多樣化，什么是算法的優(yōu)化？

三、算法多樣化與優(yōu)化的意義

算法即算術(shù)方法。小學(xué)算法多樣化是指在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在四則運算中，鼓勵學(xué)生用多種多樣的方法進行計算，從而使學(xué)生的思維獲得某種訓(xùn)練，使學(xué)生具有開放的思維和意識。所謂的“多樣化”是指“群體的多樣化”。小學(xué)算法優(yōu)化，是指在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點、積累的運算經(jīng)驗以及學(xué)生擅長的計算思維方式，引導(dǎo)學(xué)生強化某種思維運算方式，從而使學(xué)生獲得一種基于自身個性的優(yōu)化思維運算。有了對意義的深入理解，我們不難看出，多樣化與優(yōu)化其實誰也離不了誰，它們是交融在一起。而如何恰當(dāng)運用多樣化與優(yōu)化，打通它們之間的脈絡(luò)，將是下面我要闡述的觀點。

四、打通算方法多樣化與優(yōu)化之間的脈絡(luò)

1、尊重算法多樣化，是優(yōu)化的根基。

（1）算法多樣化是算法優(yōu)化的前提和基礎(chǔ)。愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅僅是一個數(shù)學(xué)的或?qū)嶒灥募寄芏?，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進步?！边@充分說明了從不同的角度思考問題的重要性。算法多樣化正是提倡引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時，嘗試從不同角度、不同思路去考慮。同時，每個學(xué)生都有自己獨特的思維方式和解決問題的策略。有比較才有鑒別，有特殊才有一般，有多樣化才會有優(yōu)化。只有引導(dǎo)學(xué)生算法多樣化，才能引導(dǎo)學(xué)生嘗試評價不同算法之間的差異，才能尋找解決問題的最佳途徑。這種最佳途徑是相對學(xué)生自身條件來說最好的思維運算，是相對優(yōu)化的。

案例片段：20以內(nèi)的退位減法。

例如，在“20以內(nèi)的退位減法”“12—9”的教學(xué)中。學(xué)生得出了下面一些算法：①數(shù)數(shù)法；②破十法：10—9=1，2+1=3。③連續(xù)減：12—2=10，l0一7=3。④想加算減：9+3=12，12—9=3。⑤其他，聯(lián)想：11—9=2，2+1=3等……

這是我并沒有急于下結(jié)論，而是問：你認(rèn)為那種方法好，你是怎么想的？

生1：我覺得破十法好，因為它好算。

生2：我是用第三種的，我爸爸教我的。

生3：我是用第四種的，我只用記一道算式就夠了。因為9+3=12。所以12——9=3……學(xué)生各有各的理由，在學(xué)生看來，他們的方法就是最好，而我們的教師自己要清楚那些是最好的，如何讓他們在這么多的方法中比較出來，感受算法優(yōu)化的過程。這過程是一個促進學(xué)生學(xué)會反思、自我完善的過程。所以，教師應(yīng)該把選擇判斷的主動權(quán)放給學(xué)生，為學(xué)生提供足夠的時間，充分交流的機會。教師引導(dǎo)學(xué)生進行討論交流、分析比較，讓學(xué)生在用自己的算法和用別人的算法計算時。認(rèn)識到差距，產(chǎn)生修正自我的內(nèi)需，從而“悟出”屬于自己的最佳方法。如上面“12—9”的多種算法呈現(xiàn)后，學(xué)生經(jīng)歷以上過程就可以選擇出一般性算法，如第②～④種，即破十法、連續(xù)減、想加算減。教師要注意在引導(dǎo)評價算法時，不要講“優(yōu)點”，而要講“特點”，把優(yōu)點讓給學(xué)生自己去感悟，為學(xué)生多留一點思考的空間，使得所有學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展，才能達到優(yōu)化算法的目的。從以上案例不難看出，如果沒有學(xué)生的多種方法，何來的比較，何來的方法優(yōu)化。

（2）算法多樣化走向算理上的最優(yōu)化，也是必然的趨勢?！八惴▋?yōu)化意味著學(xué)生有一種基于天賦特點的優(yōu)化思維運算，這是在算法多樣化的過程中符合邏輯的自然結(jié)果?！彪S著小學(xué)生學(xué)段的增加，小學(xué)生數(shù)學(xué)思維逐步發(fā)展，算法多樣化走向算理上的最優(yōu)化，也是必然的趨勢。

案例：（片斷）

12×4=48

師：請同學(xué)們想一想用什么方法這么快就算出是48呢。能把你的想法互相告訴你的同桌同學(xué)

生1：10×4=40，2×4=8，12×4=48

生2：12×4=12×2×2=24×2=48

生3：12×4=12+12+12+12=48

生4：6×4=24，6×4=24，12×4=48

師：以上幾種方法，你覺得那種口算方法比較快，那種口算方法比較慢？

經(jīng)過討論學(xué)生一致得出方法1、2、4，都是比較快的。方法3是比較慢的。

師再追問：第四種真的快嗎？

如果是這樣的23×7=（ ），你會用那種方法？

生經(jīng)過一會思考說：第一種……

兩位數(shù)乘一位數(shù)，按人們長期總結(jié)的經(jīng)驗是直接從高位算起，并注意個位乘積的進位，再寫得數(shù)，這樣的速度比較快。為了使學(xué)生既能掌握這一方法，又能實現(xiàn)算法多樣化，所以在以上教學(xué)中教師首先放手讓學(xué)生充分展示自己的不同思考方法，緊接著引導(dǎo)學(xué)生比較那種口算速度快。學(xué)生在比較中至少感受到方法3是不快的，對于其他的方法，而是在計算23×7的環(huán)節(jié)中，使自己去感悟采用從十位開始的口算方法的優(yōu)越性。

2、重視算法優(yōu)化，體驗萬變不離其宗。

（1）學(xué)生算法的優(yōu)化，是學(xué)生在體驗與反思基礎(chǔ)上的內(nèi)化過程。算法多樣化是一種手段不是目的，出現(xiàn)多樣化的算法后，選擇哪一種方法，是每個學(xué)生面臨的問題。那么，對算法進行優(yōu)化，則是學(xué)生數(shù)學(xué)思維質(zhì)的飛躍。只有學(xué)生思維的飛躍，才有更多的想法，從而促進法的多樣化，算法的群體化。

案例：《小數(shù)加減法》（北師大課標(biāo)實驗教科書四年級下冊）

心語陪媽媽到百聯(lián)超市購物，買了一瓶酸牛奶，單價1.25元；一袋餅干，單價2.41元。收銀臺要媽媽交3.66元，對嗎？

創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生根據(jù)情境提出數(shù)學(xué)問題并列出算“1.25+2.41”后，教師讓學(xué)生自主思考計算方法。結(jié)果學(xué)生的想法主要有三種：

①利用生活經(jīng)驗，結(jié)合實際情境來解決。1.25元等于1元2角5分，2.41元等于2元4角1分。1元加2元等于3元，2角加4角等于6角，5分加1分等于6分，合起來就是3元6角6分，以元作單位就是3.66元，算式是1.25+2.41=3.66元；

②運用整數(shù)加減法進行推理（如圖）。1.25元、2.41元可以分別看作125分、241分。

③借助數(shù)形結(jié)合直觀圖來解決（如圖）。

比較上述三類方法，從解決問題的策略來講，它們的確都能解決情境中的問題，也都能幫助學(xué)生理解小數(shù)加減法的本質(zhì)意義。但是，教者如果僅僅滿足于此，那么，這眾多的方法在學(xué)生頭腦中就必然是孤立的、零散的、沒有結(jié)構(gòu)的，甚至是相互干擾的。因此作為教師，有義務(wù)引領(lǐng)學(xué)生觀察、比較、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，幫助學(xué)生理解方法表象后面的本質(zhì)內(nèi)涵。下面是一位老師對此思考后的嘗試：在學(xué)生交流介紹的時候，教師適時地抓住學(xué)生的關(guān)鍵語句，加以提煉：對于第一種類型，教師抓住了學(xué)生的“元+元”、“角+角”、“分+分”；對于第二種類型，提煉出了“塊+塊”、“條+條”、“格+格”；對于第三種類型，重點突出“個位+個位”、“十分位+十分位”、“百分位+百分位”。

由于有了這樣的提煉，學(xué)生很容易理解了三種方法的共同點：相同數(shù)位對齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減。舉一綱而萬目張，解一卷而眾篇明！對展示交流進行減法運算的意義正在于此。上述案例中，課堂雖然展示了多種方法，但是這些方法在學(xué)生頭腦中卻并不蕪雜。這是因為各種方法都有一個共同的繩——相同數(shù)位對齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減。只要一拎這根共同的繩，那么各種方法就會一拎而百順，綱舉而目張！

（2）個體的差異促進算法優(yōu)化。小學(xué)生每個人都有自己的生活背景、家庭環(huán)境、特定的生活與社會文化氛圍，這導(dǎo)致了不同的小學(xué)生有著不同的思維方式，不同的興趣愛好，不同的發(fā)展?jié)撃?。小學(xué)生的差異是客觀存在的，教師應(yīng)持一種客觀的態(tài)度，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

案例《找規(guī)律》片段。

教師先讓學(xué)生聽一段有規(guī)律的鼓點音頻節(jié)奏，讓學(xué)生思考：

①找一找，它的規(guī)律是什么？

②想出一種自己喜歡的方法把這個規(guī)律表示出來，讓別人一眼就能看明白。

③在你的表示方法中，照這個規(guī)律排列下去。它的第17個是什么？

學(xué)生由于家庭環(huán)境不同、思維方式不同、文化背景不同，其對同一問題的理解和建構(gòu)也各不相同。因此，學(xué)生紛紛展示了各自富有個性化的想法：

①用文字表示：強弱弱強弱弱……第十七個為弱；

②用數(shù)字表示：123123……第十七個為“2”；

③用符號表示：△□△○□……第十七個為“○”；

④計算：ABCABC……因為17÷3=5…2，所以第十七個應(yīng)該是“B”。

“那么，哪一種方法更簡單呢？”隨著老師的詢問，學(xué)生幾乎異口同聲地認(rèn)為第四種方法也就是計算的方法最簡單。

“為什么？”教師追問。

“因為計算省時，一道算式就夠了，不像字母、符號、漢字那樣要一個一個地板書，這樣數(shù)字大的時候就非常麻煩，比如說問第101個鼓點，想一想，如果用漢字寫要寫到什么時候？”

“那么其他方法就一點優(yōu)點都沒有了嗎？”教師反問。

學(xué)生陷入了沉思，很快有學(xué)生發(fā)言了：“文字、圖形、漢字清楚直觀，答案是什么，一眼就能看清楚。而且它能保證答案絕對正確！”

“那么你覺得什么時候用什么方法就比較合適？”

“數(shù)字小時，比如說七八個時選擇圖形、文字、字母等方法比較合適；如果數(shù)字大了，用計算的方法相對來說簡單一些。

沒有“最好”的算法，只有“最適合”的算法。只有經(jīng)過優(yōu)化，多樣化才有意義。上述教學(xué)的意義正在于此。教學(xué)中，學(xué)生通過分析、比較，不僅明了了各種算法的價值和適用范圍，體悟了具體問題具體分析的策略，同時更重要的，學(xué)生在反思中形成了溝通接納的思想和并蓄包容的多元價值理念。而這不正是新興人才必備的基本素質(zhì)嗎？

在對算法優(yōu)化的認(rèn)識上，也是如此。不同的小學(xué)生對算法優(yōu)化的認(rèn)識有差異。也許在多數(shù)人看來是不好的算法，但他卻認(rèn)為是優(yōu)秀的，因為他能理解，能應(yīng)用，能幫他解決數(shù)學(xué)問題。教師不要急于評價學(xué)生的各種算法，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過比較各種算法的特點，選擇適合自己的方法。只要是適合的，就是相對優(yōu)化的算法。

算法優(yōu)化與算法多樣化都有利于學(xué)生思維的發(fā)展，算法優(yōu)化有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，算法多樣化有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和開放性。算法優(yōu)化和算法多樣化如同一枚硬幣的兩面，二者密不可分，共同促使學(xué)生的思維從低級階段向高級階段發(fā)展。沒有算法優(yōu)化，只有算法多樣化，只會使算法多樣化成為形式上的多樣化，不符合人類認(rèn)知的規(guī)律。由此可見，算法多樣化和算法優(yōu)化二者實質(zhì)上并不矛盾。它們在本質(zhì)上是兩種思維訓(xùn)練。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要我們打通算法多樣和算法優(yōu)化的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生進行體驗與反思，自覺進行算法的優(yōu)化，促進知識的內(nèi)化。最終讓每一個學(xué)生在數(shù)學(xué)上都有所發(fā)展。

參考文獻

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