3.78787……的循環(huán)節(jié)是什么

覃祝書

近段時間有老師在教學(xué)五年級上冊《循環(huán)小數(shù)》一課時，爭論這樣的一個問題：3.78787……的循環(huán)節(jié)到底是78還是87呢？

認(rèn)為3.78787……的循環(huán)節(jié)是87的老師觀點認(rèn)為：現(xiàn)在這個小數(shù)的小數(shù)部分重復(fù)、完整寫出的是87，因此循環(huán)節(jié)就是87；如果它再寫一個8，這個小數(shù)寫成3.787878……，那它的循環(huán)節(jié)就變成了78。

認(rèn)為3.78787……的循環(huán)節(jié)是78的老師觀點為：

1、從概念定義判斷。教科書對“循環(huán)小數(shù)”是這樣定義的：一個小數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。尋找“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”的“一個數(shù)字或者幾個數(shù)字”，是要從“一個小數(shù)的小數(shù)部分”的“某一位起”開始找，即從小數(shù)點后第一位（十分位）從左往右開始找有無“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”的“一個數(shù)字或者幾個數(shù)字”。（ “依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”包含從左往右這樣的順序，不會有人認(rèn)為也可以從后往前“重復(fù)出現(xiàn)”吧？）

2、從知識點生成索源。在除法中，當(dāng)“被除數(shù)”不能被“除數(shù)”整除（即除不盡）時，商會出現(xiàn)兩種情況：①不斷出現(xiàn)余數(shù)，且余數(shù)各不相同毫無規(guī)律，于是商是無限不循環(huán)小數(shù)；②不斷出現(xiàn)余數(shù)。但余數(shù)總是一個或幾個有規(guī)律地反復(fù)出現(xiàn)，于是商是（無限）循環(huán)小數(shù)。第2種情況在除的過程中，商“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)”的“一個數(shù)字或者幾個數(shù)字”，就是從小數(shù)點后從左往右出現(xiàn)的。

3、從數(shù)字的本質(zhì)歸原。出現(xiàn)這樣的教學(xué)異議或爭議，主要是老師們糾結(jié)在：3.7878……的循環(huán)節(jié)毫無爭議地是78，而3.78787……多寫了一個數(shù)字7，哪循環(huán)節(jié)該是什么？我們不妨先來問答三個問題：①在除法算式（豎式）中，如果算式一的商是3.7878……，算式二的商是3.78787……，你認(rèn)為這兩道除法算式（豎式）是完全一樣嗎？②3.7878……和3.78787……兩數(shù)大小比較，是不是相等呢？③3.7878……和3.78787……這兩個小數(shù)的小數(shù)點后第20位（或第100位……）的數(shù)字是不是相同的呢？相信你的答案都是肯定的。這兩個數(shù)字本質(zhì)上就是同一個小數(shù)，因而它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或特征都是一樣的，循環(huán)節(jié)也是這樣的一個小數(shù)中的一個固定不變的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或特征之一。從眾多不同中歸納相同之規(guī)律，從眾多變化中尋找不變之本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)根源。應(yīng)用到社會生活，那就是：不管你換了多少身馬甲，你還是你。

我個人認(rèn)同第二個觀點。尋找一個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)時，要從小數(shù)點后第一位開始判斷，小數(shù)點后第一位不是的，緊接著判斷小數(shù)點后第二位，依此類推。比如循環(huán)小數(shù)0.3333……，我們必須確認(rèn)它從十分位就開始循環(huán)的，而且標(biāo)注循環(huán)點時必須標(biāo)注在十分位的3上方，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的最簡化性思想。

第一個觀點違背了數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的前后關(guān)聯(lián)性、承接性，是毫無根據(jù)可言的，是形而上學(xué)的教學(xué)法，只能導(dǎo)致學(xué)生解決問題看表象，不深究內(nèi)在關(guān)聯(lián)。為免這樣的教學(xué)方法發(fā)展成教學(xué)觀，故撰此文。

研為教而研，在教學(xué)中完成育人目標(biāo)。這是我所理解的“教書育人”。教學(xué)要爭論。膚淺之見，望廣大數(shù)學(xué)教師展開大討論，并不吝賜教！