基于均勻化理論的兩種網(wǎng)孔材料力學(xué)性能的比較

鄭亞東，崔小朝，晉艷娟，張 柱

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

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基于均勻化理論的兩種網(wǎng)孔材料力學(xué)性能的比較

鄭亞東，崔小朝，晉艷娟，張 柱

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

主要研究了網(wǎng)孔材料的力學(xué)性能。在均勻化理論的基礎(chǔ)上，通過有限元軟件ABAQUS計算了蜂窩孔材料和密排圓孔材料的等效彈性參數(shù)隨實體率的變化規(guī)律，并提出兩種網(wǎng)孔材料力學(xué)性能的比較分析。研究表明：當(dāng)實體率相同時，密排圓形網(wǎng)孔的等效彈性模量和等效切變模量均大于蜂窩網(wǎng)孔。研究成果對工程實踐中推廣使用密排圓孔材料具有很大的價值。

網(wǎng)孔材料；均勻化理論；ABAQUS；等效彈性參數(shù)

隨著材料科學(xué)的迅速發(fā)展，網(wǎng)孔材料成為科學(xué)領(lǐng)域所關(guān)注的重點，促進了建筑、汽車、造船、電信、機械等行業(yè)工程材料的發(fā)展。大多數(shù)工程材料具有非均勻化特點，這種非均性在某種程度滿足人們對結(jié)構(gòu)特殊功能的需求。經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)將研究對象看作是連續(xù)、均勻的材料。事實上，自然界中的材料本來就是非均勻的，連續(xù)材料只是在工程結(jié)構(gòu)的宏觀尺度范圍內(nèi)的理想化模型，而在細觀尺度范圍內(nèi)，所有材料表現(xiàn)出其特有的非均勻性。非均勻材料由于其材質(zhì)分布的不均勻性，導(dǎo)致其性能也是不均勻的，這是非均勻材料的主要特點[1]。由于非均勻材料的可設(shè)計、輕質(zhì)等諸多優(yōu)點，使得非均勻材料在工程結(jié)構(gòu)中獲得了日益重要的應(yīng)用。王飛等在用均勻化理論分析蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彈性參數(shù)中利用均勻化理論探討了蜂窩材料的等效彈性模量的計算方法，并與之比較了Gibson和W-K經(jīng)驗公式，指出了傳統(tǒng)經(jīng)驗公式的不足[2]。劉書田等在基于均勻化理論的多孔板彎曲問題新解法中提出了多孔板彎曲問題的新的有限元解法[3]。樊學(xué)軍在均勻化理論及其在生物力學(xué)中的應(yīng)用中普及了均勻化理論的應(yīng)用范疇[4]。本文將基于均勻化理論比較密排圓孔和蜂窩孔材料的等效彈性參數(shù)，進而幫助選擇力學(xué)性能較優(yōu)的材料。

1 均勻化理論及有限元法

1.1 均勻化理論

網(wǎng)孔材料是由單胞結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)的周期性排列，如圖1所示:

(a)整體結(jié)構(gòu) (b)單胞

Fig.1 Periodical structure diagram of mesh material

根據(jù)網(wǎng)孔材料的周期性特征，在外荷載的作用下，網(wǎng)孔單胞的場變量會隨著宏觀結(jié)構(gòu)場變量的變化而變化。為描述結(jié)構(gòu)在宏觀及細觀的場變量性質(zhì)，引入小參數(shù)ε和宏觀尺度 ：

y=x/ε

(1)

φε(x)=φ(x,x/ε)=φ(x,y)=φ(x,y+nY)

(2)

Y為此周期性函數(shù)的周期，對于一個單胞，式(2)關(guān)于xi求導(dǎo)為：

(3)

將周期性位移函數(shù)關(guān)于ε漸進展開得：

(4)

經(jīng)過推導(dǎo)可得如下等效彈性模量的計算公式：

(5)

1.2 均勻化理論的有限元格式

為計算材料的等效彈性模量，需求出等效位移參數(shù)xmn(y).經(jīng)推導(dǎo)得如下公式：

(6)

其中：

[Ke]=∫ΩeBTCBdV

(7)

2 周期性邊界條件

代表性胞元上平均應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足均勻化理論的前提是：該代表性體積單元的邊界必須施加周期性邊界條件[5]。目前，均勻化理論中常見的邊界條件有固支邊界條件、等位移邊界條件、周期性邊界條件3種，其中周期性邊界條件相對于其它兩種邊界條件來說是最為嚴(yán)格的邊界條件[6]。任一代表性胞元的周期性邊界條件為點、線分別滿足不同的約束方程。

圖 2 平面周期性單胞

Fig.2 Planar periodical cell

如圖2所示，尺寸為2m*2n的代表性胞元共有兩對邊，兩對邊中每一對都需要符合如下的周期性邊界條件：

(Ux=m-ux=-m)y=2me11

(8)

(vx=m-vx=-m)y=0

(9)

(wx=m-wx=-m)y=0

(10)

簡化為：

UA-UB=δAB

(11)

(uy=n-uy=-n)x=2ne12

(12)

(vy=n-vy=-n)x=2ne22

(13)

(wy=n-wy=-n)x=0

(14)

簡化為：

UC-UD=δCD

(15)

其中u、v、w分別表示x，y，z方向的位移，而對于該平面問題，w為0，e11,e22，e12是作用在代表胞元上的預(yù)應(yīng)變，下標(biāo)x=m，y=n表示對應(yīng)邊，下標(biāo)y，x表示對應(yīng)邊上坐標(biāo)相同的點。

上述方程定義了代表性單胞四個邊的周期性位移邊界條件，而單胞的四個頂點分別被相鄰的兩條邊共享，因此僅僅依靠上述方程肯定會產(chǎn)生過約束。因此對于四個頂點也應(yīng)當(dāng)滿足周期性邊界條件，如下：

Ua-Ub=δAB

(16)

Uc-Ud=δAB

(17)

Ua-Uc=δCD

(18)

Ub-Ud=δCD

(19)

周期性邊界條件需滿足每一對邊或點上的節(jié)點一一對應(yīng)。為了確保每一個節(jié)點的對稱性，一個單胞的網(wǎng)格部件是由1/4單胞相對于坐標(biāo)軸鏡像產(chǎn)生。因ABAQUS操作窗口中只能建立一點對一點，或者一點對多點的約束關(guān)系，而無法滿足多點與多點一一對應(yīng)，所以本文通過修改inp文件，對單胞結(jié)構(gòu)施加相應(yīng)的邊界條件[7]。將周期性邊界條件代入幾何模型，經(jīng)有限元軟件分析得出等效位移參數(shù)x，然后將x代入式(5)進行數(shù)據(jù)處理，得到網(wǎng)孔材料的等效彈性矩陣，并由彈性矩陣與等效彈性模量的關(guān)系求出網(wǎng)孔材料的等效彈性模量。

3 基于ABAQUS的蜂窩網(wǎng)孔材料與密排圓孔材料力學(xué)性能的比較

對于網(wǎng)孔材料，針對不同類型的網(wǎng)孔材料，選取了相應(yīng)的單胞。在此分析蜂窩網(wǎng)孔和密排圓孔的等效彈性常數(shù)。為滿足均勻化理論，選取了圖3所示的單胞結(jié)構(gòu)作為蜂窩和密排圓型網(wǎng)孔的最小單胞結(jié)構(gòu)進行分析[8]。

(a)蜂窩孔單胞

(b)密排圓孔單胞

圖3 網(wǎng)孔材料單胞

Fig.3 Cells of mesh structure

根據(jù)前文所介紹的均勻化理論和周期性邊界條件，我們選取不銹鋼材料作為研究材料，其彈性模量E=206 Gpa，泊松比v=0.3，并通過ABAQUS軟件分別模擬蜂窩材料和密排網(wǎng)孔結(jié)構(gòu)的等效彈性參數(shù)。在有限元分析過程中我們通過施加X軸和Y軸方向的單位應(yīng)變，以及面內(nèi)的單位切向應(yīng)變，確定單胞結(jié)構(gòu)的位移場。當(dāng)實體率為50%時，得到圖4所示應(yīng)力云圖。其中(a)、(b)、(c)分別表示X軸向單位應(yīng)變、Y軸向單位應(yīng)變，XY面內(nèi)單位切應(yīng)變作用下蜂窩孔單胞和密排圓孔單胞的應(yīng)力云圖；而(d)、(e)、(f)分別表示X軸向單位應(yīng)變、Y軸向單位應(yīng)變，XY面內(nèi)單位切應(yīng)變作用下密排圓孔單胞的應(yīng)力云圖。比較兩種網(wǎng)孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖，發(fā)現(xiàn)蜂窩結(jié)構(gòu)與密排圓孔結(jié)構(gòu)云圖形狀相似，不同的是蜂窩結(jié)構(gòu)在拐角處出現(xiàn)明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，而密排圓孔結(jié)構(gòu)分布較為均勻，且圓弧位置處應(yīng)力不存在突變。

圖4 軸向應(yīng)力云圖

Fig.4 The axial stress cloud

在模擬過程中，通過調(diào)整實體率來研究網(wǎng)孔材料等效彈性參數(shù)的變化規(guī)律，并進一步研究網(wǎng)孔形狀對網(wǎng)孔材料力學(xué)性能的影響。得到了如圖5所示的兩種網(wǎng)孔材料等效彈性常數(shù)隨實體率的變化曲線。

(a)蜂窩材料與密排圓孔材料等效彈性模量的擬合曲線

(b)蜂窩材料與密排圓孔材料等效切變模量的擬合曲線

圖5 蜂窩材料與密排圓孔材料力學(xué)性能有限元結(jié)果的擬合曲線

Fig.5 The fitted curves of mechanical properties of honeycomb and packed round mesh material from numerical parameters

由圖5(a)所示，密排圓孔結(jié)構(gòu)等效彈性模量大于蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彈性模量，由圖5(b)所示密排圓孔結(jié)構(gòu)等效切變模量大于蜂窩結(jié)構(gòu)的等效切變模量。因而當(dāng)實體率相同時，圓孔密排結(jié)構(gòu)的抗拉壓性能與抗切變性能均要強于蜂窩結(jié)構(gòu)。另外對于相同等效彈性模量的蜂窩孔材料和密排圓孔材料，后者具有較小的實體率，因而選擇使用密排圓孔材料可以起到節(jié)省材料的作用，這是網(wǎng)孔材料輕質(zhì)化的要求充分體現(xiàn)。在工程實踐中，若網(wǎng)孔形狀沒有特殊需要，應(yīng)當(dāng)盡可能選取密排圓孔材料作為網(wǎng)孔材料。

4 結(jié) 論

(1)通過比較蜂窩孔單胞與密排圓孔單胞的應(yīng)力云圖及等效彈性參數(shù)，模擬結(jié)果表明，相同實體率的情況下，密排圓孔材料的等效彈性模量和等效切變模量均大于蜂窩孔結(jié)構(gòu)。

(2)對于相同等效彈性模量的蜂窩孔材料和密排圓孔材料，后者具有較小的實體率，因而選擇使用密排圓孔材料可以起到節(jié)省材料的作用。工程實踐中，應(yīng)當(dāng)應(yīng)當(dāng)盡量選用密排圓孔材料。

[1] 黃富華．周期性復(fù)合材料有效性能的均勻化計算[D]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010.

[2] 王飛．用均勻化理論分析蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彈性參數(shù)[J]．力學(xué)學(xué)報，2002，34(6)：915-916.

[3] 劉書田，程耿東，顧元憲. 基于均勻化理論的多孔板彎曲問題新解法[J]. 固體力學(xué)學(xué)報，1999，20(3)：195-196.

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Comparison of Elastic Property of Two Kinds of Mesh Materials Based on Homogenization Theory

ZHENG Ya-dong, CUI Xiao-chao, JIN Yan-juan, ZHANG Zhu

(School of Applied Science, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

In this paper, the mechanical properties of mesh materials are studied. Based on the theory of Homogenization, the variation rule of honeycomb mesh material and packed round mesh material is calculated with the help of ABAQUS, and the comparative analysis of these two kinds of mesh material is put forward. The results show that when the entity rate is the same, the equivalent elastic and shear modulus of packed round mesh material are bigger than honeycomb mesh material. This result is valuable for the promotion of packed round mesh material in the engineering practice.

mesh materials, homogenization theory, ABAQUS, equivalent elastic modulus

1673-2057(2016)06-0486-05

2015-11-23

鄭亞東(1991-)，男，碩士研究生，主要研究方向為材料斷裂理論與結(jié)構(gòu)設(shè)計。

國家自然科學(xué)基金(51574171)、山西省自然科學(xué)基金(2015011002，2015021021)、太原科技大學(xué)博士啟動基金(20132012)

O341

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.06.013