數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用
——“直線與圓的位置關(guān)系”（第1課時(shí)）的教學(xué)實(shí)錄與思考

☉廣東省深圳市龍華新區(qū)教育科學(xué)研究管理中心 林日福

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用
——“直線與圓的位置關(guān)系”（第1課時(shí)）的教學(xué)實(shí)錄與思考

☉廣東省深圳市龍華新區(qū)教育科學(xué)研究管理中心 林日福

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將原來的“雙基”擴(kuò)充到了“四基”，其中，特別是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用，更是成為當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究的熱點(diǎn)問題.本文筆者將以北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章第6節(jié)的“直線與圓的位置關(guān)系（第1課時(shí)）”的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用問題，供讀者交流討論.

一、教材內(nèi)容簡(jiǎn)析

本課是北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章第6節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容共分2個(gè)課時(shí).第1課時(shí)重點(diǎn)研究直線與圓的三種位置關(guān)系及切線的性質(zhì)，第2課時(shí)重點(diǎn)研究切線的判定及三角形的內(nèi)切圓.對(duì)于第1課時(shí)，教材編排了兩個(gè)部分的內(nèi)容，第1部分是通過設(shè)計(jì)一個(gè)地平線與太陽的位置關(guān)系的現(xiàn)實(shí)情景，引入直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切及相離，并從直線與圓的公共點(diǎn)的數(shù)量、圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系這兩個(gè)角度，刻畫直線與圓的位置關(guān)系.在內(nèi)容編寫順序上，教材先從直線與圓的公共點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)行研究，接著承接研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的基本路徑，運(yùn)用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來研究直線與圓的位置關(guān)系.第2部分是運(yùn)用軸對(duì)稱或反證法來探索切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

二、教學(xué)設(shè)想

日常教學(xué)中，大多數(shù)老師都是按照教材內(nèi)容編排的順序進(jìn)行設(shè)計(jì)和教學(xué)，即在復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用教材提供的教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到直線與圓存在三種位置關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生通過直觀觀察的方法，從“直線與圓的公共點(diǎn)的數(shù)量”來確定直線與圓的位置關(guān)系.接著再引導(dǎo)學(xué)生從“圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系”來認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系.筆者教學(xué)本課時(shí)，有意對(duì)這一教學(xué)順序做了調(diào)整，主要基于如下的一些考慮：

一方面，運(yùn)用“圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系”來確定直線與圓的位置關(guān)系，這是“運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來確定圖形的位置關(guān)系”這一研究圖形位置關(guān)系的方法的運(yùn)用，這與確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是相一致的.因此，將這一內(nèi)容提前，有助于學(xué)生順利將已有的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于新情境，促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.而且，在復(fù)習(xí)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”時(shí)，筆者有意強(qiáng)化“運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來確定圖形的位置關(guān)系”這一經(jīng)驗(yàn)，這也有利于經(jīng)驗(yàn)的自覺運(yùn)用.

另一方面，為幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)“相切”這一特殊位置關(guān)系，理解切線的概念，筆者有意創(chuàng)設(shè)一個(gè)讓學(xué)生比較三種位置關(guān)系的情境，順利從研究“三種位置關(guān)系”過渡到“研究其中的特殊位置關(guān)系”，滲透了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的一種視角，即從特殊到一般，從圖形運(yùn)動(dòng)過程中認(rèn)識(shí)出現(xiàn)的特殊狀態(tài)（相切），并研究這種特殊狀態(tài)下圖形的性質(zhì)等內(nèi)容，為研究幾何動(dòng)態(tài)問題提供借鑒.

三、教學(xué)實(shí)錄

1.復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

師：同學(xué)們，前面我們研究了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有哪幾種？

生：有三種，分別是點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外.師：如何判斷呢？

生：當(dāng)點(diǎn)與圓心的距離大于圓的半徑時(shí)，點(diǎn)在圓外；等于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓上；小于半徑時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

師：如果我們記圓心到點(diǎn)的距離為d，圓的半徑為r，于是有“d＞r?點(diǎn)在圓外；d=r?點(diǎn)在圓上；d＜r?點(diǎn)在圓內(nèi)”.你能說說“d＞r、d=r、d＜r”表示的是什么嗎？

生：表示的是d與r之間的大小關(guān)系.

師：也就是表示d與r之間的數(shù)量關(guān)系，這樣，我們便可以根據(jù)d與r的數(shù)量關(guān)系來確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

2.研究直線與圓的位置關(guān)系

師：請(qǐng)大家注意觀察老師的操作，當(dāng)固定尺子，將筆筒（筆筒口是圓形）向下移動(dòng)時(shí)，筆筒口與尺子的上邊緣出現(xiàn)了哪些位置關(guān)系？（如圖1）

圖1

生：剛開始時(shí)，筆筒是離開尺子的，在移動(dòng)過程中，越來越靠近尺子，然后筆筒口下邊緣碰到了尺子的邊緣，接著筆筒口與尺子相交，之后筆筒口的上邊緣與尺子的上邊緣重合，最后筆筒口離開了尺子.即剛開始時(shí)是相離的，之后是碰上了，然后是相交，接著再碰上，最后相離.因此有三種位置關(guān)系：相離、相碰、相交.

師：為交流統(tǒng)一，我們把“相碰”用“相切”來表示.如果把筆筒口看成⊙O，尺子的上邊緣看成直線l，請(qǐng)大家分別畫出表示這三種位置關(guān)系的圖形，然后探究該如何確定⊙O與直線l的三種位置關(guān)系，并與你的同伴交流.

生：用圓心O到直線l的距離與⊙O的半徑之間的大小關(guān)系來確定⊙O與直線l的位置關(guān)系.

師：你是怎么想到的？

生：因?yàn)楣P筒在平移過程中，離尺子越來越近，由“越來越近”我想到了距離.

師：那為什么想到用圓心O到直線l的距離，而不用圓下邊的一點(diǎn)到直線l的距離來表示呢？

生：因?yàn)閳A的位置由圓心的位置確定.

師：非常好！如果我們把圓心O到直線l的距離用字母d來表示，⊙O的半徑用r來表示，那么如何確定⊙O與直線l的位置關(guān)系呢？

圖2

圖3

圖4

生：當(dāng)d＞r時(shí)（圖2），直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)（圖3），直線與圓相切；當(dāng)d＜r（圖4）時(shí)，直線與圓相交.

師：對(duì)此你有些什么想說的嗎？

生：確定直線與圓的位置關(guān)系，這和確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣，都是用d與r的數(shù)量關(guān)系來確定位置關(guān)系.

師：很好，在這里也是用數(shù)量關(guān)系來確定位置關(guān)系，即d＞r?直線與圓相離；d=r?直線與圓相切；d＜r?直線與圓相交.其中d表示的是圓心O到直線l的距離，r表示的是圓的半徑.

3.學(xué)以致用

（1）課本例題.

（2）學(xué)生分別舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的實(shí)例.

4.直線與圓的位置關(guān)系的再認(rèn)識(shí)

師：在圖中，你還有些什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：在圖2中，直線l與⊙O沒有交點(diǎn)，在圖3中，直線l與⊙O有一個(gè)交點(diǎn)，在圖4中，直線l與⊙O有兩個(gè)交點(diǎn).即當(dāng)直線與圓相離時(shí)，直線與圓沒有交點(diǎn)；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與圓相交時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).

師：也就是說，我們還可以用直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定直線l與⊙O的位置關(guān)系.即直線與圓沒有公共點(diǎn)?直線與圓相離；直線與圓有唯一公共點(diǎn)?直線與圓相切；直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)?直線與圓相交.

因此，確定直線與圓的位置關(guān)系便有兩種方法，一是用d與r的數(shù)量關(guān)系來確定，二是用直線與圓的公共點(diǎn)的數(shù)量來確定.而且，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

5.探究切線的性質(zhì)

師：在直線與圓的三種位置關(guān)系中，哪一種位置關(guān)系最為特殊？為什么？

生：相切是最為特殊的位置關(guān)系.因?yàn)橄嚯x時(shí)，圓與直線可以越來越靠近，也可以越來越遠(yuǎn)，只要不相切則可，即圓與直線的位置都無法固定.相交時(shí)也是如此，只有相切時(shí)，直線與圓是緊緊地靠在一起的.

生：也可以從d與r的關(guān)系式來看，在d與r的三種關(guān)系式中，相等關(guān)系是最為特殊的數(shù)量關(guān)系，而當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切.所以相切最為特殊.

生：還可以從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來分析.當(dāng)相切時(shí)，直線與圓有唯一的公共點(diǎn)，不多也不少.

師：的確，相切時(shí)位置最為特殊，相切時(shí)直線與圓是“緊貼”在一起的，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且三種數(shù)量關(guān)系中，d=r是最為特殊的數(shù)量關(guān)系.我們?cè)谘芯繄D形的位置關(guān)系時(shí)，有時(shí)需要從最為特殊的位置關(guān)系入手，首先研究特殊位置關(guān)系下圖形的性質(zhì)，然后再研究能否將這些性質(zhì)推廣到一般情況.接下來，我們將研究直線與圓相切時(shí)的性質(zhì)，即切線的性質(zhì).那么，當(dāng)直線l與⊙O相切時(shí)（如圖5），假設(shè)切點(diǎn)為A，能得到什么結(jié)論呢？

圖5

圖6

圖7

生：d=r，l與⊙O有唯一的公共點(diǎn)A.

師：不錯(cuò)，定義通常既是判定，同時(shí)也是性質(zhì).半徑是圓中重要的線段，如果連接OA，那有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？（圖6）

生：OA⊥l.

師：說說你的理由.

生：如果連接OA，則OA為圓的半徑，且OA的長(zhǎng)度為圓心O到直線l的距離，于是得到OA⊥l.

師：為什么OA的長(zhǎng)度表示的就是圓心O到直線l的距離呢？要得到這個(gè)結(jié)論，必須要有什么條件才行？

生：OA⊥l.

師：這不是陷入了循環(huán)論證了嗎？該怎么證明OA⊥l呢？請(qǐng)大家觀察圖7，再和同伴交流自己的想法，看能否從中得到些什么啟示？

生：因?yàn)檫@個(gè)圖形是以半徑OA所在的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，所以當(dāng)沿對(duì)稱軸折疊后，左右兩側(cè)互相重合，故OA⊥l.

師：也就是說，當(dāng)沿半徑OA所在的直線折疊后，AC與AB重合（如圖7），因此∠OAB=∠OAC=90°，即OA⊥BC.但圖7為什么一定是以O(shè)A所在的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形呢？這顯得理由不夠充分.

老師簡(jiǎn)述反證法證明過程，引導(dǎo)學(xué)生歸納得到切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

6.回顧反思

師：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

生：直線和圓的三種位置關(guān)系，分別是相交、相切、相離.可以用d與r的數(shù)量關(guān)系來判斷，當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交.也可以用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷.還學(xué)習(xí)了切線的性質(zhì)，即圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

師：運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系，這是一種常用的方法.如“同位角相等，兩直線平行”，這是用角的數(shù)量關(guān)系來確定直線的位置關(guān)系的例子.當(dāng)然，常常也用圖形的位置關(guān)系來研究數(shù)量關(guān)系，如“兩直線平行，同位角相等”、“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧”等.在直線與圓的三種位置關(guān)系中，為什么要單獨(dú)研究“相切”這種位置關(guān)系呢？

生：因?yàn)椤跋嗲小笔且环N特殊的位置關(guān)系.

師：是的，很多時(shí)候，研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，常常研究特殊情形，然后再研究一般.如研究多邊形的內(nèi)角和，先研究三角形、四邊形的內(nèi)角和，再研究一般的多邊形的內(nèi)角和等.在后面我們將要研究?jī)蓚€(gè)圓的位置關(guān)系，你們認(rèn)為該如何研究?jī)蓚€(gè)圓的位置關(guān)系呢？

生：用數(shù)量關(guān)系來研究?jī)蓚€(gè)圓的位置關(guān)系，還有就是先研究特殊的位置關(guān)系，我認(rèn)為可能也是相切，再研究一般的位置關(guān)系.

師：非常好，具體圓與圓又有怎樣的位置關(guān)系呢？我們后面將會(huì)研究.

四、教學(xué)思考

1.基于生活經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)化的順利進(jìn)行

“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).”［1］對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)來說，日出日落時(shí)，太陽與地平線的位置關(guān)系，是直線與圓的三種位置關(guān)系的直觀形象，這也是教材中提供的情景.當(dāng)然，除此之外，還有大量的可以反映直線與圓的位置關(guān)系的生活實(shí)例.教學(xué)的關(guān)鍵在于怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)模型，這是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，這個(gè)過程，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象思維能力與相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)化的難度，從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)的抽象程度起決定性作用，而學(xué)生對(duì)生活現(xiàn)象的熟悉程度，在很大程度上也影響數(shù)學(xué)化的進(jìn)程.為此，創(chuàng)設(shè)生活化情景時(shí)應(yīng)盡可能貼近于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活.筆者在本課教學(xué)中，舍教材的情景而采用“筆筒運(yùn)動(dòng)與尺子的位置關(guān)系”，一是增強(qiáng)情景的直觀性.在課堂操作演示的過程中，可以讓學(xué)生直觀觀察到“線與圓”的位置關(guān)系的形成過程，具有較強(qiáng)的現(xiàn)場(chǎng)感，促進(jìn)數(shù)學(xué)化的順利進(jìn)行.二是促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的自然形成.當(dāng)“筆筒剛碰上尺子”時(shí)，一種特殊的位置關(guān)系（相切）產(chǎn)生，這種特殊的位置關(guān)系，從生活經(jīng)驗(yàn)上來說，是學(xué)生所熟悉的，但從數(shù)學(xué)上來說，卻是學(xué)生所陌生的.而在直觀觀察筆筒運(yùn)動(dòng)的過程中，新的數(shù)學(xué)概念（相碰）便自然產(chǎn)生.三是感受“距離”與位置的關(guān)系.在筆筒運(yùn)動(dòng)的過程中，學(xué)生可以直接觀察到筆筒與尺子的距離在發(fā)生變化，這是生活實(shí)體運(yùn)動(dòng)在課堂上的直觀展現(xiàn)，為運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究圖形位置關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)的積累奠定基礎(chǔ).

2.運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的積累

運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系，這對(duì)于學(xué)生來說并不陌生，貫穿初中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.如用90°角來反映垂直、用同位角相等來反映直線平行、用點(diǎn)的坐標(biāo)值滿足函數(shù)關(guān)系式來反映點(diǎn)在線上、用圓心到點(diǎn)的距離與半徑的大小關(guān)系來反映點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等.但多年的課堂觀察告訴自己，對(duì)于這一經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生卻無法在研究新的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)進(jìn)行自覺調(diào)用.筆者認(rèn)為其主要原因在于，一方面，不少課堂側(cè)重于把經(jīng)驗(yàn)當(dāng)成陳述性知識(shí)直接告知學(xué)生，然后讓學(xué)生記憶與運(yùn)用；另一方面，更多的課堂是，雖然教學(xué)上有體現(xiàn)知識(shí)形成過程的數(shù)學(xué)活動(dòng)，但這一數(shù)學(xué)活動(dòng)更多是教師的，學(xué)生欠缺操作上的參與，更欠缺數(shù)學(xué)思維上的參與.

辯證唯物主義認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)是在社會(huì)實(shí)踐中產(chǎn)生的，是客觀事物在人們頭腦中的反映，是認(rèn)識(shí)的開端.“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累的.”［1］這表明，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，需要學(xué)生參與做數(shù)學(xué)的活動(dòng)，需要在活動(dòng)的過程中進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)思考，有目的地分析隱含的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系及圖形形狀的變化規(guī)律等.如本課中，在操作、觀察筆筒向直尺平移運(yùn)動(dòng)的過程中，直觀感受筆筒與直尺之間距離的變化及筆筒與直尺之間的位置關(guān)系，進(jìn)而引發(fā)思考，這兩者之間存在怎樣的聯(lián)系呢？自然形成運(yùn)用數(shù)量關(guān)系（距離）來研究位置關(guān)系的數(shù)學(xué)思考.

與此同時(shí)，已有的經(jīng)驗(yàn)常常無法被學(xué)生自覺運(yùn)用于新的情景，其中還有一個(gè)很重要的原因是，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)中，我們常常將作用于不同數(shù)學(xué)對(duì)象中的同一經(jīng)驗(yàn)孤立起來，而沒能在“喚醒、運(yùn)用、強(qiáng)化、積累”這一以貫之的教學(xué)中幫助學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并最終內(nèi)化為學(xué)生自身的知識(shí).本課教學(xué)里，筆者在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓的位置有關(guān)系時(shí)，有意強(qiáng)調(diào)“運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來確定圖形的位置關(guān)系”這一經(jīng)驗(yàn)，意在喚醒藏于學(xué)生內(nèi)心中研究圖形位置關(guān)系的“種子”，幫助這棵“種子”生根發(fā)芽，以便能在研究直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，這棵“種子”能生長(zhǎng)出來，經(jīng)驗(yàn)?zāi)鼙粚W(xué)生自覺運(yùn)用.因?yàn)椤皵?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)從‘模糊經(jīng)驗(yàn)’到‘清晰經(jīng)驗(yàn)’的過程，從‘較少經(jīng)驗(yàn)’到‘豐富經(jīng)驗(yàn)’的過程，這個(gè)過程也需要借助數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用來實(shí)現(xiàn).”［2］

3.滲透方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

多年之后，當(dāng)學(xué)生不再?gòu)氖屡c數(shù)學(xué)有直接關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)與工作，那么，數(shù)學(xué)還能給他留下什么呢？“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.”［1］從一般到特殊或從特殊到一般，這是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的常見路徑，也是人們?cè)谏鐣?huì)生活中所常用的思維方法，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過程中也獲取了這些經(jīng)驗(yàn).因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須培養(yǎng)學(xué)生這一認(rèn)識(shí)與研究事物的方法.當(dāng)然，在日常教學(xué)中，我們可以直接告訴學(xué)生這個(gè)方法，然后依據(jù)這方法來解決問題，但“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”.直接告知只能讓學(xué)生對(duì)這種思維方法充滿神秘感，學(xué)生也很可能只學(xué)會(huì)模仿而無法感悟其在研究數(shù)學(xué)問題中的內(nèi)在力量.本課里，讓學(xué)生在比較三種位置關(guān)系的基礎(chǔ)上感受“相切”這種位置關(guān)系的特殊性，進(jìn)而確定先研究“相切”，這既是研究問題的必然，也是思維的必然結(jié)果，滲透了從特殊到一般的問題研究方法.筆者認(rèn)為，讓學(xué)生在對(duì)比中進(jìn)行自主選擇，在自主選擇過程中獲得體驗(yàn)，形成經(jīng)驗(yàn)，這樣，思維方法便能內(nèi)化為學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)問題的能力.

“教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)就是讓學(xué)生經(jīng)歷一種成長(zhǎng)、見證一種成長(zhǎng).”［3］數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要著力于幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要讓學(xué)生經(jīng)歷將已有的經(jīng)驗(yàn)自覺運(yùn)用于新的問題情境的過程，在積累與運(yùn)用的循環(huán)過程中不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)自身成長(zhǎng).

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.羅新兵，盧恒.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（9）.

3.卜以樓.生長(zhǎng)型構(gòu)架下實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下）.2016（3）.H