射影幾何學(xué)的對(duì)偶原則

金英姬

由于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，人們對(duì)投影性質(zhì)產(chǎn)生了興趣，射影幾何就是在實(shí)際的應(yīng)用科學(xué)和藝術(shù)的推動(dòng)下誕生并發(fā)展起來(lái)的。區(qū)別于具有度量特點(diǎn)的歐式幾何，射影幾何隸屬于非歐幾何范疇，是研究圖形在射影變換下不變的性質(zhì)。在射影幾何學(xué)中，對(duì)偶原則占據(jù)特殊而重要的地位。

一、對(duì)偶原則

對(duì)偶原則通常是描述兩個(gè)體系之間的某種對(duì)稱(chēng)性的。如果體系A(chǔ)與B互為對(duì)偶，則從其中任意一個(gè)體系的規(guī)律可推知另一個(gè)體系的規(guī)律。

在射影幾何學(xué)中，對(duì)偶原則是指在射影命題中，處于對(duì)偶關(guān)系的元素，可以通過(guò)相互替換，將命題A變?yōu)槊}B從而構(gòu)成新的命題。特別的，若命題A為真（偽），則命題B亦為真（偽）。

以平面射影幾何學(xué)為例，點(diǎn)與直線(xiàn)是處于對(duì)偶地位的基本元素，直線(xiàn)是自對(duì)偶元素。凡是涉及點(diǎn)與直線(xiàn)接合問(wèn)題的相關(guān)命題都是射影命題。根據(jù)對(duì)偶原理，將原射影命題中的“點(diǎn)”替換為“線(xiàn)”，“共線(xiàn)”替換為“共點(diǎn)”，“點(diǎn)列”改為“線(xiàn)束”，“在……上”改為“經(jīng)過(guò)……”，原射影命題將會(huì)變?yōu)橐粋€(gè)新的命題，且新命題與原命題保持相同的真?zhèn)涡?。下面以歷史上著名的Pascal定理為例窺探對(duì)偶原則的基本思想。

Pascal定理：一個(gè)六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)在一條二次曲線(xiàn)上，當(dāng)且僅當(dāng)該三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在一條線(xiàn)上。

Pascal定理的對(duì)偶定理：一個(gè)六邊形的六條邊切一條二次曲線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)該三對(duì)頂點(diǎn)的線(xiàn)交于一點(diǎn)[1]。

事實(shí)上，Pascal定理是關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)及它們的接合關(guān)系的射影定理，其對(duì)偶命題就是歷史上的著名的Brianchon定理。一般的，適用于二維射影平面上的對(duì)偶原則稱(chēng)為平面對(duì)偶原則。適用于三維射影空間上的對(duì)偶原則，被稱(chēng)為三維空間對(duì)偶原則。類(lèi)推，存在n維空間對(duì)偶原則。但是，值得注意的是，但在不同維度的空間里，其對(duì)偶元素、對(duì)偶命題是不盡相同的。

二、射影幾何中對(duì)偶原則產(chǎn)生的理論根源

追溯射影幾何學(xué)中對(duì)偶原則的理論根源，首先應(yīng)深刻理解射影平面上引入的無(wú)窮遠(yuǎn)元素和無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)。在歐式幾何中，每組平行線(xiàn)是沒(méi)有交點(diǎn)的，平行平面也沒(méi)有交線(xiàn)，這導(dǎo)致了中心映射無(wú)法成立。射影幾何最中心和最首要的問(wèn)題是解決圖形在中心投影或平行投影變化問(wèn)題。因此，為了使中心映射在空間中滿(mǎn)足雙射，在每一條直線(xiàn)上添加一個(gè)理想點(diǎn)，在每張平面上添加一條理想直線(xiàn)，從而引入了無(wú)窮遠(yuǎn)元素和無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)的概念。

若歐式平面中單純的引入無(wú)窮遠(yuǎn)元素和無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)，歐式平面則變?yōu)榉律淦矫妗Ｔ诜律淦矫嬷?，有窮遠(yuǎn)元素和無(wú)窮遠(yuǎn)元素是兩個(gè)截然不同的概念。如果將有窮遠(yuǎn)元素與無(wú)窮遠(yuǎn)元素不加區(qū)別使用，則仿射平面變?yōu)樯溆捌矫?。因此，區(qū)別于歐式幾何和仿射幾何，在射影平面中任意兩直線(xiàn)都相交于同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)元素，這直接導(dǎo)致有接合關(guān)系的點(diǎn)與直線(xiàn)之間的關(guān)系有了新的變化，它們?cè)谏溆捌矫嬷刑幱谄降鹊匚?，?duì)偶關(guān)系應(yīng)運(yùn)而生。

三、對(duì)偶原則的廣泛應(yīng)用

簡(jiǎn)潔性和廣義對(duì)稱(chēng)性是對(duì)偶原則的重要特點(diǎn)。對(duì)偶原則不僅適用于射影幾何，在數(shù)學(xué)的其他分支學(xué)科中也適用。根據(jù)對(duì)偶原則，若定理的內(nèi)容只涉及對(duì)偶關(guān)系的元素，則這個(gè)定理一定可以得到對(duì)偶命題，且該命題一定成立。例如，在布爾代數(shù)中，可以利用對(duì)偶原則，將對(duì)偶變量互換得到等價(jià)公式和規(guī)則，從而極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算規(guī)律與運(yùn)算公式。德摩根定理、廣義德摩根定理、香農(nóng)定理、置換規(guī)則、反演規(guī)則等都是對(duì)偶原則下的經(jīng)典實(shí)例。在自動(dòng)控制與系統(tǒng)工程領(lǐng)域中，利用對(duì)偶原則可以研究經(jīng)濟(jì)學(xué)中的相互確定關(guān)系。例如，效用與支出，產(chǎn)出與成本，等等。通過(guò)對(duì)偶規(guī)劃及在積分變換中研究互逆變換等，可以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用對(duì)偶原則關(guān)聯(lián)起來(lái)可以更好地解決問(wèn)題。

在物理學(xué)中，對(duì)偶原則及其方法也得到廣泛的應(yīng)用。利用對(duì)偶原則和對(duì)偶現(xiàn)象，以有效地揭示元素之間一些相似或相對(duì)的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化認(rèn)知事物的過(guò)程。對(duì)物理學(xué)家而言，對(duì)偶性既是理論物理研究的核心概念，又是實(shí)驗(yàn)物理研究的重要范疇[2]。比如，在電路學(xué)中，不論是電路元件、電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)還是電路分析方法，等等，利用電路的對(duì)偶關(guān)系可以從一個(gè)電路的元件特性推演出其他電路元件的特性。在弦論研究中，基于對(duì)偶原則，可以窺探得知：擁有不同時(shí)空和不同拓?fù)涞南艺摚瑓s可導(dǎo)致相同的物理學(xué)。在研究和探索自然規(guī)律的進(jìn)程中，借助對(duì)偶原則的引導(dǎo)，將激勵(lì)科學(xué)家進(jìn)行更大膽的猜想、假設(shè)、實(shí)驗(yàn)和論證。

參考文獻(xiàn)：

[1]莫里斯·克萊因，古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上海科技出版社，2006.

[2]沈健，弦論的對(duì)偶性能為科學(xué)哲學(xué)帶來(lái)什么[J].科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究，2013，30（4）：1-5.