回到思維原點

[摘 要]

教學用書是教師教學的必備參考書，是教學的依據(jù)，然而教師應該有自己的思考，如果察覺其有疑惑之處，應及時予以探究，還原數(shù)學的本質(zhì)面貌。“大道至簡”也許能揭示一些數(shù)學規(guī)律，但簡單中蘊含的不簡單卻要引起我們的關注。作為一名小學數(shù)學教師，在新課程推進的今天，不應僅僅是解題的能手，更應是追尋數(shù)學根源的探索者。

[關鍵詞]

小學數(shù)學;探究;還原本質(zhì)

蘇教版數(shù)學六年級下冊第19頁思考題：在一個圓柱形儲水桶里，把一段底面半徑為5厘米的圓柱形鋼材全部放入水中，這時水面上升9厘米。把這段鋼材豎著拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求這段鋼材的體積。

教學用書的解法是先算出儲水桶的底面積：3.14×52×8÷4=157（平方厘米），然后算出圓鋼的體積：157×9=1413（立方厘米）。

筆者開始也和教學用書的思路一樣。在數(shù)學練習課放手讓學生討論一番，在學生的討論中筆者方才發(fā)現(xiàn)其中值得推敲的地方甚多?！袄蠋煟绻麍A鋼的高度小于或等于儲水桶原來水的高度，題目解法思路簡單明了。”“老師，如果圓鋼的高度與上升后水面高度齊平時，該如何考慮？”“老師，如果圓鋼的高度大于儲水桶原來水的高度而小于上升后水面高度時，又該如何考慮？”疑惑頓現(xiàn)，筆者靜下心來，梳理了一番解題思路，察覺其需分析多種情況下題目的解題方法。下面就自己探究問題的歷程與諸位共享。

圖1 ? ? ? ?圖2

一、解題之初，看山是山，看水是水

探討一：當圓鋼的高度小于或等于儲水桶原來水的高度，見圖1，教學用書上的解法顯得非常清晰。教學用書的解法先算3.14×52×8÷4=157（平方厘米），是因為“拉出水面8厘米的圓鋼體積等于下降4厘米水柱的體積”，由此算出儲水桶的底面積，而上升9厘米的水柱體積等于圓鋼的體積，所以用157×9=1413（平方厘米）求出圓鋼的體積。不過值得注意的是這里的“水柱體積”應是“實心的，圓柱體的體積”，因為上升的水的形狀會有多種情況出現(xiàn)，只是最后結(jié)論可統(tǒng)一為“上升或下降的水柱（實心的，圓柱體。以下所提水柱均為實心的圓柱體）體積等于圓鋼的體積”。

當然，也可以換一種思路。圓鋼拉出水面8厘米，水面就下降4厘米，可得“8厘米圓鋼的體積等于下降4厘米水柱的體積”。把圓鋼全部拉出水面，水面就下降9厘米，可得“圓鋼的體積等于下降9厘米水柱的體積”，如果出現(xiàn)水面與圓鋼齊平時，其結(jié)論也是一樣的。這樣，圓鋼拉出水面的體積和下降的水柱的體積成正比例，用9÷4×8=18（厘米）求出圓鋼的高度，再用3.14×52×18=1413（平方厘米）求出圓鋼的體積。該種解法簡潔明了，是正比例知識的靈活運用。讓學生理解此種解法，可以使學生體味數(shù)學思考方法無所不在。數(shù)學教學中不但要知其然，還要知其所以然。

二、解題有悟，看山不是山，看水不是水

探討二：當圓鋼的高度與上升后水面高度齊平時，見圖2，則“上升和下降的就是‘環(huán)形水柱而非‘水柱”“上升9厘米的環(huán)形水柱的體積是x厘米圓鋼的體積”，有人理解為“上升9厘米的環(huán)形水柱的體積應是整段圓鋼的體積而非x厘米圓鋼的體積”是理解歧義所致。應理解為“上升9厘米的環(huán)形水柱的體積是x厘米圓鋼的體積，同時加上9厘米圓鋼的體積，可得上升的9厘米的水柱體積是整段圓鋼的體積”，“把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米”可得“（8-4）厘米圓鋼的體積等于下降4厘米環(huán)形水柱的體積，同時加上4厘米的圓鋼，得8厘米圓鋼的體積等于下降4厘米水柱的體積”，由此用3.14×52×8÷4=157（平方厘米）先求出儲水桶的底面積，再用157×9=1413（平方厘米）求出圓鋼的體積。x厘米圓鋼的體積能“擠高”9厘米的環(huán)形水柱，因為9厘米圓鋼占據(jù)了自己的空間。

圖3 ? ? ?圖4 ? ? 圖5

探討三：當圓鋼的高度大于儲水桶原來水的高度而小于上升后水面高度時，文中所提及的情況可分為三種。

第一種情況：以圓鋼的上底面與水相交的截面為基準，上升的9厘米水分割成4厘米水（圓鋼的上底面距現(xiàn)在水面的距離）和5厘米水（圓鋼的上底面距原來水面的距離）。如圖3，可知“下降4厘米的水柱體積等于8厘米圓鋼的體積”，求得儲水桶的底面積是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）?！吧仙?厘米的水的體積（4厘米水柱的體積和5厘米的環(huán)形水柱的體積）等于截掉5厘米圓鋼的體積，同時加上5厘米圓鋼的體積，則上升9厘米水柱的體積等于整段圓鋼的體積?！彼栽儆?57×9=1413（平方厘米）求出圓鋼的體積。

第二種情況：上升的9厘米水分割成上面m（大于4）厘米水和下面n（小于5）厘米水。如圖4，可知“下降4厘米的水柱體積等于8厘米圓鋼的體積”，求得儲水桶的底面積是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）。“上升9厘米的水的體積（m厘米水柱的體積和n厘米的環(huán)形水柱的體積）等于截掉n厘米圓鋼的體積，同時加上n厘米圓鋼的體積，則上升9厘米水柱的體積等于整段圓鋼的體積。所以再用157×9=1413（平方厘米）求出圓鋼的體積。

第三種情況：上升的9厘米水分割成上面m（小于4）厘米水和下面n（大于5）厘米水。如圖5，可知“下降4厘米的水的體積，即m厘米水柱的體積和（4-m）厘米環(huán)形水柱的體積等于（8-4+m）厘米圓鋼的體積，同時加上（4-m）厘米圓鋼的體積，則下降4厘米水柱的體積等于8厘米圓鋼的體積”。我們也可以換一個角度來分析，把圖5“圓鋼豎著拉出水面8厘米”改為“把圓鋼先向上拉至和水面齊平，因為是在水中運動，總體積不變，所以水面高度沒有變化，如同圖2的左圖，再把圓鋼向上拉出水面8厘米，水面下降4厘米，可得“（8-4）厘米圓鋼的體積等于下降4厘米水柱的體積，同時加上4厘米的圓鋼，得8厘米圓鋼的體積等于下降4厘米水柱的體積”，求得儲水桶的底面積是3.14×52×8÷4=157（平方厘米）?！吧仙?厘米的水的體積（m厘米水柱的體積和n厘米的環(huán)形水柱的體積）等于截掉n厘米圓鋼的體積，同時加上n厘米圓鋼的體積，則上升9厘米水柱的體積等于整段圓鋼的體積”。所以再用157×9=1413（平方厘米）求出圓鋼的體積。

三、解題徹悟，看山仍然山，看水仍然是水

殊途同歸，以上諸多的情況，分析思路不一，但都回到了思考的原點——“下降4厘米的水柱體積等于8厘米圓鋼的體積，上升9厘米水柱的體積等于整段圓鋼的體積”。此時，筆者不由得要重新審視自己的解題思路，“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化法”，不就是我們平時教學中常用的數(shù)學方法嗎？終于豁然開朗，思維原點圖在我腦海里呈現(xiàn)。以上5種情況，只要把圓鋼截成若干段，全部放入原來的水面下，這樣“上升9厘米水柱的體積等于整段圓鋼的體積”;把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米，可以轉(zhuǎn)化成“截掉8厘米的圓鋼，剩余的圓鋼全部放入原來的水面下”，這樣“下降4厘米的水柱體積等于8厘米圓鋼的體積”。如此，還原出數(shù)學本質(zhì)。就在我欣慰之際，“如果圓鋼的體積足夠大時，截成若干段不能全部放入原來的水面下”，那又必須回歸到上述的各種情況，然后再回到思維原點。真是教無定法，數(shù)學分析方法千變?nèi)f化，但只要理解了數(shù)學方法中所滲透的數(shù)學思想，則萬變不離其中，數(shù)學智慧由此凸顯其價值取向。

經(jīng)歷了千山萬水，終于還原了數(shù)學的本質(zhì)面貌，關于此類問題的爭論也可告一段落。教學用書的解題方法固然是正確的，但其中蘊含的數(shù)學思想和方法只有靠數(shù)學教師自己去探尋、思索。“大道至簡”也許能揭示一些數(shù)學規(guī)律，但簡單中蘊含的不簡單卻要引起我們的關注。作為一名小學數(shù)學教師，在新課程推進的今天，不應僅僅是解題的能手，更應是追尋數(shù)學問題根源的探索者。

[參 考 文 獻]

[1]胡作玄.數(shù)學是什么[M].北京：北京大學出版社，2008（6）.

[2]劉彥平.談談小學生數(shù)學應用題解題能力的培養(yǎng)[J].中小學數(shù)學（小學版），2014（7-8）.

（責任編輯：李雪虹）

作者簡介：王玉蘭（1973-），女，江蘇射陽人，小學高級教師，大學本科。研究方向：小學數(shù)學教學。