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    高考數(shù)學壓軸題求解范圍問題常用方法之討論法

    2018-09-06 15:48張秋平
    新絲路(下旬) 2018年5期
    關鍵詞:定義域零點單調(diào)

    張秋平

    求范圍問題是高考??嫉臒衢T題型之一,常用的方法有分離法,圖像法,解不等式法,討論法,其中討論法難掌握,什么時候用,怎么用,一直困擾著老師和學生,本文就近年高考數(shù)學中出現(xiàn)的范圍問題怎么用進行一些探討。

    一、由極值的正、負,零及范圍討論

    1.【2017課標1,理21】已知函數(shù)f(x)=ae2x+ (a-2)ex-x

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

    【解析】:(1)的定義域為,,

    (?。┤魟t,則,所以在單調(diào)遞減.

    (ⅱ)若a>0,則由得.

    當時,;當時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

    (2)(?。┤簦桑?)知,至多有一個零點.

    (ⅱ)若a>0,由(1)知,當時,取得最小值,最小值為.

    ①當時,由于,故只有一個零點;

    ②當時,由于,即,故沒有零點;

    ③當時,,即.

    又,故在有一個零點.

    設正整數(shù)滿足,則.

    由于,因此在有一個零點.

    綜上,的取值范圍為.

    此方法是直接對含參函數(shù)進行研究,研究其單調(diào)性、最值,對最值的范圍進行研究。

    2.【2015高考新課標課標2,理21】設函數(shù) f(x)=emx+x2-mx。

    (I)證明: f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增;

    (II)若對于任意x1,x2∈[-11],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,

    求m的取值范圍。

    解析:(I)f '(x)=m(emx-1)+2x,

    若m≥0,則當x∈(-∞,0),emx-1≤0,f '(x)<0

    當x∈(0,+∞),emx-1≥0,f '(x)>0

    若m<0,則當x∈(-∞,0)emx-1>0,f '(x)<0

    當x∈(0,+∞),emx-1<0(x)>0

    所以,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增。

    (II)由(I)知,對任意的f(x)在[-1,0]單調(diào)遞減,在 [0, 1]單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值,所以對于任意x1,x2∈[-1,1],

    |f(x1)- f(x2)|≤e-1的充要條件是

    設函數(shù),則g‘(t)=et-1。當t<0時,g‘(t)>0。;當t>0時,g‘(t)>0。故在g(t)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增。又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0故當t∈[-1,1]時,g(t)≤0.當m∈ [-1,1]時,g(m)≤0,g(-m)≤0即①式成立。當m>1時,由,g(t)的單調(diào)性,g(m)>0即em-m>e-1當m<-1時,g(-m)>0,即em+m>e-1。綜上,m的取值范圍是[-1,1]。

    二、由單調(diào)性分類

    3.【2006全國,理21】已知函數(shù)。

    (I)a>0設,討論y=f(x)的單調(diào)性;

    (II)若對任意x∈(0,,1),恒有f(x)>1,求a的取值范圍。

    解析:(I)f(x)解略的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞),對求導數(shù)得f(x)在(-∞,),(,1),(1,+∞)為增函數(shù),f(x)在(-,)為減函數(shù)。

    (II)(i)當0f(0)=1。

    (ii)a>2當時,取,則由(I)知f(x0)>f(0)=1。

    (iii)

    綜上,當且僅當a∈(-∞,2]時,對任意x∈(0,1),恒有f(x)>1。

    4.【2011新課標,理21】已知函數(shù),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.

    (1)求a,b的值

    (2)如果當x>0,且時x≠1,,求k的取值范圍。

    【解析】:(1)解略 a=1

    b=1。

    (2)(理)由(1)知,

    考慮函數(shù),

    (i)設.由

    知,當x≠1時,h(x)<0而h(1)=0,故當x∈(0,1)時,h(x)>0

    可得,從而當x>0.,且x≠1時

    (ii)設00,而h(1)=0,故當,可得,與題設矛盾。

    (iii)當k≥1時,h(x)>0而h(1)=0,故當x∈(1,+∞)時,h(x)>0,與題設矛盾。綜合得,k的取值范圍為(-∞,0]。

    三、由必要性分類

    5.【2012全國,理20】設函數(shù)

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)設f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍。

    【解析】(1)解略。

    (2)由f(x)≤1+sinx得,f(π)≤1,aπ-1≤1

    所以.

    又,即,當時,有

    ①當

    ②當

    綜上,a的取值范圍是].

    通過取特殊值得出所求范圍,證明此范圍是所求范圍,其他范圍不滿足條件。

    四、由極值點落不落在定義域分類

    6.【2012天津,理20】已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0。

    (1)求a的值;

    (2)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值;

    【解析】:(1)解略

    (2)當k≤0,取x=1,有f(1)=1-ln2>0,故k≥0不合題意。

    當k>0時,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln.(x+1) -kx2

    因此g(x).在(0,+∞)上單調(diào)遞減。從而對于任意的x∈(0,+∞),總有g(x)≤g(0)=0,即f(x)≤kx2在【0,+∞)上恒成立,故符合題意。

    ②當,

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